线性代数-工程版(同济大学第六版)第二章课件

1、第二章 矩阵及其运算2.1 线性方程组和矩阵2.2 矩阵的运算2.3 逆矩阵2.4 克拉姆法则2.5 矩阵分块法1 线性方程组和矩阵一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换 定义1 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组一、线性方程组其中aij 表示第i个方程第j个未知数的系数(coefficient),bi 是第i个方程的常数项(constant)，i=1,2,，m，j =1,2, n.（1） b1 , b2, ,bm 不全为零时，方程组（1）称为n 元非齐次线性方程组(system of non-homogeneous linear equations). b1

2、=b2= =bm=0 时，方程组（1）成为（2）称为n 元齐次线性方程组(system of homogeneous linear equations). 对于齐次线性方程组（2）, x1=x2= =xn=0 一定是它的解，称为方程组（2）的零解(null solution)；如果存在不全为零的数是（2）的解，则称为其非零解(non-zerou solution).n 元线性方程组通常简称为线性方程组或方程组. （1）有唯一解，（2）无解，（3）有无穷多解. 例如非齐次方程组可能有解可能无解.线性方程组的研究内容：是否有解？有解时它的解是否唯一？如果有多个解，如何求出其所有解？ 问题的答案都取

3、决与方程组（1）的 mn个系数aij (i=1,2,，m，j =1,2, n) 与常数项b1 , b2, ,bm 所构成的m 行 n+1列的矩形数表齐次方程组（2）的相应问题取决于m 行n列数表b1 b2 . . .bm 由 mn 个数 排成的 m 行 n 列的数表称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵 记作 二、矩阵(Matrix)的定义A=简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这 mn 个数称为矩阵A的元素，简称为元.A=行数可不等于列数共有mn个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵可记作 .只

4、有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) .只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量) .元素全是零的矩阵称为零距阵可记作 O .例如： 三、特殊的矩阵形如 的方阵称为对角阵 (diagonal matrix)特别的，方阵 称为单位阵(unit matrix),记作记作 形如 下面两个矩阵 的方阵称为上三角矩阵(upper triangular matrix)5. 形如 下面两个矩阵 的方阵称为下三角矩阵(lower triangular matrix) 6. 若方阵 中 , 则称为对称矩阵(symmetric matrix)即例如 7. 如果方阵 中 , 则 A 称为 反对称矩阵(antisymme

5、tric matrix) 即例如 同型矩阵与矩阵相等的概念 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵. 两个矩阵 与 为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .注意：不同型的零矩阵是不相等的.例如 例1 对于非齐次线性方程组 （1）四、应用举例 有下列几个矩阵 x1 x2 . . . xm x=未知数矩阵 b1 b2 . . . bm b=常数项矩阵A=b1 b2 . . .bm B=系数矩阵增广矩阵第i 市到j市有单程航线 用1表示，无单程航线用0表示，则得到一个数表： 例2 某航空公司在 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航

6、班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.图2.1若令则图2.1中的航线可表示成下列矩阵其中aij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量 例3 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量 表示一个从变量 到变量 线性变换，其中 为常数.五、矩阵与线性变换 n 个变量 与 m 个变量 之间的关系式系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.2例4 线性变换 称为恒等变换.对应 单位阵 En恒等变换对应 投影变换 例5 2阶方阵 对应 以原点为中心

7、逆时针旋转j 角的旋转变换 例6 2阶方阵 小结1.矩阵的定义2.特殊矩阵4.矩阵与线性变换行（列）矩阵单位矩阵零矩阵对称矩阵反对称矩阵3.同型矩阵，矩阵相等对角矩阵三角矩阵2 矩阵的运算例1 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量 其中aij 表示上半年工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量其中cij 表示工厂下半年向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量一、矩阵的加法定义：设有两个 mn 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A

8、B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例 2 求A+B，其中 解： 知识点比较交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设 A、B、C 是同型矩阵设矩阵 A = (aij) ，记A = (aij)，称为矩阵 A 的负矩阵显然设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量例1（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量 解：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量 二、数与

9、矩阵相乘定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ，规定为2结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设 A、B是同型矩阵，l , m 是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.知识点比较其中aij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量 例1（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量 试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量 解：以 ci1， ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及总重量，其中 i =

10、1, 2, 3于是其中aij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量 可用矩阵表示为一般地，三、矩阵与矩阵相乘定义：设 ， ，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 mn 矩阵 ，其中并把此乘积记作 C = AB 例2 设求解：则因此知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例 3 结论：矩阵乘法不一定满足交换律.矩阵 ，却有 ，从而不能由 得出 或 的结论矩阵乘法的运算规律 (1) 乘法结合律 (3) 乘法对加法的分配律(2) 数乘和乘法的结合律 （

11、其中 l 是数）(4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE 与任何同阶方阵都是可交换的.纯量阵不同于对角阵(5) 方阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义显然思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立练习求 A+2B 和 BC.四、矩阵的转置定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 AT .例4转置矩阵的运算性质分析：设则而又如果 ，不可乘.但有意义.例5 已知解法1解法2定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 ，即那么 A 称为对称阵.如果满足 A = AT，那么 A 称为反对称阵. 对称阵 反对称阵

12、 例5 设列矩阵 X = ( x1, x2, , xn )T 满足 X T X = 1，E 为 n 阶单位阵，H = E2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT = E.证明：从而 H 是对称阵 五、方阵的行列式定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA.运算性质证明：要使得 |AB| = |A| |B| 有意义，A、B 必为同阶方阵，假设 A = (aij)nn，B = (bij)nn .我们以 n= 3 为例，构造一个6阶行列式令 ，则 C = (cij)= AB 从而 定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵称为

13、矩阵 A 的伴随矩阵(adjoint matrix).元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列 注：1. 只有方阵才有伴随矩阵. 2. 与 的阶数相同.六、方阵的伴随矩阵例2：求3阶方阵 的伴随矩阵.解：性质证明 ：令 则 2小结1.矩阵的运算线性运算加法数乘幂运算2.方阵乘法运算转置运算伴随矩阵行列式作业P52:1(1)(4)(5),2,3,5,7,83 逆矩阵矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题.这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵. 从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1

14、 在复数中的地位 一个复数 a 0的倒数 a1可以用等式 a a1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有 定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得这里 E 是 n 阶单位矩阵.根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯一的（如果有的话）.定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵，（inverse matrix）记作 A1 .一、逆矩阵的定义下面要解决的问题是：在什么条件下，方阵 A 是可逆的？如果 A 可逆，怎样求 A1 ？二、矩阵可逆

15、的条件复习：行列式的按行展开定理结论： ，其中 当 时，上式改写为 令 ，则存在方阵 B 使得定理1：若 ，则方阵A可逆，而且推论：若 ，则 . 证：由 得 即 故结论成立. 例1：求二阶矩阵 的逆矩阵.解:故 .例2：求3阶方阵 的逆矩阵.解：| A | = 1，则方阵A 可逆 此时，称矩阵A为非奇异矩阵定理2：若方阵A 可逆，则 解： 因为 可逆 , 必存在方阵 使得 于是 故 结论2: 对于n 阶方阵A、B，如果 那么 A、B 都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵. 证明同上. 结论1：方阵A 可逆的充要条件是 . 定理1：若 ，则方阵A可逆，而且推论：若 ，则 . 证：由 得 即 故结论成

16、立. 推论2： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 、 、 与AB 也可逆，且三、逆矩阵的性质 证：先证 再证 最后证 上节内容回顾一、转置矩阵1. 转置矩阵的定义2. 转置矩阵的运算性质1. 定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵称为矩阵 A 的伴随矩阵(adjoint matrix).元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列 注：1. 只有方阵才有伴随矩阵. 2. 与 的阶数相同.一、方阵的伴随矩阵 上节内容回顾 1. 定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得其中 E 是 n 阶单位矩阵，B 就称为 A 的逆矩阵，记作 A1 .二、

17、逆矩阵2、矩阵可逆的条件 结论2: 对于n 阶方阵A、B，如果 那么 A、B 都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.结论1：方阵A 可逆 的充要条件是 . 3、逆矩阵的求法 （伴随矩阵法） 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 、 、 与AB 也可逆，且4. 逆矩阵的性质5、几个常用公式证：设是阶的方阵 即方法一：存在.求例3 设A为3阶矩阵 解:由于方法二解存在.解法三先左乘A的行列式解例4 解矩阵方程 解：设 则原方程可改写为又因为所以都可逆, 于是 即而例5 设 求 解：因，故可逆，且 于是 性质1：若 则 即 三、对角阵的性质 性质2：若 则 即 性质3：若 则 例6 设 且 ABEA2B 求

18、B 解：由 ABEA2B 得 ABBA2E 即 (AE)B(AE)(AE) 因为 所以 AE 可逆 从而1. 定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵称为矩阵 A 的伴随矩阵(adjoint matrix).元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列 注：1. 只有方阵才有伴随矩阵. 2. 与 的阶数相同.一、方阵的伴随矩阵 上节内容回顾结论1：方阵A 可逆 的充要条件是 . 1. 定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得其中 E 是 n 阶单位矩阵，B 就称为 A 的逆矩阵，记作 A1 .二、逆矩阵（inverse matrix）2、矩

19、阵可逆的条件 结论2: 对于n 阶方阵A、B，如果 那么 A、B 都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.3、逆矩阵的求法 （伴随矩阵法） 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 、 、 与AB 也可逆，且4. 逆矩阵的性质5、几个常用公式 性质1：若 则 即 三、对角阵的性质 性质2：若 则 即 性质3：若 则 线性变换 的系数矩阵为n 阶方阵 A ，若记 则上述线性变换可记作 Y = AX . 2.3 逆矩阵（续） 例7 设线性变换的系数矩阵是一个 3 阶方阵 记求变量 y1, y2, y3 到变量 x1, x2, x3的线性变换。则上述线性变换可记作 Y = AX 分析：求变量 y1, y2, y3

20、 到变量 x1, x2, x3的线性变换相当于求 A 的逆矩阵.解：由例2已知 ，于是 ，即或定义设 是复数域上的多项式，称 为矩阵A 的 m 次多项式.则四、矩阵多项式（polynomial of matrix）性质设 是复数域上的多项式，证：证：例8 设 AP P 其中 求 (A) A8(5E6AA2) 解:由于 ()8(5E62) diag(1158)diag(555)diag(6630)diag(1152)diag(1158)diag(1200)12diag(100) 所以 (A) P()P1小 结概念矩阵可逆的条件一、可逆矩阵性质应用二、矩阵多项式解矩阵方程求法(伴随矩阵法) 作 业

21、P53： 9(1)(3), 10,11,13 14(2-4),17,19,20,21, 22,23,24 4 克拉默法则简介克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramers Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的线性代数分析导言中发表的。二元线性方程组 若令 (方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为一、克拉默法则（Gramers Rule）如果线性方程组的系数行列式不等于零，即其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即那么线性方程组

22、(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含着三个结论：方程组有解；（解的存在性） 解是唯一的；（解的唯一性）解可以由公式(2)给出.这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论.二、克拉默法则的等价命题定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.设例1 解线性方程组解法2 用逆矩阵法因故A 可逆，于是即线性方程组常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.齐

23、次线性方程组总是有解的，因为(0,0, 0)就是一个解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解. 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解. 三、齐次线性方程组的相关定理定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.定理5 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零. 备注这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件. 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即：齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零例2 问 取何值时，齐次方程组有非零解？解如果齐次方程组有非零解，则必有 .所以 时齐次方程组

24、有非零解.思考题当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.课堂练习用克拉默法则和逆矩阵法求解线性方程组1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零.2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系它主要适用于理论推导小结作业 P55：154 矩阵分块法前言由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传.家具的拆卸与装配问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？问题一：什么是矩阵分块法？一、分块矩阵的概念 定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块(matrix partition)； 每一个小块称为矩阵的子块（block）； 矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵(block matrix/partitioned matrix).这是2阶方阵吗？思考题伴随矩阵是分块矩阵吗？答