自动控制原理课件第七讲

1、基本要求1.掌握根轨迹的定义，根轨迹方程、幅值条件和相角条件；2.掌握根轨迹的绘则，掌握采用绘制根轨迹的方法；能根据根轨迹定性分析系统性能随参数变化的规律。3.二阶系统性能取决于？R(s)C(s)+_12 e3100%Mpt 5 wsn 2ns(s 2 n )控制系统的性质，取决于其闭环传递函数的零、极点位置jjdS1nS平面0-nS24.1根轨迹法的基本概念引例:Kg开环传递函数：G0 (s) s(s 1)w2ns(s 2 wn )闭环传递函数：Gc (s) s2Kgs K参数变化时？g闭环特征方程：s K 0s2g闭环特征根： 1 11 4Ks1,2g22R(s)Kg/s(s+1)C(s)

2、-欠阻尼系统过阻尼系统临界阻尼系统序号123456Kg00.10.250.5s10-0.113-0.5-0.5+j0.5-0.5+js2-1-0.887-0.5-0.5-j0.5-0.5-jKg:0 根轨迹图根轨迹起点开环极点根轨迹与系统性能开环极点左半平面，稳定在坐标原点有一极点,属I型系统Kg仅与开环增益有一个系数差0k0.25过阻尼临界阻尼欠阻尼,实部不变,调节时间基本不变,但超调增加3.动态性能2.稳态性能1.稳定性系统的开环传递函数中某一参数(例如参数Kg)连续变化时， 系统闭环特征方程的根在s平面上变化的轨迹称为根轨迹。思考：如何画根轨迹？控制系统的根轨迹定义根轨迹方程开环传递函数

3、G0 (s) G(s)H (s)闭环传递函数G (s) C(s) G(s)c1 G (s)R(s)o开环传递函数ZPK模型m(s z j )j 1G (s) Kogn(s pi )i1思考:与开环增益区别?归一化m(1 k j s)j 1G (s) Koon(1 pi s)i1S=0m=0?m z jj 1 KKogn pi零值极点？i 11 G0 (s) 0G0 (s) 1根轨迹方程m(s z j )j 1 1Kgn(s pi )i1幅值方程m(s z j )j 1充分必要条件 1K幅角方程gn(s pi )i 1s sgmn (s z) (s pi )jj 1i 1s sg 1800 (2

4、k 1), k 0,1,2,.4.2绘制根轨迹图的则1根轨迹的连续性法则1：在s平面上的根轨迹是连续的。2根轨迹的对称性法则2：在s平面上的根轨迹是关于实轴对称的。3根轨迹的分支数法则3：根轨迹的分支数与系统的阶数相等。4根轨迹的起点和终点幅值方程nm(s pi ) Kg(s z j ) 0i1j 1Kg 0s=-pi根轨迹起始于开环极点n条根轨迹起始于系统的n个开环极点Kg=0是根轨迹的起点幅值方程1nm.(s pi ) (s z j ) 0Ki1j 1gKg s Z j剩余根轨迹的？m条根轨迹终止于系统的m个开环零点根轨迹终止于系统的开环零点Kg是根轨迹的终点m(s z)1jj 1nK(s

5、 pi )gi11limKg 0Kgm(s z j )sm1snmj 1 lim lim 0limnsnsss(s pi )i1s z jm条根轨迹终止于系统的m个开环零点根轨迹终止于开环零点n-m条根轨迹终止于无穷远处5根轨迹的渐近线法则5：当nm时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴夹角为 、交点为的一组渐近线趋向无穷远处 180 ( 2k 1 )0,k 0,1,2.,n m 1n mnm pi z ja1j 1 n mn mKg例4-2开环传递函数为：G (s) 0s(s 1)(s 5)确定根轨迹的支数、起点和终点。无穷远处渐近线和实轴的交点及渐近线的倾斜角。解：具有3条根轨迹起点分别在-p

6、1=0,-p2=-1和-p3=-5由于m=0，终点都在无穷远处3 pi i1 2 n m 180 (2k 1) 180 (2k 1)00n m当k=0时， 3 603，当k=1时， 2 180 ，k=2, 3 3006根轨迹在实轴上的分布法则六：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点的个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。Im实验点p1sp1 0 s1z1 0Rep2p2mn充分必要条件：i 1s zi j 1s pj 180 (2k 1)例4-3开环系统传递函数为Kg (s 0.5)G (s) 0试求实轴上的根轨迹。解：s2 (s 1)(s 1.5)(s 4)分离点7根轨迹的分离点和会合点

7、根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。会合点分离点法则七：如果实轴上相邻开环极点之间是根轨迹，则这两相邻开环极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点(无穷远零点)之间有根轨迹，则这两相邻开环零点之间必有会合点。分离点或会合点位置的计算m(s z j )重根法N (s)j 1G (s) K K0ggnD(s)(s pi )i1F(s) D(s) Kg N(s) 0F(s) D(s) Kg N(s) 0解一定是分离点？N(s)D(s) N(s)D(s) 0Kg (s 1)例4-4反馈系统的开环传递函数为G (s) 0(s 0.1)(s 0.5)试确定实轴上根轨迹的分离点和

8、会合点的位置解：由实轴根轨迹的判别，实轴上根轨迹位于-0.5,-0.1和(-，-1区间。由实轴分离点的判别，在-0.5,-0.1区间有一个分离点，在(-，-1区间有一个会合点。N (s) (s 1)D(s) (s 0.1)(s 0.5) s2 0.6s 0.05N(s)D(s) N(s)D(s) 0s1 1 0.67 1.67；s2 1 0.67 0.33会合点分离点8根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹离开S平面上共轭复数极点的出发角mn 180 (2k 1) xcjij1i1 i x入射角：根轨迹趋于S平面上共轭复数零点的终止角mn 180 (2k 1) yrjij1 j yi1根轨迹与虚

9、轴的交点9法则9：若根轨迹与虚轴相交，交点坐标的值及相应的Kg值，可在闭环特征方程中令s=j，然后分别令其实部和虚部为零求得；也可由判据求得根轨迹和虚轴交点相应于系统处于临界稳定状态，此时Kg称为临界根轨迹增益，用Kgp表示。KgG (s) 例4-6开环传递函数为0s(s 1)(s 2)求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界开环增益。 3s2 2s K 0s3解：闭环系统特征方程为g( j)3 3( j)2 2 j K 0令s=j 0gp起点 0 62KgpKgp j 2临界根轨迹增益根轨迹和虚轴的交点坐标m z j1j 1 K 6 * 3Kop gp n1* 2 pii 1法则1:根轨迹是连续的法

10、则2:根轨迹关于实轴对称法则3:根轨迹分支数与系统阶数相等法则4:根轨迹起于系统n个开环极点,终止于系统的n个开环零点(m个有限零点,n-m个无限零点）法则五:nm时,有n-m条根轨迹沿着与实轴交角为 、交点为 的一组渐近线趋于s平面的无穷远处根轨迹绘则总结法则六：实轴上根轨迹法则七：根轨迹回合点和分离点法则八：根轨迹的出射角和入射角法则九：根轨迹与虚轴的交点根轨迹绘则总结4.3控制系统根轨迹的绘制Kg (s 2)G (s) 例4-8 设系统开环传递函数为os(s 3)(s2 2s 2)试绘制系统的根轨迹。解：绘制根轨迹图的步骤如下：( 1 ) 求得系统的开环共轭复数极点为1j。( 2 ) 根

11、轨迹共有4条，起点在开环极点0， 3，-1 j，一条根轨迹终止于开环零点2，其余三条终止于无穷远处。4.6 利用绘制系统的根轨迹rlocus(num,den)该函数可以在复平面里绘制出Q(s)=1+k*num(s)den(s)=0闭环特征方程的根轨迹，增益k自动变化。rlocfind（num,den）该函数命令可计算出与根轨迹上极点相对应的根轨迹增益。KgG (s) 例：已知开环传递函数os(s 3)(s2 2s 2)试绘制系统的根轨迹，并确定系统稳定时Kg的范围。num=0,1den=conv(1,0,conv(1,3,1,2,2)%绘制系统根轨迹rlocus(num,den);k,p=rl

12、ocfind(num,den) %求系统根轨迹增益sgridnumc,denc=cloop(k*num,den) %计算figure(2);反馈函数%step(numc,denc);阶跃响应第四节控制系统的根轨迹分析控制系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹法分析系统性能的最大优点就是可以直观地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系统性能稳定性分析。动态性能分析（闭环零极点位置）稳态性能分析（积分环节个数，增益）根轨迹分析步骤1.2.3.画出系统的根轨迹图在根轨迹上确定闭环零、极点的位置根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能典型二阶系

13、统的开环传递函数为 2Go (s) ns(s 2 n )当变化时，系统的根轨迹如图闭环系统的极点为 js1,2 jn1 2n arccos 为阻尼角调节时间要求超调量要求21 e3100%Mp arccos t sn利用这一关系还可以根据闭环系统动态性能指标要求确定开环系统的增益或其它参数。高阶系统怎么分析？利用闭环系统主导极点化简为二阶，同样处理KgG (s) 例4-13(P148)反馈系统的开环传递函数os(s 4)(s 6)阶跃响应的最大超调量Mp 18%，试确定开环增益Ko。若要求闭环系统解：绘制Kg由0变化到时系统的根轨迹关系曲线Mp 18%60做图幅值方程 1.2 sA,Bj2.1

14、Kg OA CA DA 43.8 44KgK 1.83o4 6根据闭环极点和的关系(p132(4-31)式), 可求得s3=7.6，(A,B)为主导极点思考？如果区域内没有满足要求的根轨迹，或者在实现时因为物理的等原因而无法应用时，怎么办？考虑根轨迹校正，改变根规迹形状！1增加开环极点在系统中增加开环极点，会使系统根轨迹向右弯曲和推移。并且当增加的极点越靠近坐标原点时，根轨迹的右移越明显。增加极点后会使系统根轨迹向s右半平面方向移动，不利于系统的稳定性。例设系统的开环传递函数其对应的系统根轨迹如下图a所示。KgW (s) ( p 0)K1s(s p )1若系统增加开环极点，开环传递函数变为其相应的根轨迹如下图b所示。KgW (s) ( p p )K21s(s p )(s p)12开环极点对系统根轨迹的影响2增加开环零点例4-12设系统的开环传递函数为KgKKW (s) ( p p )K21s(T s 1)(T s 1)s(s p )(s p)1212如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为Kg (s z)W (s) Ks(s p )(s p )