复变函数四、五、六、七章总复习钟玉泉

1、第四、五、六、七章 总复习解析函数的幂级数表示法解析函数的洛朗展开式留数理论及其应用共形映射总结与复习 如何复习与总结，因人而异，没有统一的模式和方法，本人采用顺藤摸瓜的方法复习，列表比对模式总结。 在学习过程中，有一个环节是必不可少的，那就是总结与复习，也就是我们通常所说的念书的时候，从厚到薄的过程，学习伊始是从薄到厚，为了更好掌握已学知识，还必须通过从厚到薄的过程，也就是对所学过的内容进行系统的复习和总结。 一般而言，对每一个问题，都围绕四个方面来考虑，（1）主要内容；（2）重点；（3）注意问题；（4）实例。1.复级数的条件收敛和绝对收敛2.复函数数项级数的一致收敛以及判别特别是优级数准则

2、（M-判别法）：第一节 复级数的基本性质第四章 解析函数的幂级数表示法4.解析函数项级数的和函数性质3.内闭一致收敛（定义）定理（魏尔斯特拉斯定理）设则1. 幂级数的敛散性第二节 幂级数阿贝尔(Abel)定理.收敛半径收敛圆2. 收敛半径R的求法、柯西-阿达马公式定理定理(1) 幂级数3. 幂级数和的解析性(4.6)与(4.5)有相同的收敛半径;1. 泰勒定理其中定理且展式是惟一的.积分形式微分形式第三节解析函数的泰勒展式刻划解析函数的第四个等价定理 定理2. 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况 定理注 该定理给出了确定收敛半径R的方法.常用方法: 直接法和间接法.1.直接法:由泰勒定理计算系

3、数2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式, 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等), 求函数的泰勒展开式.附: 常见函数的泰勒展开式第四节 解析函数零点的孤立性及唯一性定理1. 解析函数零点的孤立性定理推论2. 唯一性定理定理推论推论2. 最大模最小模原理Ex13(最小模原理)若区域D内不恒为常数的解析不可能是分析:利用部分分式与几何级数结合法. 即把函数分成部分分式后, 应用等比级数求和公式.解两端求导得故第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点第一节 解析函数的洛朗展式1. 双边幂级数定理设双边幂级数则(1) (5.3)在H内收敛且内闭

4、一致收敛于的收敛圆环为2. 解析函数的洛朗展式定理5.（ Laurent定理）其中例2解例3解有 同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的.第二节、解析函数的孤立奇点1 孤立奇点的类型定义定理因此,它们中任何一条都是可去奇点的特征因此,它们中任何一条都是m阶极点的特征.定理证明：“必要性”“充分性”定理定理定理5.8(Weierstrass)孤立 奇点非孤立奇点支点(多值函数)可去奇点极 点本质奇点单值函数Schwarz引理第三节 解析函数在无穷远点的性质则下列两条中任何一条成立注注第四节 整函数与亚纯函数1 整函数整函数：在整个z平面解析的函数.定理此时f(z)称为超越整函数 2 亚纯

5、函数定义 在z平面上除极点外无其它类型奇点的单值解析函数,称为亚纯函数. 定义 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数.证明“充分性”由于函数及其反函数都是单值函数,“必要性”这与假设相矛盾.这与函数的单叶性假设相矛盾.由代数学基本定理,故必有第一节 留数1. 留数的定义及留数定理定义 第六章 留数理论及其应用有限可去奇点的留数为零. Cauchy留数定理定理注留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.2. 留数的求法(一般规则说明)则有如下计算规则求n阶极点的一般方法定理推论推论定理3. 函数在无穷远点的留数定义取顺时针方向)注2注1 定理注3 由定理得注4 计算函数

6、在无穷远点处留数的另一公式第二节 用留数计算实积分关键所在:1) 积分区域的转化2) 被积函数的转化z的有理函数 , 且在单位圆周上分母不为零 , 满足留数定理的条件 包围在单位圆周内的诸孤立奇点.注1注2引理定理引理xy.定理则有第三节 辐角原理及应用1. 对数留数定义具有下列形式的积分:引理例证明定理则有2辐角原理注13. 儒歇(Rouche)定理定理4. 单叶解析变换的一个重要性质定理第七章 共形映射第一节 解析变换的特性1. 解析变换的保域定理（保域定理）设函数w=f(D)在区域D内解析且不恒等于常数，则D的像G =f(D)也是一个区域。推论 设函数w=f(z)在区域D内单叶解析，则D

7、的像G =f(z)也是一个区域。定理注即定理逆不真.2. 解析变换的保角性 导数的几何意义导数辐角的几何意义导数模的几何意义伸缩率的不变性:保角变换定义(1) 伸缩率不变性,解析变换的保角性定理注注单叶解析变换是保角变换.推论3. 单叶解析变换的共形性 定义注注定理注两个共形变换的复合仍是共形变换.(共形)第二节 分式线性变换1. 分式线性变换及其分解(1) 函数称为分式线性变换,简记为(2) 在扩充z平面上补充定义分式线性变换的分解 (1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合旋转位似(伸缩)平移复平面上。显然，是关于单位圆周的对称变换;2. 分式线性变换的共形定理分式线性变换(7.3)在扩充z平面上是共形的.注1在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性.3. 分式线性变换的保交比性定义 定理在分式线性变换下，四点的交比不变。 定理4. 分式线性变换的保圆周(圆)性