高等数学习题精选精解

1、第一章 极限与连续1、函数的定义域为（ ）2、函数的定义域为（ ）3、已知，则的定义域为（）4、已知，且，则= ，定义域为（）5、已知函数，则 ，其定义域为（），其中 ，且 6、设，且，则的定义域为（）7、已知，求8、设，求9、设，求10、设，求11、设满足，且，求12、设，则（）13、设，则等于（）14、设，则等于（）15、下列函数中非奇非偶的函数是（）（1），（2），（3），（4）16、设为奇函数，判断下列函数的奇偶性：（1），（2），（3），（4），（5）17、已知函数满足，则是（）（1）奇函数，（2）偶函数，（3）非奇非偶函数，（4）不能确定18、设为奇函数，为偶函数，且它们可以构成复

2、合函数，则其中是奇函数的是（）19、设在上有定义，且对任意有，证明在上单调增加20、设、是定义在上的单调增加函数，且，证明21、设是表示不超过的最大整数，则是（）（1）无界函数，（2）周期为1的周期函数，（2）单调函数，（3）偶函数22、设对任何，存在常数，使得，证明是周期函数。23、函数的反函数为（）24、函数的值域是（）25、函数的值域是（）26、求的值域，并求它的反函数27、“对任意给定的，总存在正整数，当时，恒有”是数列收敛于的（）（1）充分条件但非必要条件，（2）必要条件但非充分条件，（3）充分必要条件，（4）既非充分条件又非必要条件28、设，均为非负数列，且，则必有（）（1），对任

3、意成立，（2），对任意成立，（3）极限不存在（4）极限不存在29、设，证明数列没有极限30、证明：数列是发散的31、设对任意的，总有，且，则等于（）（1）存在且等于零，（2）存在但不一定为零，（3）一定不存在，（4）不一定存在32、设，试讨论及33、证明不存在34、求函数，当时的左右极限，并说明时极限是否存在。35、当时，变量是（）（1）无穷小，（2）无穷大，（3）有界，但不是无穷小量，（4）无界，但不是无穷大量36、函数是（）（1）当时为无穷大，（2）在内有界，（3）在无界，（4）当有有限极限37、设数列，满足，则下列结论正确的是（）（1）若发散，则必发散（2）若无界，则必有界，（3）若有界

4、，则必为无穷小（4）若为无穷小，则必为无穷小38、当时，函数的极限为（）（1）2，（2）0，（3），（4）不存在39、设，求40、求41、=（）42、极限=（）43、44、=（）45、=（）46、设，求47、=（）48、设函数，则=（）49、若，则=（）50、设，求51、求52、利用极限存在准则证明：53、求54、设，其中，求55、证明数列，.的极限存在，并求该极限56、=（）57、=（）58、=（）59、设，则=（）60、设常数，则=（）61、为正整数，为某实数，且，则=（），并且=（）62、已知，其中，是常数，则=（），=（）63、若，则=（），=（）64、试确定常数，使下式成立：65、当

5、时，下列4个无穷小量中比其他3个更高阶的无穷小量是（）（1），（2），（3），（4）66、若时，与是等价无穷小，则=（）67、设时，与是同阶无穷小，则=（）68、设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数=（）69、=（）70、71、72、73、74、75、76、77、设在连续，且存在，则=（）78、设，则的连续区间为（）79、讨论函数的连续性80、若在连续，求的值81、设函数在连续，则=（）82、设函数当=（）=（）时，在内连续83、若在点连续，且对任意的都成立，试证为上的连续函数84、讨论函数的连续性，若有间断点，判断其类型85、设，讨论的连续性86、已知，（1）求，（2）函数

6、在定义域内是否连续87、设函数，则（）（1），都是的第一类间断点，（2），都是的第二类间断点（3）是的第一类间断点，是的第二类间断点（4）是的第二类间断点，是的第一类间断点88、设，则的间断点是（）89、指出下列函数在指定点处的间断点类型，如果是可去间断点。则补充或改变函数的定义使之连续（1），（2），（3），（4），90、设函数，（1）求的反函数；（2）求的间断点91、设函数，讨论的间断点92、函数在下列哪个区间内有界（）（1），（2）（3），（4）93、设函数在上连续，且时函数的极限存在，则函数在上有界。94、设函数在上连续，且存在，证明：函数在上有界。95、证明方程恰有3个实根。96、若

7、函数在上连续，且，证明：在内至少存在一点，使得。97、证明：奇次多项式至少存在一个零点。98、设函数在上连续，证明：在内至少存在一点，使得99、求的一个值，使，这里，均为常数。100、设均为常数，求方程的一个解。101、设在附近有界，且满足方程，求102、设满足，求103、设，求104、105、106、107、108、109、110、111、112、设，证明数列的极限存在，并求该极限。113、设，证明收敛114、设，证明收敛，并求极限115、116、117、表示的取整函数）118、设，证明：119、120、设，试求常数，121、设为连续函数，试确定，的值。122、设，求，的值使得在上连续。12

8、3、设函数在上连续，且，则常数，满足（）（1），（2），（3），（4）124、设函数，问函数在处是否连续？若不连续，修改函数在处的定义，使之连续。125、求函数在区间内的间断点，并判断其类型。126、设和在内有定义，为连续函数，且，有间断点，则（1）必有间断点，（2）必有间断点，（3）必有间断点，（4）必有间断点127、设在内有定义，且，则（1）必是第一类间断点，（2）必是第二类间断点，（3）必是的连续点，（4）在的连续性与有关，128、设在上连续，且，求证（1）存在，使得（2）对任何正整数，存在，使得129、设函数在上连续，且，证明：在内至少存在一点，使得，其中，为任意常数130、设函数在（

9、为自然数，）上连续，证明：存在、，使得131、设函数在上连续，且，试证至少存在一点，使得第二章 导数与微分132、设，则=（）133、设，其中在连续，求134、设函数在内有定义，在区间上，若对任意的都满足，其中为常数，（1）写出在区间上的表达式，（2）问为何值时，在可导。135、设，则在处的（）（1）左右导数都存在，（2）左导数存在，右导数不存在（3）左导数不存在，右导数存在（4）左右导数都不存在136、设函数，则函数在点处的导数是（）137、函数不可导点的个数是（）（1）3，（2）2，（3）1，（4）0138、设可导，则是在点处可导的（）（1）充分必要条件（2）充分条件（3）必要条件（4）既

10、非充分也非必要条件139、设函数，其中在点处连续，则是在处可导的（）（1）充分必要条件（2）充分条件（3）必要条件（4）既非充分也非必要条件140、设函数在处可导，且，求141、设函数在点处连续，且，则（）（1）且存在，（2）且存在，（3）且存在，（4）且存在，142、设函数在点处连续，且存在，证明：在点处可导143、当时，是的高阶无穷小，则=（）144、设函数在点处可导，（即存在），且，又，求145、下列各题中均假定存在，按照导数的定义，求出下列各题中的值（1）（2），设，且存在（3）146、设函数在点处的导数存在，是常数，求极限147、已知，则=（）148、设，则=（）（1），（2）2（3

11、）（4）4149、设函数在点处可导，且则=（）150、若函数满足条件，且（常数、），求151、设函数在上有定义，对任意的有，且存在，求152、设函数是上的非零函数，对任意的有，且，证明：153、设函数对任意非零数，有且，求154、设函数，其中为有界函数，则在处（）（1）极限不存在（2）极限存在，但不连续（3）连续但不可导（4）可导155、设函数，在处可导，则，156、设函数有连续的导函数，且，若函数在处连续，则常数157、设，其中在处可导，则是的（）（1）连续点（2）第一类间断点（3）第二类间断点（4）连续点或间断点不能确定158、设函数为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线斜率为（）（1

12、）2（2）-1（3）（4）-2159、设周期函数在内可导，周期为4，有，则曲线在点处的切线斜率为（）（1）（2）0（3）-1（4）-2160、一质点的运动方程为，试求这质点在时的瞬时速度161、车轮运动，其转动角决定于函数，其中、为常量，为时间，试求其瞬时角速度，并求车轮在何时停止转动。162、有一非均匀的细杆，其长为20cm，段的质量与从点到的距离平方成正比例增加，并且已知一段时，质量等于8g，试求：（1）cm的一段轴上的平均线密度（2）全轴的线密度（3）在点的密度163、设，则164、设，则165、设，则166、若，则167、已知，则168、设函数可微，则（1）（2）（3）（4）169、设

13、，其中二阶可导，求170、设可导函数满足：，其中、为常数，且，求171、设函数在上满足：，试求172、讨论函数（1）在处的连续性和可导性（2）求出导函数173、试确定常数、的值，使函数在处可导，并求出导函数174、设，其导函数在处连续，则的取值范围是（）175、设，试讨论在点处的连续性176、设，其中有二阶连续导数，且，（1）求（2）讨论在上的连续性177、设，则178、设，其中具有二阶导数，求179、设，则180、设函数在的某邻域内可导，且，则181、设函数的反函数及、均存在，且，则182、设，则183、设，则184、设，则185、已知具有任意阶导数，且，求186、设，其中在点的一个邻域内有

14、阶连续导数，则187、求函数在处的阶导数188、设函数由方程确定，求189、设方程确定为的函数，则190、函数由方程所确定，则191、已知函数由方程确定，则192、方程确定函数，求193、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求194、设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求195、设，求196、设，求197、曲线在点处的法线方程为（）198、设，其中可导，且，则199、设函数由参数方程所确定，则200、设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为0.1，则（1）-1（2）0.1（3）1（4）0.5201、设，其中可微，则202、设函数由方程所确定，

15、则203、设方程确定函数，则204、已知，则205、求下列极限：（1）（2）（3）206、已知函数在内可导，且满足，求207、设可导，若使在处可导，则必有（）（1）（2）（3）（4）208、设为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数（）（1）在处左极限不存在，（2）有跳跃间断点（3）在处右极限不存在，（4）有可去间断点209、设，则在点处可导的充要条件是（）（1）存在，（2）存在，（3）存在，（4）存在210、设函数在区间内有定义，若当时，恒有，则必是的（）（1）间断点（2）连续而不可导点（3）可导点，且（4）可导点211、设函数在点处可导，则函数在点处不可导的充要条件是（）（1）且（2）且，（3

16、）且（4）且212、设在上连续，且，则下列结论中错误的是（）（1）至少存在一点，使得（2）至少存在一点，使得（3）至少存在一点，使得（4）至少存在一点，使得213、设函数，则在上不可导点的个数为（）214、设函数具有一阶连续导数，且存在，试证明函数是连续的，且具有一阶连续导数。215、设（为常数，且），问满足什么条件，才能使（1）在上连续（2）存在，（3）在上有界216、设函数，试问为何值时，217、设，其中具有二阶导数，且，求218、设由，求219、设函数由方程组所确定，试求220、设是抛物线上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是（）221、已知曲线与轴相切，则222、设函数由

17、方程所确定，则曲线在点处的法线方程为（）223、曲线在处的切线方程（）224、设函数由方程组所确定，则曲线在处的法线与轴交点的横坐标是（）225、对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为（）226、已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程是（）227、已知是周期为5的连续函数，它在的某个邻域内满足关系式其中是当时比的高阶无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程228、如图所示，设曲线的方程为，且。又、分别为该曲线在点处的切线和法线，已知的长度为，试推导出点的坐标表达式229、曲线的切线与轴和轴围成一个图形，记切点的横坐标为，试求切线方程和这个图形的面积。当切点沿曲线趋

18、于无穷远时，该面积的变化趋势如何？第三章 微分中值定理与导数的应用230、验证罗尔定理对在上的正确性231、验证函数在上是否满足拉格朗日定理，若满足，求出满足定理中的232、设在上连续，在内可导，且，试证：至少存在一点，使得233、设在上有三阶导数，且，设，试证：在内存在一点，使得234、若函数在内具有二阶导数，且，其中，证明：在内至少存在一点，使得235、设函数在上连续，在内可导，且，试证：（1）存在，使得（2）对任意实数，必存在，使得236、设抛物线与轴有两个交点、，有在内具有二阶导数，且，若曲线与在内有一个交点，求证，在内存在一点，237、不用求出函数的导数，说明方程，有几个实根，并指出

19、他们所在的区间238、设是满足的实数，证明多项式在内至少有一个零点239、若方程有一个正根，证明方程必有一个小于的正根。240、设满足的实数，证明方程在内至少有一个实根241、设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处的增量与微分，若，则（）（1）（2）（3）（4）242、设函数在内有界且可导，则（）（1）当时，必有，（2）当存在时，必有（3）当时，必有，（4）当存在时，必有，243、设函数处处可导，则（）（1）当时，必有，（2）当时，必有（3）当时，必有，（4）当时，必有244、以下命题中，正确的是（）（1）若在内连续，则在内有界（2）若在内连续，则在内有界（3）若在内有界

20、，则在内有界（4）若在内有界，则在内有界245、设函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，则（）（1）当时，存在，使得（2）对任意的，有（3）当时，存在，使得（4）存在，使得246、设在区间上，则，或的大小顺序是（）（1）（2）（3）（4）247、设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，证明：在区间内至少存在一点，使得248、设函数在闭区间上满足罗尔定理的条件，且不恒等于常数，证明：在区间内至少存在一点，使得249、假设函数在上连续，在内二阶可导，过点与的直线与曲线相交于点，其中。证明：在区间内至少存在一点，使得250、证明恒等式：251、证明恒等式：252、证明不等式：253、已知在内可导，且，

21、求254、设，证明：，其中在与之间255、设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，试证：存在，使得256、设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，试证：存在，使得257、试证：258、计算259、计算：260、计算：261、262、263、264、设，其中，则必有（）（1）（2）（3）（4）265、求266、求267、求268、求269、求270、求271、求272、计算：273、计算：274、计算：275、求276、求277、278、若均为常数，求279、求280、为自然数）281、设时，与是同阶无穷小，则（1）1，（2）2，（3）3，（4）4282、设时，与是等价无穷小，则283、试确定常

22、数的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小。284、若在上连续，则285、已知在处连续，则286、设，试补充定义，使得在上连续。287、设，求函数的间断点并指出其类型。288、的麦克劳林公式公式中项的系数是（）。289、求函数在处带拉格朗日型余项的阶泰勒展开式。290、设，则（）（1），（2），（3），（4）291、292、293、设当时，是比高阶的无穷小，则（）（1）（2）（3），（4）294、设函数在的某邻域内具有一阶连续导数，且，若在时是比高阶的无穷小，试确定的值295、试证明：若在上存在二阶导数，且，则存在，使得296、设在上二阶可导，且，在上的最小值等于-1，试证明至少存在一点，使得。2

23、97、设三阶可导，且，证明：298、设在内可导，且对任意的，当时，都有，则（）（1）对任意的，（2）对任意的，（3）函数单调增加（4）函数单调增加299、设函数、是恒大于零的可导函数，且，则当时，有（）（1），（2）（3），（4）300、设在上，则则，或的大小顺序是（）（1）（2）（3）（4）301、已知函数在区间内具有二阶导数，严格单调减少，且，则（）（1）在和内均有（2）在和内均有（3）在内有，在内（4）在内有，在内302、若，在内且，则在内有（）（1），（2）（3）（4）303、证明：函数在区间上单调增加304、设在上连续，在上存在且大于零，记，证明：在内单调增加。305、试证:当时，3

24、06、设，证明：（1）（2）307、证明：时，有308、设，问和，何者最大？为什么？309、设，常数，证明：310、设，证明：311、设,证明：对任何,有312、当取下列哪个值时，函数恰有两个不同的零点（）（1）2（2）4（3）6（4）8313、设常数，函数在内零点的个数为（）（1）3（2）2（3）1（4）0314、在区间内，方程（）（1）无实根（2）有且仅有一个实根（3）有且仅有两个实根（4）有无穷多实根315、讨论函数的零点，其中316、函数的拐点是（）317、曲线（）（1）没有拐点（2）有两个拐点（3）有一个拐点（4）有三个拐点318、曲线的拐点个数为（）（1）0（2）1（3）2（4）3

25、319、点是曲线的拐点，则应满足什么条件？320、设，则（）（1）是的极值点，但不是曲线的拐点（2）不是的极值点，但是曲线的拐点（3）是的极值点，且是曲线的拐点（4）不是的极值点，且也不是曲线的拐点321、设，则下列选项正确的是（）（1）是的极大值，（2）是的极大值（3）是的极小值，（4）是曲线的拐点322、设函数满足关系式，且，则（）（1）是的极大值（2）是的极小值（3）是曲线的拐点（4）不是的极值，不是曲线的拐点323、曲线的的凸区间是（）324、求曲线的凹凸区间和拐点325、函数在区间的图形是（）（1）凹的（2）凸的（3）既是凹的又是凸的（4）直线326、设函数由参数方程确定，则曲线凸的

26、的取值范围是（）327、证明：当时，有328、证明：当时，329、设，下列命题正确的是（）（1）是的极大值，是极小值，（2）是的极小值，是极大值（3）是的极大值，也是极大值（4）是的极小值，也是极小值330、设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有（）（1）一个极小值点和两个极大值点（2）两个极小值点和一个极大值点（3）两个极小值点和两个极大值点（4）三个极小值点和一个极大值点331、设是满足方程的解，且，则在（）（1）的某邻域内单调增加，（2）的某邻域内单调减少（3）处取得极小值（4）处取得极大值332、已知函数对一切满足，若，则（）（1）是的极大值，（2）是的极小值（3）是曲线的拐点（

27、4）不是的极值，也不是曲线的拐点333、设的导数在处连续，有，则（）（1）是的极小值，（2）是的极大值（3）是曲线的拐点（4）不是的极值，不是曲线的拐点334、设，则在点处（）（1）的导数存在。且，（2）取得极大值（3）取得极小值（4）的导数不存在335、设是方程的一个解，若，且，试判断是否为极值点？如果是极值点，那么是极大值点还是极小值点？336、设函数由方程所确定。试求的驻点，并判断是否为极值点？337、已知二次方程有实根，试问当为何值时，它是方程两根之积的极值点，并求极值338、求的范围，使函数既无极大值又无极小值？339、设，在内的驻点为，问为何值时，最小，并求出最小值？340、作半径

28、为的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积最小，并求出该最小值。341、宽度为米的河流修筑一条宽为米的运河，二者成直角相交，问能驶进该运河的船，其最大长度为多少？342、证明：若，则对于内任意，有343、设、是大于1的常数，且，证明：对于任意，有344、设，且，证明：345、曲线的水平渐近线方程为（）346、当时，曲线（）（1）有且仅有水平渐近线（2）有且仅有铅直渐近线（3）既有水平渐近线也有铅直渐近线（4）既无水平渐近线也无铅直渐近线347、曲线的渐近线有（）（1）1条（2）2条（3）3条（4）4条348、曲线（）（1）仅有水平渐近线（2）仅有铅直渐近线（3）既有水平渐近线也有铅直渐近

29、线（4）既有铅直渐近线又有斜渐近线349、曲线的渐近线方程是（）350、曲线的斜渐近线方程为（）351、已知曲线满足，求该曲线的斜渐近线352、求函数的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线353、已知函数，求（1）函数的增减区间及极值（2）函数图形的凹凸区间及拐点（3）函数图形的渐近线354、设函数在定义域内可导，的图形如图354（1）所示，则导函数的图形如图354（2）中的（）355、作出函数的图像356、设摆线，问为何值时曲率最小，并求出最小曲率和该点处的曲率半径357、如图所示，设曲线上的方程，且，又分别是该曲线在点处的切线和法线，已知线段长度为，求点的坐标表达式358、设是抛物线上任

30、一点处的曲率半径，是该抛物线上介于点与之间的弧长，计算的值359、求曲线上曲率半径为最小的点的坐标360、汽车连同载重共5吨，在抛物线拱桥上行驶，速度为21.6，桥的跨度为10米，拱的矢高为0.25米，求汽车越过桥顶时对桥的压力。361、设函数在上连续，在内可导，且，试证必存在使得362、假设函数和在上存在二阶导数，并且，试证（1）在开区间内（2）在开区间内至少存在一点，使得363、设函数在闭区间上连续，在内可导，且，试证至少有一点，使得364、设在上连续，且，证明，其中365、假设函数在上连续，在内二阶可导，过点与的直线与曲线相交于点，其中，证明：在内至少存在一点，使得366、设函数和在上连

31、续，在内二阶可导且存在相等的最大值，证明：存在，使得367、设函数在闭区间上连续，在内二阶可导，且有，则至少有一点，使得368、设，在上连续，在内可导，证明：在必有与，使得369、设函数在上连续，在内可导，且,试证：存在、，使得370、已知函数在上连续，在内可导，且，。证明：（1）存在，使得（2）存在两个不同的点，使得371、设函数在上具有二阶导数，且满足条件，其中都是非负常数，是内任意一点（1）写出点处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式（2）证明：372、设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且，证明：在开区间内至少存在一点，使得373、设函数的二阶导数在上连续，且，试证：在上至少存在一点，使得37

32、4、设在点的某个领域内二阶可导，且，试求：，和的值。375、设，证明不等式：376、设，证明：377、证明：当时，378、讨论函数有几个零点？379、设有方程，（1）当、满足何种关系时，方程有唯一实根（2）当、满足何种关系时，方程无实根380、讨论曲线与的交点个数381、就的不同取值情况，确定方程在开区间内根的个数，并证明你的结论382、设有二阶连续导数，且，则（）（1）是的极大值（2）是的极小值（3）是曲线的拐点（4）不是的极值，也不是曲线的拐点383、设在点的某邻域内具有连续的四阶导数，若，且，则（）（1）在点去的极小值（2）在点去的极大值（3）点为曲线的拐点（4）在点的某邻域内单调减少3

33、84、设在点的某邻域内具有连续的三阶导数，且，而，试证：点为曲线的拐点，而不是的极值点。385、设函数在点的某邻域内具有连续的阶导数，且，而，试证：（1）当为偶数，且时，则为极小值；当为偶数，且时，则为极大值（2）当为奇数时，不是极值第四章 不定积分386、下列函数中，不是的原函数是（）（1）（2）（3）（4）387、若的导函数为，则的一个原函数是（）（1）（2）（3）（4）388、设，则下列结论中错误的是（）（1） （2）（3）（4）389、若，则为（）（1）（2）（3）（4）390、设、是区间内连续函数的两个不同的原函数，且，则在区间内必有（）（1）（2）（3）（4）391、下列等式中正确

34、的是（）（1）（2）（3）（4）392、若，则=（）393、如果等式，则=（）（1）（2）（3）（4）394、求395、设，且，则=（）（1）（2）（3）（4）396、设，则397、求下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）398、求399、求400、一曲线通过点，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该积分曲线401、设是的一个原函数，则=（）（1）（2）（3）（4）402、设，求403、如果，则=（）（1）（2）（3）（4）404、求下列不定积分（1）（2）405、已知，且，则=（）406、求下列函数的不定积分（1）（2）（3）（4）（5）407、求下列三角函数的不定积分（1）（

35、2）（3）（4）（5）（6）408、求下列不定积分（1）（2）（3）（4）409、求410、求411、求412、求413、求414、求415、求416、求417、计算418、419、420、421、422、423、424、设，求425、426、427、428、设，计算429、已知的一个原函数为，则=（）430、已知是函数的一个原函数，求431、设的一个原函数为，求432、求下列不定积分（1）（2）（3）（4）433、求下列不定积分（1）（2）434、435、436、437、438、439、440、441、设，且，求442、443、444、445、446、设，求447、448、449、第五章 定

36、积分450、设，则有（）（1）（2）（3）（4）451、设， ，则（）（1）（2）（3）（4）452、设函数和在上连续，且，则对任何（）（1）（2）（3）（4）453、估计积分的值454、证明：455、若，则456、已知，试求457、设，求458、设，且，求及459、下列积分中可直接用牛顿莱布尼茨公式计算的是（）（1）（2）（3）（4）460、461、求下列定积分（1），（2）462、设是到离最近的整数的距离，求463、设函数，记，则（）（1）（2）（3）（4）464、设，则（）（1）在点不连续（2）在内连续，在点不可导（3）在内可导，且满足（4）在内可导，但不一定满足465、设，其中，则在区

37、间内（）（1）无界（2）递减（3）不连续（4）连续466、467、求，其中当时，而468、469、470、471、472、设为连续函数，且，则（1）（2）（3）（4）473、 474、475、设为连续函数，则（1）（2）（3）（4）476、设为奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（）（1）连续的奇函数（2）连续的偶函数（3）在间断的奇函数（4）在间断的偶函数477、设，则函数的单调减少区间是（）478、设函数在内连续，且。试证：（1）若为偶函数，则也是偶函数（2）若单调不增，则单调不减479、求函数的最大值和最小值480、设，则（）（1）（2）（3）（4）481、设，则（1）为正常数（

38、2）为负常数（3）恒为零（4）不为常数482、设，求483、设，求、在的值484、设，其中具有二阶导数且，求485、求极限486、确定常数的值，使得487、设函数连续，且，求极限488、设函数有导数，且，证明：489、把时的无穷小量，排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）（1）（2）（3）（4）490、设、在点的某邻域内连续，且当时，是的高阶无穷小，则当时，是的（）（1）低阶无穷小（2）高阶无穷小（3）同阶但非等价无穷小（4）等价无穷小491、设函数有连续的导数，且，且当时，与是同阶无穷小，则（1）1（2）2（3）3（4）4492、设在处连续，求493、设试讨论在处

39、连续性和可导性494、设，则495、设，则496、若，则之值（）（1）依赖于（2）依赖于（3）依赖于，不依赖于，（4）依赖于497、求定积分498、499、500、501、502、503、已知，求的值504、当时，证明：505、设连续，证明：506、证明：507、设在上连续，证明：508、设在上的连续函数，证明：509、设为整数，证明：510、设在上连续，且是周期为的周期函数，证明：511、设连续，且关于对称，证明：512、试证：513、计算：514、计算：515、计算：516、求517、518、设，求519、计算：520、设，求521、设有一个原函数，则=（）522、已知，及，则523、如图

40、所示曲线的方程为，点是它的一个拐点直线与分别是曲线在点与处的切线，其交点为，设函数具有三阶连续导数，计算定积分524、设函数连续，且。已知，求525、设函数、在上连续，且满足，证明：526、下列广义积分收敛的是（）（1） （2） （3）（4）527、528、529、530、531、532、533、534、535、试确定积分在取什么值时收敛，取什么值时发散？536、537、已知，求538、539、540、已知，求541、试证：542、已知，求常数的值543、设，则常数=（）544、求实数，使得收敛，并求出该积分值545、下列广义积分发散的是（）（1）（2）（3）（4）546、547、下列结论中正

41、确的是（）（1）与都收敛，（2）与都发散（3）发散、收敛（4）收敛、发散548、549、550、551、552、已知，且，则553、已知两曲线与在点处的切线相同，写出此切线方程，并求极限554、设函数，（1）当为正整数，且时，证明：（2）求555、若在上连续，试证：其中556、若在上连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）（1） （2） （3）（4）557、若在上连续，是的原函数，则（）（1）当是奇函数时，必为偶函数（2）当是偶函数时，必为奇函数（3）当是周期函数时，必为周期函数（4）当是单调增函数时，必为单调增函数558、设是连续函数的一个原函数，表示“的充分必要条件是”，则必有（）（1）是偶

42、函数是奇函数（2）是奇函数是偶函数（3）是周期函数是周期函数（4）是单调增函数单调增奇函数559、设，其中有连续的导数，且，研究（1）的连续性（2）求，并研究在点处的连续性560、设连续，且（为常数），求并讨论其在点处的连续性561、对于一切实数，函数连续的正函数且可导，同时有，又函数，证明：是单调增加的求出使取最小值的值将的最小值当作的函数，使其等于，并求562、设，求函数的表达式563、设是连续函数，且，求564、设函数、满足，且，求565、设函数在内满足，且，计算566、设函数、在区间上连续，为偶函数，且满足条件（1）证明：（2）利用（1）的结论计算定积分567、设（1）证明是以为周期的

43、周期函数（2）求的值域568、设连续函数满足，试证明：569、证明：570、设为连续函数，证明：571、设为连续函数，求证：572、设在上可导，且，证明：在内至少存在一点，使得573、设函数在区间上连续，在内可导，且，求证在内至少存在一点，使得574、设函数在区间上连续，在内可导，且满足，证明存在点，使得575、设，其中，证明：（1），（2），（3）576、设函数、在区间上连续，且，利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点，使得577、设函数在区间上具有二阶连续导数，（1）写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式（2）证明：在上至少存在一点，使得578、设函数在区间上连续且递减，证明：当时，57

44、9、（1）设函数在区间上连续，证明：；（2）设函数在区间上连续，且严格单增，证明：580、设函数在区间上可导，试证：581、设函数在区间上可导，且，证明：582、设函数的一阶导数在区间上连续，求证：583、设函数、在区间上连续，且，试证至少存在一点，使得584、设函数在区间上连续，在内可导，且，若极限存在，证明：（1）在内（2）在内存在点，使得（3）在内存在与（2）中相异的点，使得585、设函数在区间上具有连续的二阶导数，证明：在内存在点，使得586、若在上连续，且，证明：587、设函数在区间上具有二阶导数，试证明：588、设函数在区间上连续，且，则方程在区间内的根是（）（1）0个（2）1个（

45、3）2个（4）无穷多个589、设函数在区间上连续，且，证明：方程在内有且仅有一个根。590、设在上函数有连续导数，且，证明：在内有且仅有一个零点。定积分的应用591、设在区间上，令、，则（）（1）（2）（3）（4）592、由曲线，及所谓图形的面积是（）593、曲线与轴所围图形的面积可表示为（）（1）（2）（3）（4）594、曲线与轴所围图形的面积=（ ）595、求曲线与直线、及所围成的图形的面积。596、从点引两条直线与曲线相切，求由此两条切线与曲线所围图形的面积597、在第一象限内，求曲线上一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴围成的图形面积为最小，并求此最小面积。598、已知曲线与曲线在

46、点处有公共切线，求（1）常数及切点（2）两曲线与轴所围图形的面积599、已知抛物线（其中）在第一象限内与直线相切，且此抛物线与轴所围的平面图形的面积为那。（1）问为何值时，最大？（2）求此最大值600、设曲线与它两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为，其中一条切线与曲线相切于点，试证：当时，面积最小601、位于曲线下方，轴上方的无界图形的面积是（）602、设，表示夹在轴与曲线之间的面积，对任何，表示矩形的面积，求（1）的表达式（2）的最小值603、双纽线所围成的平面图形的面积可用定积分表示为（）（1）（2）（3）（4）604、设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围

47、成的图形的面积为（）605、求心脏线与圆所围成各部分的面积（）606、求曲线及所围成的图形的公共部分的面积607、求曲线及所围成的图形的公共部分的面积608、某立体上、下底面平行，且与轴垂直，若若平行于底面的截面面积是的不高于二次的多项式，试证该立体体积为：，其中为立体的高，分别为底面面积，为中截面面积。609、设有一正椭圆柱体，其底面长、短轴分别为、，用过此柱体底面的短轴且与底面成角（）的平面截此柱体，得一楔形体，求此楔形体的体积610、求曲线，所围成的平面图形的面积，并求该平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积611、星形线绕轴旋转所得旋转体的体积612、已知一抛物线通过轴上的两点（1）求证

48、：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于轴与该抛物线所围图形的面积（2）计算上述两个平面图形绕轴旋转一周所得两个旋转体的体积体积之比613、求曲线与所围成的两个图形中较小的一块分别绕、轴旋转所得旋转体的体积614、求曲线、和所围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积615、求平面上的圆盘绕轴旋转所得圆环体的体积616、已知曲线与曲线在点处有公共切线，求（1）常数及切点（2）两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积617、在曲线上某点处作一切线，使之与曲线以及轴所围成的图形的面积为，试求：（1）切点的坐标（2）过切点的切线方程（3）由上述所谓平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积618、求

49、曲线与轴围成的封闭图形绕直线旋转所得的旋转体体积619、过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成的平面图形。（1）求平面图形的面积（2）求平面图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积620、设平面图形由与所确定，求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积621、设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形。问为何值时？该图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积最大，最大体积是多少？622、设函数在闭区间上连续，在开区间内大于零，并满足为常数），又曲线与，所围成的图形的面积为2，求函数，并问为何值时，图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积最小？623、设是由抛物线和直线，及所围成的平面区域；是由抛物线和直

50、线、所围成的区域，其中（1）试求绕轴旋转一周所得旋转体的体积；绕轴旋转一周所得旋转体的体积（2）问为何值时，取得最大值？试求该最大值624、设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线、切线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的表面积。625、求摆线一拱的弧长626、在摆线上求分摆线第一拱成的点的坐标。627、对数螺线上到的一段弧628、求心脏线的全长，其中是常数629、设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分。（1）求曲线的方程；（2）已知曲线在上的弧长为，试用表示曲线的弧长。630、半径等于米的半球形水池，其中充满了水，把池内的水完全吸尽，需作多少功？（水的密度

51、，设重力加速度为）631、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井中，抓起污泥后提出井口，已知井深30米，抓斗自重400吨，缆绳每米重50吨，抓斗抓起的污泥重2000吨，提升的速度为3米/秒，在提升过程中，污泥以20吨/秒的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？632、某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为），汽锤第一次击打将桩打进地下米，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数，问（1）汽锤击打桩3次后，可将桩打进

52、地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多可以将桩打进地下多深？633、底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3厘米，试求它每面所受的压力（设重力加速度为）634、某闸门的形状与大小如图所示，其中直线为对称轴，闸门的上部为矩形，下部由二次抛物线与线段所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高应为多少米？635、设星形线上每一点处的线密度的大小等于该点到原点的距离的立方，在原点处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力。636、设有质量均匀分布的细杆，线密度为

53、常量，长为，在杆的中垂线上到杆距离为处有一单位质点，求杆对这质点的引力。637、一质量为，长为的均匀杆吸引着质量为的一质点，此质点位于杆的延长线上，并与较近端点的距离为，试求（1）杆与质点间的相互吸引力；（2）总质点在杆的延长线上从距离处移至处时，克服吸引力所作的功。638、设人呼出或吸入的气流的速率，可用一个正弦曲线来描述，其中时间（单位为秒），从某次吸气开始时计算起，是最大气流速率，为一次呼吸所用时间，当正弦曲线函数值为正时，人正在吸气；反之，正在呼气。在吸气的某个时间段上，曲线与、及轴所围成的图形面积就是人在这个时间段上吸入的空气总量，试求人每次吸气时吸入空气的总量。639、设平面上有正方形及直线，若表示正方形位于直线左下方部分的面积，试求640、如图所示，和分别是和的图像，过点的曲线是一单调增函数的图形，过上任一点分别作垂直于轴和轴