课件现代控制线性系统3

1、3.2线性定常连续系统的可控性判据考虑线性定常连续系统的状态方程为：&Ax t(0) x0 0 xttB(u )1.（Grum）矩阵判据上式所示系统完全可控的充要条件是：存0在时刻 t1，使如下定义的矩阵：t10Atwt(0e1为非奇异。在应用判据时需要计算矩阵指数 e At,在A的维数n较大时计算 e At 是困难的，所以这一判据主要用于理论分析，线性定常系统可控性的常用判据是由A和B直接判断可控性的秩判据。2.秩判据（重点）1)定理：线性定常连续系统完全可控的充要条件是：An1B nrankBABL其中n为矩阵A的维数，n1BS BBL称为系统的可控性判别阵。例 考虑由下式确定的系统：x&

2、1x1 1 & ux2 x2 0由于 Rank S B M AB Rank Rank所以该系统的状态是不完全能控的。例 考虑由下式确定的系统：x&1x01 ux&x1 2 2 对于该情况， 2Rank S B M AB Rank Rank因此系统是状态能控的。例：判别下列系统的可控性 x& 2 x u x& 0 x 1 x0 xu2 1&解：可控性判别矩阵为（n=3）A2B3S 24 11 1 1 12442显然矩阵S的第二行与第三行线性相关，rank S ，系统不可控。推论：在判定系统可控性时，若B的秩为r，则系统之完全可控性条件是当且仅当：B nA2BrankBABAL例：设由三维状态方程

3、1x& 0 0B的秩为2，r=20111k 0AB ranrankB10111系统不可控一个单输入系统，如果A，b如下所示0A 000LL01M b 0M0M M1LL 1 a0n1 a则系定可控，此时系统为可控。， & Ax对于一般的单输入的n维线性系统x和 n 1 的常数矩阵，其中A，b分别为那么有下列定理存在：若n维单输入的线性系统可控，则一定能找到一个线性变换将其变换成可控。即x P1 x，代入系统状态方 PAP P线性变：x换11 xx（两bu边同时Pbu0P）1x则：PA000LL0 0为可控 PPAP1 这A时： M0MM M1LL 1 a0 an1 aa求解矩阵P的具体步骤如下

4、：An1bSbL计算可控性矩阵计算可控性矩阵的逆阵 S 1，设一般形式为1S1S21S1n SLL122n nn 122SMMSLp1 行 取出S 1的最后一行（即第n行） Snn pL向量2 构造P阵P1APP 1Mn1 可控系统化为可控标准1 P1 即是将非 型的变换矩阵。1PAPb即P为b可控。& Ax例：设系统状态方x程为式中bu02A 00 b 1 2 4 10 1。试将系统状态方程化为可控解：先列出可控性矩阵0A2b 4 nS9 S3 r所以该系统可控。2 1S 121P2，则11变换矩阵：1 21 P11P 3P A23 10 11则 P121则：10 31A PAP1 01 1

5、 1 020 1 0 P3 3 1 13.PBH秩判据线性定常连续系统：x& Ax Bu y Cx) x0 x完全可控的充要条件是：对矩阵A的所有特征值 i (i 1,2 Ln ，均有：ranki I A rankSI AB n B n或等价地表示为：例：已知线性定常连续系统的状态方程00 0110为：00 x x u0010 0 2试判断系统的可控性。I A 0 可解出A的特征值为解：由 0, 0 时，有5 34通过计算得知：当1 000001001ranki I AB rank 4001000 2 5当 3 5时，有101001501020 4rank I AB rank 01i00当3

6、5时，有1015010 20005101ranki I AB rank 4105所以该系统可控。4.PBH特征向量判据线性定常系统：x& Ax Bu) x0 x完全可控的充要条件是：A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。即为A的任一特征值 (使同时满足B 的特征向量 0 T A i这一判据主要用于理论分析。5.约当规范型判据 , L n 是两两互异 矩阵A的特征值的，由线性变换可以将状态方程化为对角线形式1x 2BO n 则系统完全可控的充分必要条件是B元素全为零的行。不包含例：设系统状态方程为： x&1 x1 1x 0ux& 2 2 试判定系统的可控性。解：由 ( 2 ( ) 0 1

7、2 互异 P由得：i11 0 1P1P2 则1P 0 0P11 可将A化为对角线形式1A A 111B PB00第二行元素为0，所以系统不可控。1 1重（2 2重）L（ 重） 矩阵A的特征值 L l n 由线性变换P可将状且1 AJ 态方程化为约当规范型：，如果对应A的各重特征值都只能找到一个独立的特征向量，其状态完全可控的条件是：1与每个约当块最后一行相对应的这一行元素不全为零。阵中例：一系统约当化后的状态方程为： x& x 0u110 x& 0 xxx& 02x& x u2 3x& 0 x1u3 0 x&0 x010 x& 00观察第2行，第3、4、7行的元素，因它们不全为0，所以系统状态

8、完全可控。下列系统是状态能控的：x&1 x1 2 & ux2 x2 5x&11x& 02 x&3 01 0ux& 0u02 x&1 x 下列系统是状态不能控的：x&1x1 2 0ux x& 2 2 1x&1x2ux& x 0001u2 x0 x&3 0 x4&0 x022 x& x3 1 u& x1x4 x5 30 x& 6 用传递函数矩阵表达的状态能控性条件状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。状态能控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。考虑下列传递函数：s 5.2)(5.21)()(显然，在此传递函数的分子和分母中存

9、在可约的因子（s+2.5）(因此少了一阶)。由于有相约子，所以该系统状态不能控。因当然，将该传递函数写为状态方程，到同样的结论。s 5.2s 2.5)( 2.5 (5.25.11.5 2.52)()ux0 x2&状态方程为11x& x11 2 2 由于22 B M AB即可控性判别阵的秩为1，所以控的同样结论。到状态不能7.连续系统的输出可控性在控制系统的设计中，有时需要控制系统的输出，而不是控制系统的状态，对于输出控制而言，状态完全可控既不是必要的，也不是充分的，两者是两个不同的概念，没有必然的联系，由于这个原，就需要重新定义系统的输出可控性。定义：设系统的动态方程为： x& Ax Bu y Cx Dudim( x) ndim(u) pdim( y) q如果存在一个无约束的分段连续的控制向量u t在有限时间内，使得任一初始输出f00因y t f能够转移到控。，则称这个系统为输出完全可判据：上