专题训练证比例式或等积式的技巧

1、沈进老师专用资料专训2证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换构造平行线法eqoac(,1)如图，在ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AECFBFEC.eqoac(,2)如图，已知ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且ADCE，DE交AC于点F，求证：ABDFBCEF.

2、-1-沈进老师专用资料求证：.三点定型法3如图，在ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.DCCFAEADeqoac(,4)如图，在ABC中，BAC90，M为BC的中点，DMBC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2MDME.-2-沈进老师专用资料构造相似三角形法5如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BPCPBMCN.等比过渡法6如图，在ABC中，ABAC，DEBC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且EDFABE.求证：(1)DEFBDE；(2)DGDFDBEF.-3-沈进老师专用资料7如图，CE是eqo

3、ac(,Rt)ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BGAP于点G，交CE于点D.求证：CE2DEPE.求证：.两次相似法8如图，在eqoac(,Rt)ABC中，AD是斜边BC上的高，ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.BFABBEBC-4-沈进老师专用资料(2).9如图，在ABCD中，AMBC，ANCD，垂足分别为M，N.求证：(1)AMBAND；AMMNABAC求证：.等积代换法10如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.AEACAFAB-5-沈进老师专用资料等线段代换法11如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，ADBC于点D，点P是AD上一点

4、，CFAB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：BP2PEPF.12如图，已知AD平分BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2PBPC.-6-沈进老师专用资料BFBD.ADECME.BD.参考答案1证明：如图，过点C作CMAB交DF于点M.CMAB，FCMB，FMCFDBeqoac(,.)CMFBDF.CFCM又CMAD，AECM，ADECME.AEADECCMD为AB的中点，BDAD.ADBFAECMCMCFEC即AECFBFEC.EF，.ADCE，.FCDDAE.2证明：过点D作DGBC，交AC于点G，易知DGFECFeqoac(,，)ADGABC.CEABAD

5、DFDGBCDGCEADABEFDGDGBCDF即ABDFBCEF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题3证明：四边形ABCD是平行四边形，AEDC，AC.CDFE.DCCFAEAD4证明：DMBC，BAC90，BBEM90，DDEA90.BEMDEA，BD.又M为BC的中点，BAC90，BMAM.BBAM.-7-沈进老师专用资料AMME.即AM2MDME.BAMD.即EAMD.又AMEDMA.AMEDMA.MDAMBPBM.即BPCPBMCN.(2)由DEFBDE得DE.即DE2DBEF.又由DEFBDE，得GEDDGDE.即D

6、E2DGDF.5证明：如图，连接PM，PN.MN是AP的垂直平分线，MAMP，NANP.12，34.又ABC是等边三角形，BC1360.2460.56120.又67180C120，5eqoac(,7.)BPMCNP.CNCP6证明：(1)ABAC，ABCACB.DEBC，ABCEDB180，ACBFED180.FEDEDB.又EDFDBE，DEFBDE.EFBDDEEFD.GDEEDF，GDEEDF.DEDFDGDFDBEF.7证明：BGAP，PEAB，AEPDEBAGB90.PPAB90，PABABG90.-8-沈进老师专用资料AEPE.即AEBEPEDE.AECE.即CE2AEBE.BDF

7、BAE.ABCDBA.BFAB.(2)eqoac(,由)AMBAND得，BAMDAN.又ADBC，.AMNBAC.PABGeqoac(,.)AEPDEB.DEBE又CEABEC90，CABACE90.又ACB90，CABCBE90.ACECBEeqoac(,.)AECCEB.CEBECE2DEPE.8证明：由题意得BDFBAE90.BE平分ABC，DBFABE.BDBFABBEBACBDA90，ABCDBA.ABBDBCABBEBC9证明：(1)四边形ABCD为平行四边形，BD.AMBC，ANCD，AMBAND90.AMBAND.AMABANADAMABANBCAMBC，ADBC，MADAMB90.BBAMMANNAD90.BMAN.AMMNABAC10证明：ADBC，DEAB，ADBAED90.又BADDAE，ABDADE.-9-ADAE.即AD2AEAB.AEABAFAC.沈进老师专用资料ABAD同理可得AD2AFAC.AEACAFAB11证明：连接PC，如图所示CPPF，即CP2PFPE.ABAC，ADBC，AD垂直平分BC，ABCACB.BPCP.12.ABC1ACB2，即34.CFAB，3F.4F.又CPFCPE，CPFEPC.PECPBPCP，BP2PEPF.12证明：如图