中考数学二轮专题复习教案：专题一“最值问题”之专题复习-平面几何中的最值问题

1、第 页共4页专题复习一一平面几何中的最值问题I在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题.如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率.在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量(如线段的长度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种：应用几何性质：三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；两点间线段最短；连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；定圆中的所有弦中，直径最长。运用代数证法：运用配方法求二次三项式的最值；运用一元二

2、次方程根的判别式。例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。例2、已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大？分析：本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R.由于ABCD，必有AC=BD.若设CD=2y,AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可.例3、如上右图是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？例4、已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大？分析因为P点是半圆上的动点，当

3、P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB.因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值.例5、如图，在直角厶ABC中，AD是斜边上的高，M,N分别是ABD，ACD的内心，直线MN交AB，AC于K,L.求证：S22S.ABCAKL例6、如图.已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P,Q.求证：PQWAB.证明：设过P,Q的直线与AB,AC分别交于P,Q,连结PC,显然，PQWPQ.11111因为ZAQ1P1+ZP1Q1C=180，所以ZAQ1P】和ZPQC中至少有一个直角或钝角.若ZAQP90：，则PQWPQWAPNAb；11若ZpQC90。，贝9PQWP；Q；

4、WPC.同理,ZAP1C和ZBPC中也至少有一个直角或钝角，不妨设ZBP1C90,贝VPCWBC=AB.对于P,Q、两点的其它位置也可作类似的讨论，因此，PQWAB.1例7、设厶ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线1,顶点B,C到1的距离设为d,d，求d+d的最大值.1212解如图，延长BA到B，使AB=AB,连BC则过顶点A的直线1或者与BC相交，或者与BC相交.以下分两种情况讨论.-Cd1+d3)-AD=SZD+仏亦=Sc*36,所以1373才is7|6只有当1丄BC时，取等号.V臨g盈疗若1与BC相交于D,则1-(dL+da)*AD=SiBLA+iACD=ABDA+Ja】+dac呂

5、乎=6ys.上式只有1丄BC时，等号成立.综合:、Gm+如的最大值为例8、如图.已知直角AOB中，直角顶点0在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长A0,所以等号从而AE二EAE二AC9A空士-竺単子八町占即AB22.若1与BC相交于D,则当AO=B0时，AB有最小值2.从而11Scd=2AC#BD=2C1+0AX1+B0：)11=齐1十直O十EO十EO(i+2jgEO5O*EO乙222222.1(g+-：所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为专题复习一一几何的定值与最值|几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题

6、，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明.几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：特殊位置与极端位置法；几何定理（公理）法；数形结合法等.注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性（目标不明确），解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.【例题就解】【例1】如图，已知AB=10,P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分

7、别以AP和PB为边作等边AAPC和等边BPD，则CD长度的最小值为.思路点拨如图，作CC丄AB于C,DD丄AB于D，DQ丄CC，CD2=DQ2+CQ2,DQ=1AB一2常数，当CQ越小，CD越小，本例也可设AP=x，则PB=10-x，从代数角度探求CD的最小值.注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：（1）中点处、垂直位置关系等；（2）端点处、临界位置等.【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T,圆交AC、BC于M、N,则对于所有可能的圆的位置而言，A.为的度数（）从60到90变动C.保持30。不变D.保持60

8、。不变思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断.注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值.【例3】如图，已知平行四边形ABCD,AB=a,BC=b（ab）,P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值.思路点拨设AP=x，把AP、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式a2+b22ab（当且【例4】如图，已知等边ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M,设直线AC与BM相交于K,直线CB与AM相交

9、于点N,证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.思路点拨即要证AKBN是一个定值，在图形中ABC的边长是一个定值，说明AKBN与AB有关，从图知ABAB皿与厶ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AKBN=AB2，从而我们的证明目标更加明确注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题【例5】已知AXYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(ZZ=90)，它的三个顶点分别在等腰RtAABC(ZC=90)的三边上，求ABC直角边长的最大可能值.思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点乙在(AC或CB)上时，设C