必学四1.3.三角函数的诱导公式(教（学）案)

1、 .DOC资料. 1.3 三角函数的诱导公式教案 A教学目标 一、知识与技能 1理解诱导公式的推导过程；2通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用3进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力 二、过程与方法 利用三角函数线，从单位圆关于轴、轴、直线的轴对称性以及关于原点O的中心对称性出发，通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想 三、情感、态度与价值观通过本节的学习使学生

2、认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯教学重点、难点 教学重点：五组诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等教学难点：六组诱导公式的灵活运用教学关键：五组诱导公式的探究教学突破方法：问题引导，充分利用多媒体引导学生主动探究教法与学法导航教学方法：探究式，讲练结合学习方法：切实贯彻学案导学，以学生的学为主，教师起引导的作用，具体表现在教学过程当中1. 充分利用多媒体引导学生完善从特殊到一般的认知过程；2. 强调记忆规律，加强公式的记忆；3. 通过对例题

3、的学习，完成学习目标教学准备教师准备：多媒体，投影仪、直尺、圆规学生准备：练习本、直尺、圆规教学过程一、创设情境，导入新课我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于x 轴、y 轴、直线y=x 的轴对称性以及关于原点O 的中心对称性等出发，获得一些三角函数的性质呢？二、主题探究，合作交流提出问题锐角的终边与+角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？ 师生互动：引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角的关系无论为锐角还是任意角，+的终边都是的终边的反向延长线，所以先选择+为研究对象 利用图形还可以直观

4、地解决问题，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P1(x，y)和P2 (x，y)指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二： sin(+)=-sin，cos(+)=-cos，tan(+)=tan 提出问题：角的终边与角的终边位置关系如何？师生互动：让学生在单位圆中讨论-与的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考角的终边与角的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数从而完成公式三的推导，即：sin(-)=-sin，cos(-)=cos，tan(-)=-tan教师点拨学生注意：无论是锐角还是任意角，公

5、式均成立并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值提出问题：-角的终边与角的终边位置关系如何？ 师生互动：讨论-与的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角和-的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标：-角的终边与角的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数从而完成公式四的推导，即：sin(-)=sin，cos(-)=-cos，tan(-)=-tan 强调无论是锐角还是任意角，公式均成立引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求-角的三角函数值转化为求角的三

6、角函数值让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆我们可以用下面一段话来概括公式一四：+k2(kZ)，-，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”点拨、引导学生注意公式中的是任意角提出问题 终边与角的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系？ 师生互动：我们借助单位圆探究终边与角的终边关于直线y=x对称的角的数量关系教师充分让学生探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导讨论结果：如图，设任意角的终边与单位圆的交点P1的坐标为(

7、x，y)，由于角的终边与角的终边关于直线y=x对称，角的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是，我们有sin=y，cos=x，cos()=y，sin()=x从而得到公式五： cos()=sin， sin()=cos提出问题 能否用已有公式得出+的正弦、余弦与的正弦、余弦之间的关系式？师生互动：教师点拨学生将+转化为 ()，从而利用公式四和公式五达到我们的目的因为+可以转化为 ()，所以求+角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导出公式六：sin (+)=cos，cos(+)=-sin提出问题 你能概括一下公式五、

8、六吗？ 师生互动：结合上一堂课研究公式一四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括讨论结果：的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化公式一六都叫做诱导公式三、拓展创新，应用提高例1 利用公式求下列三角函数值：（1）cos225；（2）sin；（3）sin()；（4）cos(-2 040)解：（1）cos225=cos(180+45)=-cos45=；（2）sin=sin(4)=-sin=；（3）si

9、n()=-sin=-sin(5+)=-(-sin)=；（4）cos(-2 040)=cos2 040=cos(6360-120)=cos120=cos(180-60)=-cos60=点评：利用公式一四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下列步骤进行：上述步骤体现了由未知转化为已知的化归的思想方法例2 化简 解： 所以，原式例3 证明：（1）sin(-)=-cos；（2）cos(-)=-sin证明：（1）sin(-)=sin+(-)=-sin(-)=-cos； （2）cos(-)=cos+(-)=-cos(-)=-sin点评：由公式五及六推得的三角函数值与角的三角函数值之间的关系，从而

10、进一步可以推广到(kZ)的情形本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用例4 化简 解：原式=-tana四、小结熟记诱导公式；公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；并进行简单的求值；运用诱导公式进行简单的三角化简课堂作业1在ABC中，下列等式一定成立的是( )Asin=-cos Bsin(2A+2B)=-cos2CCsin(A+B)=-sinC Dsin(A+B)=sinC2如果f(sinx)=cosx，那么f(-cosx)等于( )Asinx Bcosx C-sinx D-cosx3计算下列各式的值：（1）sin(-1 200)cos(1 290)+cos(-1 020)sin(-1 05

11、0)+tan945；（2）tan(27-)tan(49-)tan(63+)tan(139-)4化简：参考答案：1D 2A3（1）2；（2）-14-tana教案 B教学目标一、知识与技能1牢记诱导公式.2理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.二、过程与方法1通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法.2通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.3通过基础训练题和能力训练题的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.三、情感、态度与价值观1通过诱导公

12、式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.2通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.教学重点、难点教学重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法学法与教学用具学法：在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导

13、公式教学用具：电脑、投影机、三角板教学设想：一、创设情境在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0到360(0到2)内的角的三角函数值，求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得，对于90到360(到2)范围内的角的三角函数怎样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题二、探究新知1. 诱导公式二：思考：（1）锐角的终边与的终边位置关系如何？（2）写出的终边与的终边与单位圆交点的坐标（3）任意角与呢？结论：任意与的终边都是关于原点中心对称的则有，由正弦函数、余弦函数的定义可知：，

14、 ；， 从而，我们得到诱导公式二：；说明：公式中的指任意角；若是弧度制，即有，；公式特点：函数名不变，符号看象限；可以导出正切：用弧度制可表示如下：；2. 诱导公式三：思考：（1）的终边与的终边位置关系如何？从而得出应先研究；（2）任意角与的终边位置关系如何？结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：；说明：公式中的指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；公式特点：函数名不变，符号看象限；可以导出正切：3. 诱导公式四：；说明：公式四中的指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；公式特点：函数名不变，符号看象限；可以导出正切：用弧度制可表示如下： ；4. 终边与角的终边关于直线y=x对称的角有

15、何数量关系 结论：如图所示，设任意角的终边与单位圆的交点P1的坐标为（x，y），由于角的终边与角的终边关于直线y=x对称，角的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是（y，x），于是我们有sin=y，cos=x；sin() = x， cos() = y从而得到诱导公式五：sin() = cos，cos() = sin由于+ =-()，由公式四及五可得公式六sin(+) = cos，cos(+) = sin公式五和公式六可以概括如下：的正弦（余弦）函数值，分别等于的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.公式一六都叫做诱导公式.三、例题讲解例1 求下列三角函数值：（1）； （2）解：（1）（2）例2