新高考新教材一轮复习人教B版 第八章 第三节　圆的方程 学案

1、第三节圆的方程课程标准解读回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 知识排查微点淘金知识点一圆的定义与方程知识点二点与圆的位置关系圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)微思考1二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的条件是什么？提示：eq blcrc (avs4alco1(AC0，,B0，,D2E24AF0.)2写出圆x2y2DxEyF0和两坐标轴都相切的条件提示：eq blcrc (avs4alco1(D2E24F0，,D2E24F.)常用结论以A(x1，y1)，B(x2，y

2、2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.小试牛刀自我诊断1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(3)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F0.()(4)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆()答案：(1)(2)(3)(4)2已知圆C经过A(5,2)，B(1，4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_.答案：

3、(x1)2y2203点M(3，6)到圆(x3)2(y2)216上点的最大距离为_.答案：84(忽视圆的充要条件)若方程x2y2mx2y30表示圆，则m的取值范围是_.解析：将x2y2mx2y30化为圆的标准方程得eq blc(rc)(avs4alco1(xf(m,2)2(y1)2eq f(m2,4)2.由其表示圆可得eq f(m2,4)20，解得m2eq r(2).答案：(，2eq r(2)(2eq r(2)，)5(错用点与圆的位置关系判定)若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_.解析：因为点(1,1)在圆内，所以(1a)2(1a)24，即1a0)，因为点A(4

4、,1)，B(2,1)在圆上，故eq blcrc (avs4alco1(4a21b2r2，,2a21b2r2，)又因为eq f(b1,a2)1，解得a3，b0，req r(2)，故所求圆的方程为(x3)2y22.答案(x3)2y22求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解学会用活1(2021湖北八校联考)已知圆C的圆心在y轴上，点M(3,

5、0)在圆C上，且直线2xy10经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是()Ax2(y3)218Bx2(y3)218Cx2(y4)225Dx2(y4)225解析：选C设圆C的圆心坐标为(0，b)，则线段CM的中点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(b,2)，因为直线2xy10经过线段CM的中点，所以2eq f(3,2)eq f(b,2)10，解得b4，所以圆C的圆心坐标为(0,4)，半径r|CM| eq r(032402)5，所以圆C的标准方程是x2(y4)225.故选C二、综合探究点与圆有关的轨迹问题(思维拓展)典例剖析例2(1)点P(4，2)与圆x2y24上任意一

6、点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21解析选A设圆上任意一点的坐标为(x1，y1)，其与P点连线的中点坐标为(x，y)，则eq blcrc (avs4alco1(xf(x14,2)，,yf(y12,2)，)即eq blcrc (avs4alco1(x12x4，,y12y2，)代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.(2)已知圆C：(x1)2(y1)29，过点A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为_.解析设P(x，y)，圆心C(1,1)因为P点是过点A的弦的

7、中点，所以eq o(PA,sup6()eq o(PC,sup6().又因为eq o(PA,sup6()(2x,3y)，eq o(PC,sup6()(1x,1y)所以(2x)(1x)(3y)(1y)0.所以点P的轨迹方程为eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)2(y2)2eq f(5,4).答案eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)2(y2)2eq f(5,4)拓展变式变条件若将本例(2)中点A(2,3)换成圆上一点B(1,4)，其他条件不变，则这些弦的中点P的轨迹方程为_.解析：设P(x，y)，圆心C(1,1)当点P与点B不重合时，因为P点是过点B的弦的中点

8、，所以eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()，又因为eq o(PB,sup6()(1x,4y)，eq o(PC,sup6()(1x,1y)所以(1x)(1x)(4y)(1y)0.所以点P的轨迹方程为(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(5,2)2eq f(9,4)；当点P与点B重合时，点P满足上述方程综上所述，点P的轨迹方程为(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(5,2)2eq f(9,4).答案：(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(5,2)2eq f(9,4)求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法，直接根据题目提

9、供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等学会用活2已知RtABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3，0)，求：(1)三角形直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解：(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，且BC，AC斜率均存在，所以kACkBC1，又kACeq f(y,x1)，kBCeq f(y,x3)，所以eq f(y,x1)eq f(y,x3)1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30

10、(y0)法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|eq f(1,2)|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得xeq f(x03,2)，yeq f(y00,2)，所以x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹

11、方程为(x2)2y21(y0)三、应用探究点与圆有关的最值问题(多向思维)典例剖析思维点1几何法求与圆有关的最值问题例3已知实数x，y满足方程x2y24x10，则(1)eq f(y,x)的最大值和最小值分别为_和_；(2)yx的最大值和最小值分别为_和_；(3)x2y2的最大值和最小值分别为_和_.解析原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，eq r(3)为半径的圆(1)eq f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq f(y,x)k，即ykx.当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时eq f(|2k0|,r(k21)eq r(3)，解得ke

12、q r(3).所以eq f(y,x)的最大值为eq r(3)，最小值为eq r(3).(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq f(|20b|,r(2)eq r(3)，解得b2eq r(6)，所以yx的最大值为2eq r(6)，最小值为2eq r(6).(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2eq r(3)274eq r(3)，x2y2的最小值是(2eq r(3)274eq r(3).答案(1)eq r

13、(3)eq r(3)(2)2eq r(6)2eq r(6)(3)74eq r(3)74eq r(3)借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解(1)形如eq f(yb,xa)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题思维点2代数法求与圆有关的最值问题例4设点P(x，y)是圆：x2(y3)21上的动点，定点A(2,0)，B(2,0)，则eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()的最大值为_.解析

14、由题意，知eq o(PA,sup6()(2x，y)，eq o(PB,sup6()(2x，y)，所以eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()(y3)21y246y12.由圆的方程x2(y3)21，易知2y4，所以，当y4时，eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()的值最大，最大值为641212.答案12根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值学会用活3(2021桂林一模)已知A(0,2

15、)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_.解析：因为圆C：x2y24x2y0，故圆C是以C(2,1)为圆心，半径req r(5)的圆设点A(0,2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，则eq blcrc (avs4alco1(f(m0,2)f(n2,2)20，,f(n2,m0)1，)解得eq blcrc (avs4alco1(m4，,n2，)故A(4，2)连接AC交圆C于Q，由对称性可知，|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2eq r(5).答案：2eq r(5)4(2021银川一模)设点P(x，y)是圆：(x3)2y24上的动点，定点A(0,2)，B(0，2)，则|eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()|的最大值为_.解析：由题意，知eq o(PA,sup6()(x,2y)