9静电场中的电介质习题与解答

1、 图3 静电场中的电介质1、在一半径为叫的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2,相对电容率为。设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为入。试求介质层内的D、E和P。r分析：将长直带电导线视作无限长，自由电荷均匀分布在导线表面。在绝缘介质层的内、外表面分别出现极化电荷，这些电荷在内外表面呈均匀分布。取同轴柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得电位移矢量D的分布。在介质中D=88E，P=D-eE，可进一步求得电场强度E和电极化强度矢量P的分布。0r0解：由介质中的高斯定理，有pD-dS=D-2冗rL=XL在均匀各向同性介质中880rXe2冗88rr0r1XP=D-eE=(1一)e082冗r

2、r2、一扁平电介质板（=4）垂直放在一均匀电场里，如果电介质表面上的极化电荷面密r度为O=0.5C/m2，求：（1）电介质里的电极化强度和电位移；（2）介质板外的电位移；（3）介质板内外的场强。分析：根据均匀、各向同性电介质极化的极化规律求解。解：(1)P=b=0.5C/m2，n8PD=r=0.667C/m28-1r(2)D=D=0.667C/m2(3)E=1.88x1010V/m880rDE=7.53x1010V/m0803、如图所示，平板电容器极板面积为S,间距为d，中间有两层厚度各为d1和d2（d=d+d2）、电容率各为1和2的电介质，试计算其电容。分析：电容器带电时两极板都是等势体。两

3、层均匀、各向同性介质的介面平行于极板，也是等势面。不考虑边缘效应时，极板上的自由电荷以及介质各界面的极化电荷均呈均匀分布状态。因此，两层介质内部各自都是均匀电场，即D线连续，E线不连续。解：设极板所带自由电荷为q，D和E方向都与极板垂直。运用高斯定理,D=D=b12Dq2=极板间的电势差为188S118S2d1UABddq=Ed+Ed=(r+门一112288S电容量为qC=UAB88S128d+8d1221上式也可表示为1Cd18S1d+28S2即可等效为两个电容器的串联。平行板电容器的电容为100pF极板面积为100cm2，极板间充满相对电容率为5.4的母电介质，当极板上电势差为50V时，求

4、：（1）由电荷；（3）云母介质面上的极化面电荷。4、云母中的场强；（2）电容器极板上的自分析：介质表面的极化电荷面密度由b=P-e决定。88S解：（1）充满电介质的平行板电容器电容量为C-d极板间的均匀电场强度大小为ECUd88-0r50 x100 x10-12V/m1.05x104V/m5.4x8.85x10-12x100 x10-4（2）电容器极板上的自由电荷QC100 x10-12x50C5.0 x10-9C0（3）设电容器上极板带正自由电荷，则介质上表面处的极化强度P与面法向e反向，在n介质下表面处则同向，所以，介质上表面的极化电荷为,11Qb-（P-e）-（1）b-（1）Q-4.1x

5、10-9C11n8080rr介质下表面的极化电荷为Q-b-（P-e）-（1-丄）Q4.1x10-9C22n80r5、在半径为R的金属球外包有一层均匀介质层，外半径为R，。设电介质的相对电容率为8,金属球的电荷量为Q,求：（1）介质层内外的场强分布；（2）介质层内外的电势分布；r（3）金属球的电势。分析：系统具有球对称性，所以自由电荷和极化电荷也具有球对称分布。空间的电位移矢量和电场强度矢量径向分布。由静电平衡性质，球内场强为零。根据高斯定理可知，球外的电位移矢量大小连续而电场强度大小为分段连续分布。由此，可由电势的定义求得空间的电势分布，也可利用电势的叠加原理求得。解：以球心为原点作半径为r的

6、球形高斯面，根据介质中的高斯定理，D-dSD-Q可得空间电位移大小：D=r,rR4nr21）D=E，得介质内、外的场强大小为02E1Q,RrR，24nr20介质层内外的电场方向均沿径向（2）介质层内的电势为JE-dl=JRE1rrQ1-1=(+r),RrR2r2r4nr03）金属球的电势Q1-1V=(+r)34nr0RR6、一平行板真空电容器，极板面积为S,极板间距为d,充电至带电Q后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d。求：（1）电容器能量的改变；（2）此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。分析：在将电容器两极板拉开的过程中，由于极板上的电荷保持不变，极板间的电场

7、强度亦不变，但电场所占的空间增大，系统总的电场能量增加了。根据功能原理，所增加的能量应该等于拉开过程中外力克服静电引力所作的功。解：（1）电场的能量密度为1匸Q2w=E2=e202S20而极板间距由d被拉开到2d后，电场所占有的空间的体积由V增加到2V，贝I电场能量增加为=wAVe（2）两极板带等量异号电荷，外力F将其缓缓拉开时，应有F=-Fe，则外力所作的功为1 A=-F-Ar=QEd=e2S0即外力所作的功等于静电场能量的增加。7、半径为2.0cm的导体球，外套同心导体球壳，壳的内外半径分别为4.0cm和5.0cm，球壳内外空间均为空气，当内球的电荷量为3.0 x10-8C时，（1）这个系

8、统储藏了多少电能；（2）如果用导线把球与球壳联在一起，结果如何？分析：根据导体系统静电平衡的性质，确定电荷分布后即可确定空间的电场强度分布。对于非均匀电场，其能量可由能量密度对空间求体积分，也可由电容器的储能公式求得。解1：用W=-E2dV计算。20V（1）设内球带电q,则静电平衡时，球壳内表面带电一q,外表面带电q。系统在空间的电场分布为0E=则球与球壳间的能量1qr2(rR，(RrR1R1rR)24兀0w=丄E2dV=0-R11q)24冗r2dr=q211(一一)12024冗sr28冗sRRV1R001球壳外空间的能量W=1ME2dV=0gK1q-)24冗r2dr一q2122024冗sr28庇RV2R2002W=W+W=1.82x10-4J12（2）用导线把球与球壳联在一起，由静电平衡条件可知，球与球壳内表面所带电量为零W=0。球壳外表面带电量及电荷分布不变，所以1W=W=8.1x10-5J21Q2解2：利用W=Q计算。2C（1）整个系统可视为球与球壳内表面组成的球形电容器q和球壳外表面与无限远处之间的电容器c2的串联。球形电容器的电容为RRC=4屈A_B0R-RBARR则C=4兀L，C=4庇R10