函数单调性教案

1、一、 教学背景：“函数的单调性”是新课标人教版数学 1第一章第三节的教学内容。 函数的单调性是函数的一条重要的性质， 从知识的结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数等内容的基础，在研究各种具体函数的性质，解决各种问题中都有着广泛的应用。二、教学目标：知 识与技能：理解函数单调性的概念，掌握函数单调性与函数图象的关系。初步掌握判断函数单调性的方法。过 程与方法：通过观察、归纳、抽象、概括等形成概念领会数形结合的数学思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力。情 感态度与价值观：在研究的过程中，激发学生的兴趣，调动学生的积极性，使学生勇于提出问题，乐

2、于探索问题，最终解决问题，感受数学的魅力。三、教学重点和难点：学重点：函数单调性的概念。学难点：根据定义证明函数单调性。四、教学方法和教学手段的选择：本节课是函数单调性的起始课， 采用教师启发讲授， 学生探究学习的教学方法， 通过创设情境， 引导探究， 师生交流， 最终形成概念，获得方法 本节课使用多媒体辅助教学， 为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识五、教学过程：.创设情境，导入课题图示是某市一天 24小时内的气温变化图，观察这个气温变化图，iot0/r一一 ， I L 反J， 1 L -1 _I_ J * J_ _ E_ 一 、Q74； 6Z 8 10 12 14 16

3、18 20 22 24 Mh问题1: (1)请同学们指出该天的气温在如何变化？怎样用数学语言 来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？(2)同学们还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等.学生活动：独立思考教师行为：提问、引导学生作答设计意图：要想认识和理解函数单调性这一抽象的定义，必须从几 何直观入手，即从函数图象入手。这个问题的设置就是想通过实际生 活中的一个例子，让学生对图象的上升和下降有一个初步的感性认 识，为下一步对概念的理性认识做好铺垫。同时通过这个实例，让学 生感受到函数的单调性和我们的生活密切相关，进而激发学生的兴 趣，引发学生进一步学习的

4、好奇心。2抽象思维，概念的形成过程问题2:给同学们一分钟的时间画出函数Y X 1和Y = X2的图象，回答下面两个问题：（ 1） 分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的， 在哪个区间是下降的？学生活动：小组合作探求问题的答案教师行为：在问题1 的基础之上， 通过学生们熟悉的两个图象，进一步强化他们对图象的感性认识， 引导学生能用自然语言描述出图象的变化规律，让学生大胆去说，教师逐步修正、完善学生的说法，最后给出正确答案。设计意图： 从数学学科这个整体来看， 数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难教、 难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律，在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入

5、手，从具体开始，逐步抽象。 以同学们熟悉的一次函数和二次函数为切入点， 顺应了同学们的认知规律，做到了直观和具体。（ 2）同学们能根据初中学过的知识，用数学语言来描述一下“上升”和“下降”的含义吗？学生活动： 小组合作探求问题的答案教师行为： 在知识过渡的关键点处， 教师引导学生从函数变量的角度去分析问题，给学生一定的时间，让他们通过观察、思考、探究对问题做出答案。 有条件的情况下， 教师可通过 “几何画板” 展示 Y X 1图象上A点的运动情况，让x学生观察x和y值的变化。运用初中所 学知识就能得到结论：函数Y X 1在R上随着x的增大，y也增大。 我们称这样的函数y为增函数。同理我们把y随

6、着x的增大而减小的 函数称为减函数。用类比的方法，我们得到：函数Y = X2在区间，0上，随着x的增大，y相应的减少。在区间0, 上，随着x的增大，y相应的增大。 设计意图：学生对图象的认识由感性上升到理性，这是一个难点。如 果能运用几何画板，就会使问题变得直观，让学生更好的体会数与形 的完美结合。问题3:你能推断y x %图象的升降趋势吗？学生活动：小组合作、交流教师行为：就学生目前的认知水平，无法得知函数 y x力的图象， 学生陷入了困境，在不知图象的前提下，我们能得知图象的升降趋势 吗？教师把问题抛给学生，让学生大胆猜想。可以推想，同学们在没 有图象的前提之下，会想通过给函数的自变量取特

7、殊值来说明函数的 增减性，对学生的思考的预想：预想 1:如当 x1 0.5时，yi 2.5;当 x2 1 时，V2 2,显然 0.52由止匕推断：当x增大时，y随着减小，会得出结论函数在区间 0, 上为减函数。预想 2:如当 x = 1 时，y1 2;当 x2=2 时，y2 2.5,显然 12,2 2.5此推断：当x增大时，y随着增大，会得出结论函数在区间0, 上 为增函数。同学们的猜想对吗？用“几何画板”做出y x月图象，并及时提问，为什么会出错？因为不能用特殊的两个值来判断。 我们以前学的概念是描述性定义，怎样用精确的数学语言来定义呢？.给出定义，剖析概念教师提问：1.请大家说说上述定义的

8、“增大”是什么意思？（比较）比较至少是几个量之间？（两个）怎样取这两个量？取特殊值可以吗？（不可以，必需取遍整个区间的所有值）能做到一一全部都取出来吗？（不能，任意取”和X2） 引导学生写出单调性的严格定义：设函数f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I内的某个区间D上 的任意两个自变量的值Xi和X2,当XiX2时，都有f(xj f(X2)，那么 就说函数f(X)在区间D上是增函数，D称为函数f(X)的单调增区 间。如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值Xi和X2, 当Xif(X2),那么就说函数f(X)在区间D上是减 函数，D称为函数f(X)的单调减区间。图象的变化趋势为:图3

9、图4对定义的分析：(1)区间：函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质(2)任意：Xi和X2具有任意性，不能用特殊值代替。(3)函数的单调性与Xi,X2的谁大谁小无关，表现的是函数值随自变量的变化而变化的一种趋势设计意图：函数的单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过 程，在这个过程中，留给学生思维的时间和空间，在课堂上随学生的思路的变化而变化，从而培养学生的创新意识，提高学生的探究能力.范例讲解，运用概念例1如图，是定义在闭区间卜5 , 5上的函数y f(x)的图象，根据图象说出y f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是y f(x)是函数还是减函数？学生活动：独立思考教

10、师行为：直接提问设计意图：心理学认为概念一旦形成，必须及时加以巩固.设计例1, 通过直观的的图象加深学生对函数单调性等概念的理解.注意：函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于 它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调 性问题，同时，在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义 域内要完整。例2判断函数f(x)=x2在(0,)上是增函数还是减函数？并证明结论.学生活动：独立思考教师行为：直接提问证明：设任意的Xi,X2(0,)且与乂2,则22/、/、f(Xi) f(X2) Xi X2 (Xi X2)(Xi X2)由 Xi X2,得 Xi X2 0于是 f(X

11、1) f (x2) 0 即 f(X1) f (x2)所以，f(x)=x2ft (0,)上是增函数。设计意图：使学生从简单的函数入手，体会用定义证明函数单调性的 方法，有助于学生的理解。例3物理学中的玻意耳定律p % (k是正常数)告诉我们，对于一 定量的气体，当体积V减小时压强p将增大.试用函数单调性证明之.学生活动：独立思考 教师行为：提问：1. p %是函数吗？.你能画出p %的图像吗?. p/是否具有单调性，请猜想.证明你的猜想.证明：设任意的Vi，V2(0,)且 V1 v2Pi p2k v2viv1V2因为v1 v2 ,则v1v2 0 因为k0所以kv2 Vi 0ViV2即R P2所以

12、体积V减小，压强P将增大.设计意图：用数学方法证明物理学中的一个定理， 体现了学科之间的 整合，突出了函数单调性的重要性。没有按照传统的证明函数单调性 的“四步曲”，而是设置了四个问题，尽可能的让学生去思考，这样 不仅可以提高学生探究问题的能力，还可以加深学生对定义的理解.总结：利用定义证明函数单调性的步骤：任意取值：即设该区间内的任意两个值 X1和X2 ,且x2 作差变形：作差f(Xi) f(X2)(因式分解、配方、有理式等)判断定号：确定f(Xi) f(X2)的符号得出结论：根据定义作出结论.归纳小结，巩固新知归纳小结是巩固新知不可或缺的环节之一，这个环节对培养学生 的归纳概括能力、自我获

13、取知识的能力是十分重要的。 本节课我们采 用了探究的方法来研究函数单调性的概念，从几何直观入手，最终抽象出概念，希望同学们能够学会这种探究问题的方式。对于函数单调 性的应用，学习中要注意证明单调性的过程、步骤和格式。感受数学 与实际相结合，体会数学的魅力，注重数与形的和谐美。.布置作业，提高升华必做题：1.举一个实际生活中的例子，说明函数在定义域上是减函数.2.书后32页第4题，39页第1、2题选作题：探究函数的单调性；探究一次函数y kx b和2,二次函数y ax bx c及反比例函数y %的单调性。设计意图：基于函数单调性内容的特点及学生实际， 对课后书面作业 实施分层设置，安排基本练习题和深化探究题.学生完成作业的形式 为必做、选做两种.设置必做题的目的是巩固本节课应知应会的内容， 面向全体学生，人人必须完成。设置选做题的目的是为了提升能力， 发展智力，选做题难度稍大一些，要求学生根据个人的实际情况尽力 完成，对学有余力的尖子生要求他们要完成， 让每一个学生都得到符 合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣.六、教学评价学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程 评价.教师应当高度重视