2019-2020年高三数学一轮复习-第3篇-第6节-正弦定理和余弦定理及其应用课时训练-理

1、2019-2020年高三数学一轮复习 第3篇 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1、2、7、8、11与面积有关的问题6、10、15判断三角形形状3、13实际应用问题5、9综合应用4、12、14、161.(2014北京西城模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3,b=2,cos(A+B)= QUOTE ,则c等于(D)(A)4(B) QUOTE (C)3(D) QUOTE 解析:cos(A+B)= QUOTE =-cos C,cos C=- QUOTE ,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,所以c

2、= QUOTE .故选D.2.(2014高考江西卷)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则 QUOTE 的值为(D)(A)- QUOTE (B) QUOTE (C)1(D) QUOTE 解析:由正弦定理可得 QUOTE =2( QUOTE )2-1=2( QUOTE )2-1,因为3a=2b,所以 QUOTE = QUOTE ,所以 QUOTE =2( QUOTE )2-1= QUOTE .故选D.3.(2014江西省七校第一次联考)在ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则ABC的形状一定是(D)(A)等边三角形(B)不含60的等

3、腰三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形解析:sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cos Asin B,sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B,所以sin Acos B+cos Asin B=1,即sin(A+B)=1,所以A+B= QUOTE ,故三角形为直角三角形.故选D.4.(2014烟台模拟)在ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg QUOTE ,则A等于(C)(A) QUOTE (B) QUOTE (C) QUOTE (D) QUOTE 解析:由lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-

4、lg QUOTE ,整理得,lg(a+c)(a-c)=lg b(b+c),(a+c)(a-c)=b(b+c),得b2+c2-a2=-bc.cos A= QUOTE =- QUOTE ,又A(0,),A= QUOTE .故选C.5. (2014广州调研)如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则坡度值tan 等于(A) (A) QUOTE (B) QUOTE (C) QUOTE (D) QUOTE 解析:由题意,可得在ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且+AC

5、B=.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos = QUOTE ,所以sin = QUOTE ,所以tan = QUOTE = QUOTE .故选A.6.在ABC中,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若内角A、B、C依次成等差数列,且不等式-x2+6x-80的解集为x|ax0的解集为x|2x4,a=2,c=4,又角A、B、C依次成等差数列,B= QUOTE ,于是SABC= QUOTE 24sin QUOTE =2 QUOTE .故选B.二、填空题7.(2014惠州模拟)在ABC中,角A,B

6、,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B= QUOTE ac,则角B的值为.解析:由余弦定理,得 QUOTE =cos B,结合已知等式得cos Btan B= QUOTE ,sin B= QUOTE ,B= QUOTE 或 QUOTE .答案: QUOTE 或 QUOTE 8.(2014菏泽一模)在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos Asin C,则b=.解析:根据正弦定理和余弦定理由sin Acos C=3cos Asin C得: QUOTE QUOTE =3 QUOTE QUOTE a2+b2-c2=

7、3(b2+c2-a2),a2-c2= QUOTE .解方程组 QUOTE b=4.答案:49. (2014大连联考)如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D,测得BDC=45,则塔AB的高是.解析:在BCD中,CD=10,BDC=45,BCD=15+90=105,DBC=30, QUOTE = QUOTE ,BC= QUOTE =10 QUOTE .在RtABC中tan 60= QUOTE ,AB=BCtan 60=10 QUOTE .答案:10 QUOTE 10.(2014高考新课标全国卷)已知

8、a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.解析:把正弦定理a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C代入已知得(2+b)(a-b)=(c-b)c,(2+b)(2-b)=(c-b)c.4-b2=c2-bc,b2+c2-bc=4.cos A= QUOTE = QUOTE = QUOTE .A=60.又b2+c2=4+bc2bc,bc4.SABC= QUOTE bcsin A= QUOTE QUOTE bc= QUOTE bc QUOTE 4= QUOTE .当且仅当b=c=2时取等号

9、,故ABC面积的最大值为 QUOTE .答案: QUOTE 三、解答题11.(2014高考北京卷)如图,在ABC中,B= QUOTE ,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC= QUOTE .(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的长.解:(1)在ADC中,因为cosADC= QUOTE ,所以sinADC= QUOTE .所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB= QUOTE QUOTE - QUOTE QUOTE = QUOTE .(2)在ABD中,由正弦定理得BD= QUOTE = QUOTE =3.在ABC中,由余弦定理得AC2=

10、AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-285 QUOTE =49.所以AC=7.12. (2014高考湖南卷)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= QUOTE .(1)求cos CAD的值;(2)若cos BAD=- QUOTE ,sin CBA= QUOTE ,求BC的长.解:(1)在ADC中,由余弦定理,得cos CAD= QUOTE .故由题设知,cos CAD= QUOTE = QUOTE .(2)设BAC=,则=BAD-CAD.因为cos CAD= QUOTE ,cos BAD=- QUOTE ,所以sin CAD= QUOTE = QUOTE = Q

11、UOTE ,sin BAD= QUOTE = QUOTE = QUOTE .于是sin =sin(BAD-CAD)=sin BADcos CAD-cos BADsin CAD= QUOTE QUOTE -(- QUOTE ) QUOTE = QUOTE .在ABC中,由正弦定理, QUOTE = QUOTE .故BC= QUOTE = QUOTE =3.能力提升13.(2014咸阳三模)设ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且( QUOTE + QUOTE ) QUOTE =0,则ABC的形状是(C)(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等边三角形(D)等腰非等边三角形解析:由题得2B=A+

12、C,3B=得B= QUOTE ,设AC中点D,则( QUOTE + QUOTE ) QUOTE =2 QUOTE QUOTE =0即 QUOTE QUOTE 得a=c.所以ABC为等腰三角形,又因为B= QUOTE ,所以ABC为等边三角形.故选C.14.(2014高考江苏卷)若ABC的内角满足sin A+ QUOTE sin B=2sin C,则cos C的最小值是.解析:由正弦定理可得a+ QUOTE b=2c,又cos C= QUOTE = QUOTE = QUOTE QUOTE = QUOTE ,当且仅当 QUOTE a= QUOTE b时取等号,所以cos C的最小值是 QUOTE

13、.答案: QUOTE 15.(2014德州模拟)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,m=(sin A,1),n=(cos A, QUOTE ),且mn.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=2 QUOTE ,求ABC的面积.解:(1)因为mn,所以 QUOTE sin A-cos A=0,tan A= QUOTE .因为A(0,),所以A= QUOTE .(2)由正弦定理可得sin B= QUOTE = QUOTE ,因为ab,所以AB,B= QUOTE 或 QUOTE .当B= QUOTE 时,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= Q

14、UOTE .所以SABC= QUOTE absin C=1+ QUOTE ;当B= QUOTE 时,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= QUOTE ,所以SABC= QUOTE absin C= QUOTE -1.故ABC的面积为1+ QUOTE 或 QUOTE -1.探究创新16.(2014咸阳二模)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ABC的面积为S= QUOTE accos B.(1)若c=2a,求角A,B,C的大小;(2)若a=2,且 QUOTE A QUOTE ,求边c的取值范围.解:由三角形面积公式及已知得S= QUOTE acsin B= QUOTE accos B,化简得sin B= QUOTE cos B,即tan B= QUOTE ,又0B,故B= QUOTE