中考数学综合题专题训练【以圆为基础的综合题三】专题解析

1、数学专题之【以圆为基础】精品解析中考数学综合题专题训练【以圆为基础的综合题三】专题解析例1eqoac(,)如图，以ABC的BC边为直径作O，分别交AC、AB于E、F两点，过A作O的切线，切点为D，且点E、F为劣弧CD的三等分点（1）求证：ADBC；DA（2）求DAC的大小FEBOC（1）证明：连接BD、BE、OD、DF，设O的半径为r，EC长为lBC是O的直径，BEACE、F为劣弧CD的三等分点，ABECBEABC是等腰三角形，ABBC2r，AEEClE、F为劣弧CD的三等分点，DFEClAD、AC分别是O的切线和割线AD2AEAC，AD2lADFABD，DFABDAADABADFABD，DF

2、BD，得BD2rDBOFAECBD2OB2OD2，BOD90AD是O的切线，ADO90ADBC（2）解：BOD90，OBOD，DBO45DBFFBEEBC，ADBCDABABC30ABBC，BAC75DAC10542（成都某校自主招生）如图，在直角坐标系中，点B（13，0），C（13，0），ABC的内切圆的圆心是I（1，eqoac(,1)），求ABC的面积yAIBOCx解：设I切BC边于点D，连接IB、IC、ID，则IDOD1B（13，0），C（13，0），BD3，DC23，BC223ID133，IBD30，ABC60tanIBDBD3yA1IBDOECx（2）求证：CG是O的切线；数学专题之

3、【以圆为基础】精品解析过I作IEAC，交DC于E，则IEDACB2ICDEICECI，IEEC设IEx，则ECx，DE23x在eqoac(,Rt)IDE中，IE2ID2DE2x212(23x)2，解得x2IED30，ACB30，A9013AB2BC，AC2BC133SABC2ABAC8BC28(223)2323（3四川德阳）如图，已知点C是以AB为直径的O上一点，CHAB于点H，过点B作O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G（1）求证：FCFB；DC（3）若FBFE2，求O的半径FEAOHBG（1）证明：连接BCAB是O的直径，BD是

4、切线，BDAB又CHAB，CHBDACEADF，AEHAFBCEAEEHDFAFFB点E为CH的中点，CEEHDFFBAB为O的直径，ACBDCB90在eqoac(,Rt)BCD中，F是斜边BD的中点FCFB（2）连接OCACKEOHDFBGOBOC，OCBOBCFCFB，FBCFCBBDAB，OBCFBC90OCBFCB90，即OCG90OC是半径，CG是O的切线（3）过点F作FKCH于点KFBFC，FBFE，FCFECKEK，CE2EKCEEH，EH2EKFKCH，AHCH，FKAH2数学专题之【以圆为基础】精品解析AEEHAEHFEK，FEEK2FE2，AE2FE4，AFAEFE6在eq

5、oac(,Rt)AFB中，ABAF2FB2622242O的半径为224（四川广安）如图，在ABC中，ABCACB，以AC为直径的O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且CAB2BCP（1）求证：直线CP是O的切线5（2）若BC25，sinBCP5，求点B到AC的距离B（3）在第（2）的条件下，求ACP的周长PMNAOC（1）证明：连接ANABCACB，且ABACAC是O的直径，ANBCCANBAN，BNCNCAB2BCP，CANBCPCANACN90，BCPACN90CP是O的切线（2）解：过点B作BDAC于点D1由（1）得BNCN2BC5PCNANBC，sinCANACB5又C

6、ANBCP，sinBCP5MCN5AC5，AC5N在eqoac(,Rt)CAN中，ANAC2CN225在CAN和CBD中ANCBDC90CANCBDACNBCDANAC255BDBC，BD25，BD4即点B到AC的距离为4（3）在eqoac(,Rt)BCD中，CDBC2BD22AODC3BDCP，BD，CP数学专题之【以圆为基础】精品解析ADACCD523AD4320CPACCP53在eqoac(,Rt)APC中，APAC2CP2253因此，ACP的周长为：ACCPAP205（四川泸州）如图，ABC内接于O，AB是O的直径，C是AD的中点，弦CEAB于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q

7、，连接BD（1）求证：P是线段AQ的中点；CD15（2）若O的半径为5，AQ2，求弦CE的长PQ（1）证明：AB是O的直径，弦CEAB，ACAE又C是AD的中点，ACCD，AECDABHOEACPCAP，PAPCAB是O的直径，ACB90PCO90ACP，CQP90CAPPCQCQP，PCPQPAPQ，即P是AQ的中点（2）解：ACCD，CAQABC又ACQBCA，CAQCBA152ACAQ3BCAB104AC3在eqoac(,Rt)ABC中，tanABCBC4又AB10，AC6，BC8，根据直角三角形面积公式，得24ACBCABCH，6810CH，CH548又CHHE，CE2CH56（四川宜

8、宾）如图，O1、O2相交于P、Q两点，其中O1的半径r12，O2的半径r22过点Q作CDPQ，分别交O1和O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交O1和O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E（1）求证：PA2；PB（2）若PQ2，试求E度数PAO1O24CQBD数学专题之【以圆为基础】精品解析cosCPQPQ，CPQ60sinPDQPQ，PDQ45（1）证明：CDPQ，PQCPQD90PC、PD分别是O1、O2的直径在O1中，PABPCD在O2中，PBAPDCPC2r1PABPCD，PA2PBPDr2（2）解：在eqoac(,Rt)PCQ中，PC

9、2r14，PQ=21PC2在eqoac(,Rt)PDQ中，PD2r222，PQ22PD2CAQCPQ60，PBQPDQ45又PD是O2的直径，PBD90ABE90PBQ45在EAB中，E180CAQABE757（四川资阳）如图，在ABC中，ABAC，A30，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BPDE，交O于点P，连接EP、CP、OP（1）求证：BDDC；（2）求BOP的度数；（3）求证：CP是O的切线AOPE（1）证明：连接ADBDCAB是直径，ADB90ABAC，BDDC（2）解：AD是等腰三角形ABC底边上的中线BADCAD，BDDEABDDEDC，DECDCE

10、ABC中，ABAC，A30OGDCEABC2(18030)751HDEC75，EDC180757530EBPDE，PBCEDC30BDCABPABCPBC753045OBOP，OBPOPB45BOP90（3）过点C作CHAB于点H5P数学专题之【以圆为基础】精品解析则BHCBOP90，POCH1在eqoac(,Rt)AHC中，HAC30，CH2AC11又PO2AB2AC，POCH四边形CHOP是平行四边形又BOP90，四边形CHOP是矩形OPC90，CP是O的切线8（四川某校自主招生）如图，等腰RtABC的直角边AB、AC分别与O相切于点E、D，AD3，DC5，直线FG与AC、BC分别交于点F

11、、G，且CFG60（1）求阴影部分的面积；（2）设点C到直线FG的距离为d，当1d4时，试判断直线ADFCFG与O的位置关系，并说明理由EOGB解：（1）连接OD、OE13则S阴影S正方形AEODS扇形EOD(3)24(3)234（2）设直线FG与O相切于点K，连接OF、OKCFG60，DFK120，DFO60ODOEAD3，DF1CFDCDF514过点C作CHFG于H，则CHCFsin6023当1d23时，直线FG与O相离当d23时，直线FG与O相切当23d4时，直线FG与O相交AEBDFKOHGC|S1S2|9如图，在平面直角坐标系中，半径分别为m、n（0mn）的两圆O1和O2相交于P，Q

12、两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，O1与x轴、y轴分别切于点M、N，O2与x轴、y轴分别切于点R、H（1）求两圆的圆心O1、O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1、O2之间的距离d；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2试探究：是否存在一条经过P、Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出2d此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由6yHO2数学专题之【以圆为基础】精品解析解：（1）由题意，O1（m，m），O2（n，n）设O1、O2所在直线的解析式为ykxbmkbmk1解得nkbnb0所求直线的解析式为yx（2）连接O1

13、P，O1（m，m），P（4，1）O1P2(m4)2(m1)22m210m17又O1P为O1的半径，即O1PmO1P2m2，即2m210m17m2m210m170同理可得：n210n170yHO2m、n是一元二次方程x210 x170的两个根mn10，mn17O1（m，m），O2（n，n）d2(mn)2(mn)22(mn)2QNO1P(mn)(mn)24mn101024172(mn)28mn210281764d8（3）连接PQ由相交两圆的性质，可知P、Q两点关于直线O1O2对称PQO1O2P（4，1），直线O1O2解析式为yx，Q（1，4）PQ(41)2(14)23211S12PQO1O2232

14、812211又S22(O1MO2R)MR2(mn)(nm)11222027MRx|S1S2|122202|数学专题之【以圆为基础】精品解析1，即抛物线在x轴上截得的线段长为12d28假设存在这样的抛物线，其解析式为yax2bxc抛物线过点P（4，1），Q（1，4）16a4bc1b(5a1)解得abc4c4a5抛物线解析式为yax2(5a1)x4a5令y0，得ax2(5a1)x4a5设两根为x1，x2，则有：x1x25a14a5，x1x2aa即(5a1)4(4a5)1，化简得：8a210a10设两根为a1，a2，则有：a1a210抛物线在x轴上截得的线段长为1，即|x1x2|1(x1x2)21，

15、(x1x2)24x1x21aa，a1a2188a10，a20，这与抛物线开口向下（即a0）矛盾不存在这样的抛物线10（湖南怀化）如图，已知AB是O的弦，OB4，OBC30，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交O于点D，连接AD、DB（1）当ADC18时，求DOB的度数；（2）若AC2eqoac(,3)，求证ACDOCBA（1）解：连接AO，则OACOBC30，OADADC18DAC301848DOB2DAC96（2）证明：过点O作AB的垂线，垂足为GDOCBD3，ACDOCB在eqoac(,Rt)OGB中，OB4，OBC30OG2，GB23AC23，点C与G重合AC

16、DBCO90，OC2，CD246ACCDOCCBAOCGB111（湖南湘潭）如图，在O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC2AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点8数学专题之【以圆为基础】精品解析（1）如图eqoac(,1)，求证：PCDABC；（2）当点P运动到什么位置时，PCDABC？请在图2中画出PCD并说明理由；（3）如图3，当点P运动到CPAB时，求BCD的度数CCCDABABAOOPEODBP图1图2图3（1）证明：AB是O的直径，ACB90PDCD，D90DACB又AP，PCDABC（2）解：当点P运动到CP经过圆心时，P

17、CDABC理由如下：如图，AB、PC是O的直径，ABPCC（3）解：ACB90，ACAB，ABC30PCDABC，PCDABC12AOB(D)PCDABC，PCDABC30CPAB，AB是O的直径，ACAPACPABC30BCDACBACPPCD90303030P（1）求APC与ACD的度数；12（湖南张家界）如图，O的直径AB4，C为圆周上一点，AC2，过点C作O的切线DC，点P为优弧CBA上一动点（不与A、C重合）C（2）当点P移动到CB的中点时，证明：四边形ACPO是菱形；DPAPCAOC30（3）P点移动到什么位置时，由点A、P、C三点构成的三角形与AABC全等，请说明理由1解：（1）

18、AC2，OAOBOC2AB2ACOAeqoac(,OC)，ACO为等边三角形AOCACOOAC6012又DC与O相切于点C，OCDC，DCO90OBACDDCOACO906030CP（2）AB为直径，AOC60，COB120D9AOB数学专题之【以圆为基础】精品解析当点P移动到CB的中点时，COPPOB60COP为等边三角形，ACCPOAOP，四边形ACPO为菱形（3）当点P与B重合时，ABC与APC重合，ABCAPC当点P继续运动到CP经过圆心时，也有ABCCPA理由如下：AB、CP都为O的直径，CAPACB90在eqoac(,Rt)ABC和RtCPA中ABCPeqoac(,Rt)ABCeq

19、oac(,Rt)CPAACAC13（湖北鄂州）如图，梯形ABCD是等腰梯形，且ADBC，O是腰CD的中点，以CD长为BHCECD215x15直径作圆，交BC于E，过E作EHAB于H（1）求证：OEAB；1（2）若EH2CD，求证：AB是O的切线；BH（3）若BE4BH，求CE的值（1）证明：等腰梯形ABCD，BC又OEOC1C1B，OEAB（2）过O作OGAB于GEHAB，OGEH又OEAB，四边形OGHE是平行四边形EHOG11又EH2CD，OG2CDCD为O直径，OG是O半径又OGAB，AB是O的切线（3）连接DE，DC为直径，DEC90设BHx，BE4BH，BE4x在eqoac(,Rt)

20、BHE中，由勾股定理得EH(4x)2x215x1又EH2CD，CD215xBC，eqoac(,Rt)BEHeqoac(,Rt)CDEBE4x215ADOHBECADGOH1BEC10数学专题之【以圆为基础】精品解析14（湖北恩施）如图，AB是O的弦，D为半径OA的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交O于点F，且CECB（1）求证：BC是O的切线；（2）连接AF，BF，求ABF的度数；5（3）如果CD15，BE10，sinA13，求O的半径ADEFCOB（1）证明：连接OBOBOA，CECB，AOBA，CEBABC又CDOA，AAEDACEB90OBAABC90，OBBCBC是O的切线（2）连

21、接OFDADO，CDOA，AFOFOAF是等边三角形，AOF60ADOEFBCABFAOF30CECB，EGBE512（3）过点C作CGBE于点G，12ADEFC又eqoac(,Rt)ADEeqoac(,Rt)CGE，sinECGsinA513OCEEGsinECG13，CGCE2EG212BA又CD15，CE13，DE2DEFCCG5ADCGGE由eqoac(,Rt)ADEeqoac(,Rt)CGE，得DE24GEADDEOGBO的半径为2AD48515（湖北十堰）如图1，O是ABC的外接圆，AB是直径，ODAC，且CBDBAC，OD交O于点E（1）求证：BD是O的切线（2）若点E为线段OD

22、的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；FG（3）作CFAB于点F，连接AD交CF于点G（如图2）求FC的值AACFGCOOBE11DBED图1图2数学专题之【以圆为基础】精品解析（1）证明：AB是O直径，BCA90ABCBAC90又CBDBAC，ABCCBD90ABD90又点B在O上，BD为O的切线（2）连接CE、OCOBOEED，OD2OB又OBD90，ODB30，BOE60又ACOD，OAC60又OAOC，ACOAOEACOE且ACOE，四边形OACE是平行四边形又OAOE，四边形OACE是菱形（3）CFAB，AFCOBD90又ACOD，CAFDOBFGAFAFCOBD，BD

23、ABFGOB1FCAB216（湖北襄阳）如图，PB为O的切线，B为切点，直线PO交于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO与O交于点C，连接BC，AF（1）求证：直线PA为O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；1（3）若BC6，tanF2，求cosACB的值和线段PE的长FAODEPCB（1）证明：连接OBPB是O的切线，PBO90OAOB，BAPO于D，ADBD，POAPOB又POeqoac(,PO)，PAOPBOPAOPBO90，直线PA为O的切线（2）EF24ODOP证明：PAOPDA90FAODEP，即OA2ODOPOADAO

24、D90，OPAAOP90OADOPA，OADOPAODOAOAOP又EF2OA，EF24ODOP12CB（3）OAOC，ADBD，BC6，ODBC3设ADx，tanFAD，FD2x，OAOF2x3又AC2OA10，BC6，cosACBBCAC105数学专题之【以圆为基础】精品解析121FD2在eqoac(,Rt)AOD中，由勾股定理，得(2x3)2x232解得x14，x20（不合题意，舍去）AD4，OA2x35AC是O直径，ABC906310OA2ODOP，3(PE5)25，PE317（湖北某校自主招生）已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90，E是半径OA上一点，F是AB上一点将扇形AOB沿E

25、F对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点G（1）若OE4，求折痕EF的长；（2）若G是OB中点，求OE和折痕EF的长；O（3）点E可移动的最大距离是多少？EGABF解：（1）设折叠后的圆弧所在圆心为O，连接OE、OO、OG、OF，OO、OG分别交EF于M、N则EF垂直平分OO，12，OFOG6，OGOBEM2OE2，OM3EM23在eqoac(,Rt)OMF中，MFOF2OM26(23)2MABNOEOE4，ONONAOB90，OGAO，31又34，24ONOE4，ON4，NG2560，四边形OEON是菱形460，eqoac(,O)EN是等边三角形12226E1OO453GFNG2ON2

26、OEFEMMF226（2）若G是OB中点，则OGBG3设OEx，则ONx，NG6x在eqoac(,Rt)OMF中，OG21532(6x)2x2，解得x4EMG即OE的长为4NB15AHF13O过E作EHOG与H，则GHOE4OHOGGH644，NHONOH442数学专题之【以圆为基础】精品解析151591593在eqoac(,Rt)OEH中，EHOE2OH233在eqoac(,Rt)EHN中，ENEH2NH225由eqoac(,O)MNOGO，得OM2MN213EMMN2EN4535O(G)MFOF2OM22311EEFEMMF4352311（3）当G与O重合时，OE最小A(O)FBOA(F)

27、此时OOOB且OOOA6，O与A重合1E是OA中点，OE2OA3当E与A重合时，F、G均与B重合，OE最大此时OE6点E可移动的最大距离为3证明如下：(E)OB(G)将扇形AOB沿AB对折（即E与A重合，F、G均与B重合），连接OA、OB则OBAOBA45，OBO90OB与折叠后的圆弧相切18（湖北某校自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以点A为圆心，2为半径的A与x轴交于O、B两点，OC为弦，AOC60，P是x轴上的一动点，直线CP交A于点Q，连接OQ、AQ（eqoac(,1)）当OCQ是等腰三角形时，求点P的坐标；y（eqoac(,2)）当APQ是等腰三角形时，求O

28、CQ的度数COPABQx解：（1）ACAO，AOC60，AOC是等边三角形y若OC为腰，则OA垂直平分CQ1OP2OA1，P（1，0）C若OC为底OPABx14Q数学专题之【以圆为基础】精品解析i）当点P在直径OB上时过C作CMOA于M，则OCM3011OQC2OAC30，OCQ2(18030)75yPCM753045，PCM是等腰直角三角形C3PMCM2OC3MPOPOMPM13，P（13，0）OABxQOCQCO2OAQ15yii）当点P在BO的延长线上时，则AQ垂直平分OC1QCPOAOCQCO601545过C作CMOA于M，则OCM303则PCM为等腰直角三角形，PMCM2OC3OPP

29、MOM31，P（13，0）（2）设OCQx，显然APAQCQPOMABx若PQAQi）当点P在BO的延长线上时则ACQ60 x，QPAQAP60 xAQC2QPA1202xACAQ，ACQAQC60 x1202x，x20ii）当点P在直径OB上时则ACQAQC60 xyQCPOABxy602x120 x，x40O11QPAQAP2180(60 x)602x又QPACPO180(60 x)120 x1CPABxiii）当点P在OB的延长线上时y则AQCACQx6011QPA2AQC2x30CQQOCQCOAQPA1801x602x30180，x100若PAPQOABPxi）当点P在O、A之间时则PAQPQAPCA60 xPAQ2OCQ2x60 x2x，x20ii）当点P在A、B之间时则PAQPQAPCAx60yOCPyCABxOAPBQxQ15数学专题之【以圆为基础】精品解析PAQAOQAQOOCQCOQCQO180 x602(x60)180，x80eqoac(,19)（湖北模拟）如图，在ABC中，ABAC，且O内切于ABC，D、E、F是切点，CF交O于G，EG延长线交BC于