大学物理光的衍射

1、第13章 光的衍射(Diffraction)13.1 光的衍射现象 惠更斯菲涅尔原理 (Diffraction and Huygens-Fresnels Principle)一、光的衍射现象 在均匀媒质中，不是由于光的反射、折射这些几何定律而引起的偏离光的直线传播而进入几何阴影区的现象称为光的衍射。 在光的衍射实验中，要想看到清楚的衍射图样，障碍物（或孔）的线度与光波长在数量级上相近或大得不多，这时才有衍射可看到。二、惠更斯菲涅尔原理惠更斯原理：媒质中任一波阵面上的各点都可以看做是发射子波的波源，其后任意时刻这些子波的包迹就是该时刻的新的波阵面。注意 惠更斯菲涅尔原理：波阵面上的每一个面元ds

2、 都可视为子波源，空间任意一点 P 的振动，可由各子波在该点相干叠加(coherent superposition)而求得。平面波的波阵面球面波的波阵面单缝衍射的波阵面三、惠更斯菲涅尔原理的数学表示-菲涅尔积分研究空间某点P的振动：由ds 发出的子波在P点引起的振动：对 K 的约定： 1) P点振幅正比于面元ds的大小： 2)子波是球面波，据球面波振幅反比于距离：3) r 相同，而方向不同，则振动点的振幅不同，即振幅值与 有关： (这里 称为倾斜因子)菲涅尔假设：单调递减函数无回头波的假定面元ds 发出的子波在P点引起的振动：整个波面 S 在P点的振动：菲涅尔衍射积分 菲涅尔衍射理论是建立在子

3、波干涉的基础上。可以说衍射和干涉没有质的区别，二者都是建立在相干叠加的基础上，只是一般干涉是指有限多束的叠加，而衍射则是无限多束子波的叠加。利用这个积分，就可以求得衍射的光强分布问题说明光源光源衍射屏观察屏I为夫琅禾费衍射，否则为菲涅耳衍射。四、菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射 （Fresnel and Fraunhofer Diffraction)对夫琅禾费衍射，菲涅尔积分: 2）入射光、衍射光都是平行光，所以 r 可视为常量，近似相等。 对夫琅禾费衍射：1）某一点P相应的 是常数，因为同 一点对应同一衍射角的平行光束；夫琅和费衍射积分光源光源衍射屏观察屏I一、菲涅尔半波带和条纹的位置公式13. 2

4、 单缝夫琅禾费衍射(Single-Slit Fraunhofer Diffraction)单缝即是在遮光屏上开出的一条宽度远较长度小很多的透光狭缝。aABC半波带个数取决于单缝两边缘处衍射光线的光程差BC：当BC等于半波长的奇数倍时，单缝处的波阵面可分为奇数个半波带；当BC等于半波长的偶数倍时，单缝处的波阵面可分为偶数个半波带。为了考虑在P点的振动合成，我们想象在衍射角 为某些特定值时，能将单缝处宽度为a的波阵面AB分成许多等宽度的纵长条带，并使相邻带上的对应点发出的光在P点的光程差为半个波长；这样的条带称菲涅尔半波带。为什么要分成半波带呢？ 由于各个波带在P点的振幅近似相等，而相邻两带对应点

5、上发出的光线的光程差总是半个 /2 ，即位相差是，结果任何两相邻波带所发出的光在P点完全相互抵消。对应沿不同方向传播的光，狭缝波阵面可分的半波带数不同，这个数目决定了该衍射方向的光强。 方向为衍射暗条纹 暗条纹中心：明条纹中心（近似）：中央条纹中心： 当平行光垂直于单缝平面入射时，单缝衍射形成的明、暗条纹的位置用衍射角 表示，由下式决定：1. 单缝衍射极值条件中央明纹暗纹暗纹2. 单缝衍射的光强分布如图各极大处光强不同，中央明纹光强最大，其它明纹光强迅速下降；中央明纹宽度为其它各明纹宽度的2 倍。中央明纹3. 暗纹在焦平面上的位置xO两相邻暗纹间距：（小）（大）暗纹暗纹2） 一定， ，所以 a

6、 小， 大，衍射作用越显 著，反之，a大， 小，这些条纹将向中央明纹靠近， 逐渐分辨不清，衍射作用不显著； 所以几何光学是波动光学在 时的极限情形 1）a 一定， ，所以 不同，同一级衍射条纹在 屏的位置不同，如用白光照射，除中央明纹是白色明 纹外，两侧的明纹将是按波长顺序排列的带，这称为 衍射光谱。说明：单缝衍射暗纹公式二、单缝衍射光强分布公式的推导由夫琅和费衍射积分：来推导单缝衍射的光强分布公式积分面元：由O点（狭缝中心）到场点P的光程为r0 :由狭缝上的任意一点D（其坐标为x )到P点的光程为r : 则 ： ABC其中：ABCP点的光强分布：式中为中央明纹中心处的光强相对光强：1）主极大

7、光强最大，称为主极大，是中央明纹中心的光强2）极小值光强最小，即此即暗纹中心的条件，与半波带法分析相同。讨论3）次极大由图解法可求得各次极大相应的 值为：此结果表明：次极大的位置在两相邻的暗纹的中点，但朝主极大方向稍偏一点。该公式是近似的结果。次极大的光强随着级次 k 值的增大而迅速减小：这里：称为辛格函数；光学上称为单缝衍射因子。单缝衍射的光强分布如图10.0470.017例题1 用波长为的平行单色光进行单缝夫琅和费衍射实验，已知缝宽a = 5, 会聚透镜的焦距 f = 400mm，分别求出中央明条纹和第2级明条纹的宽度。解：(1) 第一级暗纹：a sin1 = 中央明条纹的宽度：(2) 第

8、2级明条纹的宽度即是第二级暗纹和第三级暗纹中心的间距由： 和可得：第二级明纹的宽度：可见，衍射条纹的宽度是不相同例题2 已知：一雷达位于路边d =15m处，射束与公路成15角，天线宽度a = 0.20m，射束波长 =30mm。 求：该雷达监视范围内公路长L =?daL1150解：将雷达波束看成是单缝衍射的0级明纹由有如图：13. 3 光栅衍射(The Diffraction Grating)一、光栅的构造许多等宽的狭缝等距离排列起来形成的光学元件叫光栅。任何装置，只要它能起等宽而又等间隔地分割波阵面的作用，则均为衍射光栅。光栅的种类：1）透射光栅(transmission grating)dd

9、称为光栅常数(grating spacing)，是表征光栅结构性能的主要参数。光栅上两相邻刻痕间距 a（即狭缝宽度），刻痕宽度 b，则：这里1/d 称为光栅的空间频率，表示单位长度上有多少个透光缝。如：2）反射光栅(reflection grating)abd另一个主要参数是光栅的总刻线数N。二、光栅衍射特点1、光栅方程光栅各缝之间的干涉和每缝隙自身的衍射决定了光通过光栅后的光强分布POfd当两相邻的狭缝到P点的光程差 为波长的整数倍时，则P点对应亮条纹；(这里 称为衍射级)光栅方程可以证明，光栅衍射的光强分布公式：式中：3) 2) 是单个狭缝单独在中央亮条纹中心的光强 ( 处) 单缝衍射因数

10、缝间干涉因数光强分布G-缝间干涉因数Ip-单缝衍射光强2、光栅衍射的极值问题1）主极大此时光强有极大值，这称为主极大。可得与主极大相应的衍射角满足：以 0 角斜入射时：POfd光栅方程由 和此时光强为极小值结论：在两相邻的主极大之间有 N-1 个极小，有 N-2 个次极大；但次极大强度很小。2）极小0级主极大1级主极大 （N-2） 个次极大背景k 0 1 2 N-1 Nm 0 （ N-1个极小） 1谱线 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 53）缺级现象(missing maxima) 考虑单缝衍射因数的影响，即各主极大的光强受单缝衍射的调制。对单缝衍射暗条纹若 同时使明条纹即同时满足上两

11、式时，则该干涉主极大第m级缺级：如时，则缺 4、8、12、诸级主级大；如时，则缺5、10、15、各级主级大。对多缝干涉，此时 角相应位置为主极大，而由于单缝衍射因数的调制， ,使得相应的主极大值并不出现，这种现象称为缺级。缺级条件sin0I单I0单-2-112(/a)单缝衍射光强曲线IN2I0单048-4-8sin(/d)单缝衍射 轮廓线光栅衍射光强曲线sinN2sin2N/sin204-8-48(/d)多光束干涉光强曲线I3级0级1级-1级-3级缺2级缺-2级单缝衍射光强0讨论 值的影响 显见谱线数 d 不变，a 缩小 a不变，d 增大 m： 3 2 1 0 1 2 3 a，d m： 2 1

12、 0 1 2 m： 3 2 1 0 1 2 3条纹变密，显见谱线增多。中央包络区变大，显见谱线增多。单缝衍射和多缝衍射干涉的对比 （d =10 a）19个明条纹缺级缺级例题1：已知=500nm 的单色平行光沿着 的方向入射到光栅常数d = 0.01mm的光栅上，求:（1） 0级谱线的衍射角；（2）两侧可观测到的谱线的最高级次和谱线的总数。解：(1) 由光栅方程：以 0 角斜入射时0级谱线的衍射角即是m = 0 时对应的衍射角 ：(2) 第m级谱线衍射角为： 只有 时才可能观测到谱线：解不等式可得：两侧可观测到的最高级次分别为m+ = 9, m -= -29, 谱线总数为39条。例题2 把主极大

13、中心到相邻极小间的角距离称为半角宽度，以 表示；证明：证明：0mm+1由光栅方程：可求得m 级主极大的角位置：与m 级主极大相邻的极小值位置：-可得：两边同除 ，可得：可证：13.4 光学仪器的分辨本领(Resolving Power of Optical Instrument)一.透镜的分辨本领(Resolution of Lens)1 . 圆孔的夫琅禾费衍射（Fraunhofers Diffraction of Circular Aperture)圆孔孔径为DL衍射屏观察屏中央亮斑(爱里斑)(Airy disk)1 f相对光强曲线1.22(/D)sin1I / I00爱里斑D 爱里斑变小第

14、一级暗纹对应的衍射角为：波动光学 :物点 象斑物(物点集合) 象(象斑集合)( 经透镜 )刚可分辨不可分辨瑞利判据: 对于两个等光强的非相干物点,如果其一个象斑的中心恰好落在另一象斑的边缘(第一暗纹处),则此两物点被认为是刚刚可以分辨。(The objects are just barely resolved (that is , distinguishable) if the center of one diffraction pattern coincides with the first minimum of the other.)可分辨非相干叠加2. 透镜的分辨本领小孔（直径D）对两个

15、靠近的遥远的点光源的分辨点光源距离太小不可分辨符合瑞利判据点光源距离较大可分辨望远镜：最小分辨角仪器的分辨本领显微镜：D不会很大，可ID*S1S20为物镜的相对孔径，其倒数 称为光圈 光圈越小， 越小，即分辨本领越高，拍摄的照片越清晰 不可选择，可照相机:镜头焦距为 f , 恰好能分辨的两个像点的最小间距:显微镜的数值孔径：N.A.= nsinu例题3：汽车二前灯相距1.2m，设 = 600nm 人眼瞳孔直径为 5mm。问：对迎面而来的汽车，离多远能分辨出两盏亮灯？解：人眼的最小可分辨角1.2m几何关系可得：41白光 d、m 确定，波长不同，衍射角不同0级(白光）1级1级2级2级二. 光栅光谱

16、、光栅的色散本领和分辨本领(Grating Spectrograph , Chromatic Resolving Power and Resolution)1. 光栅光谱白光照射，形成光谱；光栅光谱有多级，且是正比光谱。不同波长的光 和d 在谱线上分开的 越大，则光栅的分辨能力越强。42光栅光谱单缝衍射 d、m 确定，波长不同，衍射角不同 由角色散来定义光栅的色散本领。2. 光栅的色散本领(Chromatic Resolving Power) 把不同波长的光在谱线上分开的能力设: 波长 的谱线, 衍射角 ，位置 x；波长 d 的谱线，衍射角 d , 位置 x+d x 白光0级(白光）1级1级2

17、级2级 由光栅方程： 设入射波长为 和 +d 二谱线，当满足瑞利判据时两谱线恰好能被分辨。即当两谱线的角距离和谱线自身的半角宽度相等时，两谱线恰好可以被分辨。由角色散本领定义：得两谱线角距离：由前例题，得谱线的半角宽度：3. 光栅的分辨本领 (Resolution) 光栅的主极大都有一定宽度，当两谱线的波长相近时，其光强分布曲线会发生重叠。 的m级主极大+d的m 级主极大第一极小即入射波长为 和 +d 二谱线刚能分开定义光栅的分辨本领角距离：半角宽度：由 可得： 光栅的总刻数 N 越多，分辨本领 R 越大，能分辨波长相差越小的两条谱线； 同一个光栅，级次越高，分辨本领越大。 1 =589.0n

18、m , 2 = +d =589.6nm (m =1, N=982), (m =2,N=491),(m =3,N=327)等都可分辨开Na双线则光栅的分辨本领为：例如 对Na双线：461895年伦琴发现X 射线， 1906年获首届诺贝尔物理奖。亚铂氰化钡荧光屏X射线不是带电粒子流，是电磁波！加电、磁场射线不改变方向闪光?13.5 伦琴射线的衍射(X-Ray Diffraction)47晶片作光栅劳厄斑 证实了X 射线的波动性！劳厄（Laue）实验（1912年）：晶体衍射实验伦琴射线 : 10-3nm10-1nm，是由高速电子撞击金属靶后，原子的内层电子跃迁产生的。-KAX射线X射线管+dddds

19、in12晶面ACB二. X 射线在晶体上的衍射(布拉格公式Bragg condition ）1. 衍射中心: 掠射角d : 晶面间距(晶格常数)2. 点间散射光的干涉(同一晶面)每个原子都是散射子波的子波源反射光方向光强最大、最亮，晶面如镜面一样对入射光反射零级散射主极大的方向就是镜面反射的方向散射光干涉加强条件：布拉格公式(Bragg condition for constructive interference from an array)三. 应用 已知、 可测d X 射线晶体结构分析。 已知、d 可测 X 射线光谱分析。即在符合反射定律的方向上可以得到强度最大的射线。但由于各个晶面上衍

20、射中心发出的子波的干涉，这一强度随掠射角 的改变而变化。只有当相邻两晶面反射的两条光线满足布拉格公式时才干涉加强，形成劳厄斑。3 .面间散射光的干涉ddddsin12晶面ACB四. 实际观察X 射线衍射的作法1.劳厄法：用连续谱的 X 射线照射在单晶体上，这相当于给定了晶体的取向，但不给定波长。每个晶面系的布拉格条件都可以从入射的X射线中选择出满足该条件的波长来，从而在各个晶面系的反射方向上都出现主极强，在照相底片上会有劳厄斑。这样的衍射图样，称为劳厄相。劳厄相SiO2 的劳厄相(Laue diffraction pattern for a thin section of quartz cry

21、stal)德拜相2. 粉末法：用单色X射线照射在多晶粉末样品上，这相当于给定了波长但不限定晶体取向，大量取向无规的晶粒提供了满足布拉格条件的充分可能性。用这种方法在照相底片上得到的叫做德拜相。粉末铝 的德拜相以波长为0.110nm的伦琴射线照射晶面， 时获得 第一级极大反射光，求: d = ? 例：以待测伦琴射线照射晶面，测得第一级极大的反射光相应的入射角为 ，求波长。解：由布拉格公式：可得：2.一束平行单色光垂直入射在光栅上，当光栅常数（a+b）为下列哪种情况时（a 代表每条逢的宽度）k = 3, 6, 9等级次的主极大均不出现（ ） A. a+b = 2a B. a+b = 3a C. a

22、+b = 4a D. a+b = 6a 1.在如图所示的单缝夫琅禾费衍射实验中，将单缝 k 沿垂直于光的 入射方向（图中的 x方向）稍微平移，则（ ） A.衍射条纹移动，条纹宽度不变 B.衍射条纹移动，条纹宽度变动 C.衍射条纹中心不动，条纹变宽 D.衍射条纹什么都不变第十三章 光的衍射 B Dx4.如图所示，波长为480nm的平行光束垂直照射到宽度为a=0.40mm的单缝上，单缝后透镜的焦距为f = 60cm,当单缝两边缘点AB射向P点的两条光线在P点的位相差为 时,P点的明暗程度和离透镜焦点O的距离等于多少?A. 2, 3, 4, 5 B. 2, 5, 8, 11 C. 2, 4, 6,

23、8 D. 3, 6, 9, 123.某元素的特征光谱中含有波长分别为 和 的光谱线，在光栅光谱中，这两种波长的谱线有重叠现象,重叠处 的谱线的级次将是（ ）解:由A. B两边缘发出的光线到P点的位相差为可得其光程差为:又因为两光线到P点的光程差是: 是奇数个半波带所以P点是明纹D5.波长为500nm 的光以 的倾角入射光栅，光栅常数d =2.1m,透光缝宽a=0.7m,求: 所有能看到的谱线级次?解：倾角入射时光栅方程缺级 3，6缺级6. 复色光由波长1600nm和2=400nm的单色光组成，垂直入射光栅，距屏幕中央明纹5cm处的k级谱线与的k+1级谱线重合，透镜焦距 f = 50cm。 求：(1)k 的值 ？（2）光栅常数d ？解：（1）光栅方程有：因为重合：( 2 )7右下图为夫琅和费双缝衍射实验示意图, S为缝光源, S1、S2为衍射缝, S、S1、S2的缝长均垂直纸面。已知缝间距为d, 缝宽为a，L1、L2为薄透镜试分析在下列几种情况下, 屏上衍射花样的变化情况： d增大a不变；