中考数学三轮复习精准训练四边形压轴题汇编

1、（中考三轮复习精准训练）中考数学模拟试卷：四边形压轴题汇编1如图，在矩形 ABCD 中，已知 BC8cm，点 G 为 BC 边上一点，满足 BGAB6cm，动点 E 以 1cm/s 的速度沿线段 BG 从点 B 移动到点 G，连接 AE，作 EFAE，交线段 CD于点 F设点 E 移动的时间为 （t s），CF 的长度为 y（cm），y与 t的函数关系如图所示（1）图中，CGcm，图中，m ；（2 ）点 F 能否为线段 CD 的中点？若可能，求出此时 t的值，若不可能，请说明理由；（3）在图中，连接 AF，AG，设 AG 与 EF 交于点 H，若 AG 平 eq oac(,分)AEF 的面积，

2、求此时 t的值2问题提出：（1）如图 1，ABC 的边 BC 在直线 n 上，过顶点 A 作直线 mn，在直线 m 上任取一 点 D，连接 BD、CD，则ABC 的面积 DBC 的面积问题探究：如图 2，在菱形 ABCD 和菱形 BGFE 中，BG6，A60， eq oac(,求)DGE 的面积； 问题解决：如图 3，在矩形 ABCD 中，AB12，BC10，在矩形 ABCD 内（也可以在边上）存在一点 P，使得ABP 的面积等于矩形 ABCD 的面积的， eq oac(,求)ABP 周长的最小值13（1）方法感悟：如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为 DC、BC 边上的点，且满足

3、EAF45，连接 EF将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG，易证GAFEAF，从而得到 结论：DE+BFEF根据这个结论，若 CD6，DE2，求 EF 的长（2）方法迁移：如图，若在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF BAD，试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，证明你的结论（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD 中，ABAD，B+ADC180，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的点，且EAF BAD，试探究线段 EF、BE、FD 之间的数 量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）4如图 1，在 ABCD 中，AB3

4、cm，BC5cm，ACAB，ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到PNM，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速移动，速度为 1cm/s，当PNM 停止平移时，点 Q 也停止移动，如图 2，设移动时间为 t（s）（04），连结 PQ，MQ，解答下列问题：当 t当 t当 t为何值时，PQMN？为何值时，CPQ45？为何值时，PQMQ？25问题背景：如图 1，在正方形 ABCD 的内部，作DAEABFBCGCDH，根据三角形全等的条件，易得DAEABFBCGCDH，从而得四边形 EFGH 是 正方形类比探究：如图 2，在正ABC 的内部，作123，AD，BE，CF 两两

5、相交于 D， E，F 三点（D，E，F 三点不重合）（1）ABD，BCE，CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明； （2）DEF 是否为正三角形？请说明理由；（3）如图 3，进一步探究发现 eq oac(,，)ABD 的三边存在一定的等量关系，设 BDa，ADb， ABc，请探索 a，b，c 满足的等量关系6如图，在四边形 ABCD 中，AC 是对角线，ABCCDA90，BCCD，延长 BC 交 AD 的延长线于点 E求证：ABAD；若 AEBE+DE，求BAC 的值；过点 E 作 MEAB，交 AC 的延长线于点 M，过点 M 作 MPDC，交 DC 的延长线于点 P，连接 PB设

6、 PBa，点 O 是直线 AE 上的动点，当 MO+PO 的值最小时，点 O与点 E 是否可能重合？若可能，请说明理由并求此时 MO+PO 的值（用含 a 的式子表示）； 若不可能，请说明理由37已知：如图，在正方形ABCD 中，点 E 在 AD 边上运动，从点 A 出发向点 D 运动，到达D 点停止运动作射线 CE，并将射线 CE 绕着点 C 逆时针旋转 45，旋转后的射线与 AB 边交于点 F，连接 EF依题意补全图形；猜想线段 DE，EF，BF 的数量关系并证明；过点 C 作 CGEF，垂足为点 G，若正方形 ABCD 的边长是 4，请直接写出点 G 运 动的路线长8如图，在正方形 AB

7、CD 中，P 是边 BC 上的一动点（不与点 B，C 重合），点 B 关于直线 AP 的对称点为 E，连接 AE连接 DE 并延长交射线 AP 于点 F，连接 BF （1）若BAP，直接写出ADF 的大小（用含 的式子表示）；求证：BFDF；连接 CF，用等式表示线段 AF，BF，CF 之间的数量关系，并证明49如图 1，已知等腰 eq oac(,Rt)ABC 中，E 为边 AC 上一点，过 E 点作 EFAB 于 F 点，以为边 作正方形，且 AC3，EF 如图 1，连接 CF，求线段 CF 的长；将等腰 eq oac(,Rt)ABC 绕点旋转至如图 2 的位置，连接 BE，M 点为 BE

8、的中点，连接 MC， MF，求 MC 与 MF 关系10如图将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转角度 （090）得到正方形 ABCD（1）如图 1，BC与 AC 交于点 M，CD与 AD 所在直线交于点 N，若 MNBD，求 ； （2）如图 2，CB与 CD 交于点 Q，延长 CB与 BC 交于点 P，当 30时求DAQ 的度数；若 AB6，求 PQ 的长度511已知，如图 1，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，点 F 在边 AD 上，过点 A 作 AGEF ，分别交线段 CD、EF 于点 G、H（点 G 不与线段 CD 的端点重合） （1）如图 2，当 G 是

9、边 CD 中点时，求 AF 的长；设 AFx，四边形 FHGD 的面积是 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值 范围；联结 ED，当FED45时，求 AF 的长12如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂 美四边形吗？请说明理由；性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD试证明：AB2+CD2AD2+BC2；（3）解决问题：如图 3，ACB 中，ACB90，ACAG 且 ACAG，ABAE 且 AE AB，连结 CE、BG、GE已知 AC4，AB

10、5，求 GE 的长613如图 1，四边形 ACEB，连接 BC，ACBBEC90，D 在 AB 上，连接 CD，ACD ABC，BECD求证：四边形 CDBE 为矩形；如图 2，连接 DE，DE 交 BC 于点 O，若 tanA2，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有长度与AD 的长度相等的线段14如图在直角坐标系中，四边形 ABCO 为正方形，A 点的坐标为（a，0），D 点的坐标为（0，b），且 a，b 满足（a3）2+|b|0求 A 点和 D 点的坐标；若DAE OAB，请猜想 DE，OD 和 EB 的数量关系，说明理由若OAD30，以 AD 为三角形的一边，坐标轴上是否

11、存在点P，使得PAD 为等腰三角形，若存在，直接写出有多少个点 P，并写出 P 点的坐标，选择一种情况证明715已知，在四边形 ABCD 中，点 M、N、P、Q 分别为边 AB、AD、CD、BC 的中点，连 接 MN、NP、PQ、MQ如图 1，求证：四边形 MNPQ 为平行四边形；如图 2，连接 AC，AC 分别交 MN、PQ 于点 E、F，连接 BD，BD 分别交 MQ、NP于点 G、H，AC 与 BD 交于点 O，且 ACBD，若 tanADB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中所有长度等于OD 的线段8参考答案1如图，在矩形 ABCD 中，已知 BC8cm，点 G 为 BC

12、 边上一点，满足 BGAB6cm，动点 E 以 1cm/s 的速度沿线段 BG 从点 B 移动到点 G，连接 AE，作 EFAE，交线段 CD于点 F设点 E 移动的时间为 （t s），CF 的长度为 y（cm），y与 t的函数关系如图所示（1）图中，CG 2 cm，图中，m2 ；（2 ）点 F 能否为线段 CD 的中点？若可能，求出此时 t的值，若不可能，请说明理由；（3）在图中，连接 AF，AG，设 AG 与 EF 交于点 H，若 AG 平 eq oac(,分)AEF 的面积，求此时 t的值解：（1）BC8cm，BGAB6cm，CG2cm，EFAE，AEB+FEC90，且AEB+BAE90

13、，BAEFEC，且BC90， ABEECF，t6，BE6cm，CE2cm， CF2cm，m2，故答案为：2，2；（2）若点 F 是 CD 中点，CFDF3cm，ABEECF，9 ，EC28EC+180647280，点 F 不可能是 CD 中点；（3）如图，过点 H 作 HMBC 于点 M，C90，HMBC， HMCD，EHMEFC， AG 平分AEF 的面积， EHFH，EMMC，BEt，EC8t，EMCM4t，MGCMCG2 ， ，CFEMMC，EHFH，MHCF10ABBG6，AGB45，且 HMBC，HGMGHM45，HMGM， 2 ，t2 或 t12，且 t6，t22问题提出：（1）如

14、图 1，ABC 的边 BC 在直线 n 上，过顶点 A 作直线 mn，在直线 m 上任取一 点 D，连接 BD、CD，则ABC 的面积 DBC 的面积问题探究：如图 2，在菱形 ABCD 和菱形 BGFE 中，BG6，A60， eq oac(,求)DGE 的面积； 问题解决：如图 3，在矩形 ABCD 中，AB12，BC10，在矩形 ABCD 内（也可以在边上）存在一点 P，使得ABP 的面积等于矩形 ABCD 的面积的， eq oac(,求)ABP 周长的最小值解：问题提出：（1）两条平行线间的距离一定，ABC 与DBC 同底等高，即ABC 的面积DBC 的面积， 故答案为：；问题探究：（2

15、）如图 2，连接 BD，11DGE BGE四边形 ABCD，四边形 BGFE 是菱形，ADBC，BCEF，ADAB，BGBE， ACBE60，ADB 是等边三角形，BGE 是等边三角形， ABDGBE60，BDGE，S S BG29；（3）如图 3，过点 P 作 PEAB，交 AD 于点 E，ABP 的面积等于矩形 ABCD 的面积的 ，12AE1210AE8，作点 A 关于 PE 的对称点 A，连接 AB 交 PE 于点 P，此 eq oac(,时)ABP 周长最小， AEAE8，AA16，12AB 20，ABP 周长的最小值AP+AB+PBAP+PB+AB20+12323（1）方法感悟：如

16、图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为 DC、BC 边上的点，且满足EAF45，连接 EF将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG，易证GAFEAF，从而得到 结论：DE+BFEF根据这个结论，若 CD6，DE2，求 EF 的长（2）方法迁移：如图，若在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF BAD，试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，证明你的结论（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD 中，ABAD，B+ADC180，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的点，且EAF BAD，试探究线段 EF、BE、FD 之间的数 量

17、关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）解：（1）方法感悟：将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG， GBDE2，GAFEAFGFEF，CD6，DE2CE4，EF2CF2+CE2，EF2（8EF）2+16，EF5；13（2）方法迁移：DE+BFEF，理由如下：如图，将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得 eq oac(,到)ABH，由旋转可得，AHAE，BHDE，12，DABH， EAF DAB，HAF1+32+3 BAD，HAFEAF，ABH+ABFD+ABF180，点 H、B、F 三点共线，在AEF 和AHF 中，AEFAHF（SAS）， EFHF，HFBH+BF，EFDE+BF（

18、3）问题拓展：EFBFFD，理由如下：在 BC 上截取 BHDF，14B+ADC180，ADC+ADF180，BADF，且 ABAD，BHDF， ABHADF（SAS）BAHDAF，AHAD，EAF BAD，DAE+BAHBAD，HAE BADEAF，且 AEAE，AHAD，HAEFAE（SAS）HEEF，EFHEBEBHBEDF4如图 1，在 ABCD 中，AB3cm，BC5cm，ACAB，ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到PNM，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速移动，速度为 1cm/s，当PNM 停止平移时，点 Q 也停止移动，如图 2，设移动时间为

19、t（s）（04），连结 PQ，MQ，解答下列问题：当 t当 t当 t为何值时，PQMN？为何值时，CPQ45？为何值时，PQMQ？15解：（1）AB3cm，BC5cm，ACAB， AC 4cm，MNAB，PQMN，PQAB，ts（2）如图 2，过点 Q 作 QEAC，则 QEAB，CE，QEt，CPQ45，PEQEt，t+tt+st4，（3）如图 2，过点 P 作 PFBC 于 F 点，过点 M 作 MHBC，交 BC 延长线于点 H， 四边形 PMHF 是矩形，PMFH5，APFC90，ACBPCF，ABCFPC， ，16 PF，CF ，QH5FQ5（CFCQ），PQMQ，PQF+MQH90

20、，且PQF+FPQ90，FPQMQH，且PFQH90， PFQQHM， ，ts5问题背景：如图 1，在正方形 ABCD 的内部，作DAEABFBCGCDH，根据三角形全等的条件，易得DAEABFBCGCDH，从而得四边形 EFGH 是 正方形类比探究：如图 2，在正ABC 的内部，作123，AD，BE，CF 两两相交于 D， E，F 三点（D，E，F 三点不重合）（1）ABD，BCE，CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明； （2）DEF 是否为正三角形？请说明理由；（3）如图 3，进一步探究发现 eq oac(,，)ABD 的三边存在一定的等量关系，设 BDa，ADb， ABc，请

21、探索 a，b，c 满足的等量关系（1）ABDBCECAF；理由如下： ABC 是正三角形，CABABCBCA60，ABBCAC，17又123，ABDBCECAF，在ABD、BCE 和CAF 中，ABDBCECAF（ASA）；（2）DEF 是正三角形；理由如下： ABDBCECAF，ADBBECCFA，FDEDEFEFD， DEF 是正三角形；，（3）c2a2+ab+b2作 AGBD 于 G，如图所示：DEF 是正三角形，ADG60，在 eq oac(,Rt)ADG 中，DGb，AGb，在 eq oac(,Rt)ABG 中，c2（a+b）2+（b）2，c2a2+ab+b26如图，在四边形 ABC

22、D 中，AC 是对角线，ABCCDA90，BCCD，延长 BC 交 AD 的延长线于点 E求证：ABAD；若 AEBE+DE，求BAC 的值；过点 E 作 MEAB，交 AC 的延长线于点 M，过点 M 作 MPDC，交 DC 的延长线于点 P，连接 PB设 PBa，点 O 是直线 AE 上的动点，当 MO+PO 的值最小时，点 O与点 E 是否可能重合？若可能，请说明理由并求此时 MO+PO 的值（用含 a 的式子表示）； 若不可能，请说明理由18（1）证明：ABCCDA90，BCCD，ACAC， eq oac(,Rt)ABC eq oac(,Rt)ADC（HL）ABAD（2）解：AEBE+

23、DE，又AEAD+DE，ADBEABAD，ABBEBADBEAABC90，BAD45由（1）得ABCADC，BACDACBAC22.5（3）解：当 MO+PO 的值最小时，点 O 与点 E 可以重合，理由如下： MEAB，ABCMEC90，MABEMAMPDC，MPC90MPCADC90PMADEAMPMA19由（1）得， eq oac(,Rt)ABC eq oac(,Rt)ADC，EACMAB，EMAAMP即 MC 平分PME又MPCP，MECE，PCEC如图，连接 PB，连接 PE，延长 ME 交 PD 的延长线于点 Q设EAM，则MAP在 eq oac(,Rt)ABE 中，BEA902在

24、 eq oac(,Rt)CDE 中，ECD90BEA2PCEC，PEBEPCECDPEDBEA+PEB90MEAB，QEDBAD2当PEDQED 时，PDEQDE，DEDE，PDEQDE（ASA）PDDQ即点 P 与点 Q 关于直线 AE 成轴对称，也即点 M、点 E、点 P 关于直线 AE 的对称点20Q，这三点共线，也即 MO+PO 的值最小时，点 O 与点 E 重合因为当PEDQED 时，902，也即 30所以，当ABD60时，MO+PO 取最小值时的点 O 与点 E 重合此时 MO+PO 的最小值即为 ME+PEPCEC，PCBECD，CBCD，PCBECD（SAS）CBPCDE90C

25、BP+ABC180A，B，P 三点共线当ABD60时，在PEA 中，PAEPEA60EPA60PEA 为等边三角形EBAP，AP2AB2aEPAE2aEMAEAM30，EMAE2aMO+PO 的最小值为 4a7已知：如图，在正方形ABCD 中，点 E 在 AD 边上运动，从点 A 出发向点 D 运动，到达D 点停止运动作射线 CE，并将射线 CE 绕着点 C 逆时针旋转 45，旋转后的射线与 AB 边交于点 F，连接 EF依题意补全图形；猜想线段 DE，EF，BF 的数量关系并证明；过点 C 作 CGEF，垂足为点 G，若正方形 ABCD 的边长是 4，请直接写出点 G 运 动的路线长21解：

26、（1）补全图形如图 1 所示：（2）线段 DE，EF，BF 的数量关系为：EFDE+BF理由如下： 延长 AD 到点 H，使 DHBF，连接 CH，如图 2 所示：四边形 ABCD 是正方形，BCDADCB90，BCDC，CDH90B，在CDH 和CBF 中， ，CDHCBF（SAS）CHCF，DCHBCFECF45，ECHECD+DCHECD+BCF45ECHECF45在ECH 和ECF 中， ，ECHECF（SAS）EHEFEHDE+DH，EFDE+BF；（3）由（2）得：ECHECF（SAS），CEHCEF，CDAD，CGEF，CDCG4，点 G 的运动轨迹是以 C 为圆心 4 为半径的

27、弧 DB，22点 G 运动的路线长 28如图，在正方形 ABCD 中，P 是边 BC 上的一动点（不与点 B，C 重合），点 B 关于直线 AP 的对称点为 E，连接 AE连接 DE 并延长交射线 AP 于点 F，连接 BF （1）若BAP，直接写出ADF 的大小（用含 的式子表示）；求证：BFDF；连接 CF，用等式表示线段 AF，BF，CF 之间的数量关系，并证明（1）解：由轴对称的性质得：EAPBAP，AEAB，23四边形 ABCD 是正方形，BAD90，ABAD，DAE902，ADAE，ADFAED （180DAE） （90+2）45+； （2）证明：四边形 ABCD 是正方形，BAD

28、90，ABAD，点 E 与点 B 关于直线 AP 对称，AEFABF，AEABAEADADEAEDAED+AEF180，在四边形 ABFD 中，ADE+ABF180，BFD+BAD180，BFD90BFDF；（3）解：线段 AF，BF，CF 之间的数量关系为 AF过点 B 作 BMBF 交 AF 于点 M，如图所示： 四边形 ABCD 是正方形，ABCB，ABC90，ABMCBF，点 E 与点 B 关于直线 AP 对称，BFD90， MFBMFE45，BMF 是等腰直角三角形，BF+CF，理由如下：BMBF，FMBF，在AMB 和CFB 中， ，AMBCFB（SAS），AMCF，AFFM+AM

29、，24AFBF+CF9如图 1，已知等腰 eq oac(,Rt)ABC 中，E 为边 AC 上一点，过 E 点作 EFAB 于 F 点，以为边 作正方形，且 AC3，EF 如图 1，连接 CF，求线段 CF 的长；将等腰 eq oac(,Rt)ABC 绕点旋转至如图 2 的位置，连接 BE，M 点为 BE 的中点，连接 MC， MF，求 MC 与 MF 关系解：（1）如图 1，ABC 是等腰直角三角形，AC3，AB3，过点 C 作 CMAB 于 M，连接 CF，CMAMAB ，四边形 AGEF 是正方形， AFEF ，MFAMAF ，在 eq oac(,Rt)CMF 中，CF ；25（2）CM

30、FM，CMFM，理由：如图 2，过点 B 作 BHEF 交 FM 的延长线于 H，连接 CF，CH，BHMEFM，四边形 AGEF 是正方形，EFAF点 M 是 BE 的中点，BMEM，在BMH 和EMF 中，BMHEMF（AAS），MHMF，BHEFAF四边形 AGEF 是正方形，FAG90，EFAG，BHEF，BHAG，BAG+ABH180，CBH+ABC+BAC+CAG180 ABC 是等腰直角三角形，BCAC，ABCBAC45， CBH+CAG90，CAG+CAF90，CBHCAF，在BCH 和ACF 中，26，BCHACF（SAS），CHCF，BCHACF，HCFBCH+BCFACF

31、+BCF90，FCH 是等腰直角三角形，MHMF，CMFM，CMFM；10如图将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转角度 （090）得到正方形 ABCD（1）如图 1，BC与 AC 交于点 M，CD与 AD 所在直线交于点 N，若 MNBD，求 ； （2）如图 2，CB与 CD 交于点 Q，延长 CB与 BC 交于点 P，当 30时求DAQ 的度数；若 AB6，求 PQ 的长度解：（1）如图 1 中，MNBD，CMNCBD45，CNMCDB45， CMNCNM，CMCN，CBCD，MBND，ABAD，ABMADN90，eq oac(,AB)eq oac(, )Meq oac(,AD)eq o

32、ac(, )N（SAS），27BAMDAN，BAD90，MAN45，BAMDAN22.5， BAC45，BAB22.5，22.5（2）如图 2 中，ABQADQ90，AQAQ，ABAD， eq oac(,Rt)AQB eq oac(,Rt)AQD（HL），QABQAD，BAB30，BAD90，BAD30，QAD BAD30如图 2 中，连接 AP，在 AB 上取一点 E，使得 AEEP，连接 EP设 PBa ABPABP90，APAP，ABAB， eq oac(,Rt)APB eq oac(,Rt)APB（HL），BAPPAB15，EAEP，EAPEPA15，BEPEAP+EPA30，28PE

33、AE2a，BE AB6，2a+ a6，a，a6（2PB6（2），PCBCPB66（2 ）66，CPQ+BPB180，BAB+BPB180， CPQBAB30，PQ 12411已知，如图 1，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，点 F 在边 AD 上，过点 A 作 AGEF ，分别交线段 CD、EF 于点 G、H（点 G 不与线段 CD 的端点重合） （1）如图 2，当 G 是边 CD 中点时，求 AF 的长；设 AFx，四边形 FHGD 的面积是 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值 范围；联结 ED，当FED45时，求 AF 的长解：（1）E 是

34、AB 的中点，AB2，AEAB1，同理可得 DG1，AGEF，AHFHAF+AFH90，四边形 ABCD 是正方形，ADG90DAG+AGD， AFHAGD，EAFADG90，29ADG AFHEAFADG， ，即 ，AF ；（2）如图 1，由（1）知：EAFADG， ，即 ，DG2x，HAFDAG，AHFADG90，AHFADG， ， ，AH ，FH ，y S ，eq oac(,S)eq oac(, ) ，2x ，如图 2，当 G 与 C 重合时，EFAG，30AHE90，EAH45，AEH45，AFAE1，0 x1；y 关于 x 的函数关系式为：y2x （0 x1）；（3）如图 3，过 D

35、 作 DMAG，交 BC 于 M，连接 EM，延长 EA 至 N，使 ANCM， 连接 DN，设 CMa，则 ANa，ADCD，NADDCM90， NADMCD（SAS），ADNCDM，DNDM， EFAG，DMAG，EFDM，EDMFED45，ADE+CDMEDM45，NDA+ADENDEEDM，31EDED，NDEMDE（SAS），ENEMa+1，BM2a，在 eq oac(,Rt)EBM 中，由勾股定理得：BE2+BM2EM2，12+（2a）2（a+1）2，a ，AEF+EAGEAG+DAG，AEFDAGCDM，tanAEFtanCDM， ， ，AF 12如图 1，对角线互相垂直的四边形

36、叫做垂美四边形概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂 美四边形吗？请说明理由；性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD试证明：AB2+CD2AD2+BC2；（3）解决问题：如图 3，ACB 中，ACB90，ACAG 且 ACAG，ABAE 且 AE AB，连结 CE、BG、GE已知 AC4，AB5，求 GE 的长32解：（1）四边形 ABCD 是垂美四边形， 理由如下：连接 AC，BD，ABAD，点 A 在线段 BD 的垂直平分线上， CBCD，点 C 在线段 BD 的垂直平分线上， AC 是线段 BD

37、的垂直平分线，四边形 ABCD 是垂美四边形；（2）ACBD，AODAOBBOCCOD90，由勾股定理得，AD2+BC2AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2AB2+CD2；故答案为：AB2+CD2AD2+BC2；（3）CAGBAE90，CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE， 在GAB 和CAE 中，GABCAE（SAS），ABGAEC，又AEC+AME90，ABG+AME90，即 CEBG，四边形 CGEB 是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2CB2+GE2，AC4，AB5，BC3，CG4，BE5，33GE2CG2+BE2CB

38、273，GE 13如图 1，四边形 ACEB，连接 BC，ACBBEC90，D 在 AB 上，连接 CD，ACD ABC，BECD求证：四边形 CDBE 为矩形；如图 2，连接 DE，DE 交 BC 于点 O，若 tanA2，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有长度与AD 的长度相等的线段（1）证明：ACB90， A+ABC90，ACDABC，A+ACD90，ADC90，BDC1809090BEC，在 eq oac(,Rt)BCD 和 eq oac(,Rt)CBE 中， eq oac(,Rt)BCD eq oac(,Rt)CBE（HL）， BDCE，CDBE，四边形 CDBE 是平行四边形， 又BEC90，四边形 CDBE 为矩形；，（2 ）解：图中所有长度与AD 的长度相等的线段为 AC OCOBOD OEAD理由如下：由（1）得：四边形 CDBE 为矩形，ADC90，34BCDE，ODOE，OB