专接本高等数学题

1、专接本 高等数学题河北省普通高等学校专科接本科教育公共课考试 高等数学题型分类与例题解析 第一章 函数 极限 连续 一、函数 1、求函数值 方法 将给定的自变量值代入函数解析式。 (1)初等函数的函数值 例1 设函数求。 解 因为。 2)分段函数的函数值 (方法分段函数求函数值时首先确定属于函数表达式中自变量哪一段变化范围然后再将代入该段相应 的表达式中。 例2 设函数求。 解 因为。 (3)隐函数的函数值 方法将自变量值代入确定隐函数的方程,解得就是所求的函数值。 例3 设方程确定函数求。 解 将代入方程式解得即为所求。 2、求初等函数的定义域 思路利用基本初等函数的定义域和以下原则:两个函

2、数之和,差,的定义域是各自定义域的交集。 例4 求以下函数的定义域。 解 ,1,由不等式组 得解集就是所求定义域。 ,2,。 说明 题,2,中不等式如果化为将增加解题的难度。 例5 函数的定义域是, ,。 分析 本题可以采用单项选择题的“特例排除法”求解。注意4个备选答案的区别仅在于区间的端点因此只需检查-1和1是否在函数的定义域内。 解 使得表达式中分母为零使得表达式中对数的真数为零可见这两点都不在函数的定义域内排除,B, ,C,D,选择,A,。 例6 设函数的定义域是-44求函数的定义域。 分析 本题其实就是求不等式组的解集。 解 。 例7 设函数的定义域是,03,求函数的定义域。 分析

3、参看例6只需求各自定义域的交集。 解 由不等式组得解集,12,即为所求。 3、判断函数的相同 思路两函数相同的充要条件是它们的定义域相同且对应法则也相同,即对于定义域中的每个自变量值按照两个对应法则所得到的因变量值都相同,。 两函数不相同的充要条件是它们的定义域不同或值域不同或对应法则不同。 例8 以下函数中与函数相同的函数是 。 解 只有(3)。注意(2)、(4)和(5)的定义域都不是全体实数与的定义域不同,(1)和(6)的值域都不是全体实数 与的值域不同。 4、判断函数的奇偶性 方法(1,用定义:则是偶函数,则是奇函数。,2,用函数图像 的对称性:奇,偶,函数的图像关于原点,y轴,对称。,

4、3,利用基本初等函数的已知奇偶性和以下结论:两个奇,偶,函数的和还是奇,偶,函数,两个奇,偶,函数的积是偶函数,一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,两个奇函数的复合函数是奇函数,一个奇函数与一个偶函数的复合函数或两个偶函数的复合函数是偶函数。 注意,1,常数函数是唯一的既是奇函数又是偶函数的函数。,2,奇函数与偶函数之和如果不恒等于零则它既非奇 函数又非偶函数。,3,定义域不是关于原点对称的区间的函数一定既非奇函数又非偶函数。 例9 判断以下函数的奇偶性。 解(1)两个奇函数之积是偶函数。(2)奇函数与偶函数之和非奇非偶函数。(3)定义域不关于原点对称非奇 非偶。(4),但是 :奇函数。 5、

5、判断函数的周期性，求周期函数的周期 方法,1,用定义:若存在非零实数使得则是以为周期的周期函 数,2,求三角函数的周期时可将其化为形如 的函数其周期分别是, ,。 注意 通常所说的周期是指最小正周期。 例10 函数的最小正周期是, ,。 解 因而的周期是则周期是。选,。 说明 常数函数以任何非零实数为周期。 例11 以下函数中哪些是周期函数,并写出其最小正周期。 。 解 ,1,不是周期函数,2,借助于函数的图像可知周期是,3,将表达式化为 易知周期为。 例12 关于函数有以下4个命题:?它是单调函数,?它是奇函数,?它是周期函数,?它是有界函数。其中真 命题是 。 解 应填?和?。 6、函数的

6、复合 例13 设求 解 7、已知复合函数的表达式和的表达式，求的表达式 方法(1,先作变量代换求出的表达式。,2,将写成的函数再作变量代换。 例14 已知求。 解1 令则,代入题设函数式:则。 解2 ，即。 例15 已知求。 解 。 (二)极限 1、极限的定义与性质 例1 数列的极限, ,。 ,A,等于0 ,B,等于1 ,C,等于0或1 ,D,不存在 分析 一个数列如果有两个子数列趋于不同的极限该数列极限一定不存在。 解 选,D,。 例2 ,1,如果数列收敛、发散则一定发散吗,也一定发散吗,2,如果数列、 都发散则也发散吗, 解,1,必发散否则由极限运算法则存在。矛盾。但是不一定 发散:当收敛

7、但极限不是零时仿,1,可证明一定发散,但是当收敛于零时有可能收敛 如也有可能发散如。 ,2,不一定发散。例如都发散但是收敛。 2、求数列的极限 (1)如果数列的通项公式能够写出，则得出通项公式再求极限。 例3 求以下极限。; 。 解,1, 则 原式。 ,2,由等差数列求和公式:原式。 ,3,原式。其中用到等比数列求和公式。 (2)利用极限存在的夹逼准则 思路将数列分别适当放大和缩小到容易求出极限且极限相等的两个数列。 例4 求极限。 分析:本例的数列中不能表示为初等函数当自变量取自然数的特例因此不能用洛必达法则。考虑用夹逼准则计算就 是将数列适当地放缩成两个容易求出极限的数列。 解 注意而。由

8、夹逼准则 (3)利用初等函数的极限 思路如果数列可以表示为其中是实变量函数且,或,或 ,则。 参看例7,2,例8,1,。 3、初等函数的极限 (1)利用初等函数的连续性 方法设在连续则。 例如等。 (2)利用无穷小与无穷大的倒数关系 例5 求极限 分析 当时,另一方面函数当时极限分别存在但不相等。因此本题 要分别计算左、右极限。 解:可见极限不存在。 (3)运用极限的四则运算法则 例6 求极限。 分析 这两个极限的共同特点是当时分式的分子、分母同时趋于零原因是分子、分母中都含有零因式 因此只需将这个公因式分离出来并且约分即可。 解,1,原式。 ,2,将分子有理化则原式。 说明 分子分母同时趋于

9、零的极限属于型未定式也可以用洛必达法则求解。 例7 求极限。 分析 题,1,的特点是分式的分子、分母同时趋于无穷大。这类极限的一般形式是 可以用所谓“无穷小量析出法”求解即用分子、分母中最高次幂 同时去除所有的项。结果有3种可能: ,1,时，原式;(2)时，原式;(3)时，原式。 解,1,用遍除分子、分母各项或直接用上述结论,2,:原式=3/2。 说明 题,1,属于型未定式也可以用洛必达法则求解。 ,2,用遍除分式的每一项原式。 说明 题,2,也可以用去除分子和分母的各项。 例8 求极限。 分析 可以将视为的次幂。因此题,1,可将分子、分母同除以,题,2,在有理化之后同除以。 解,1,原式。

10、,2,原式。 例9 求极限。 分析 这是所谓型未定式需要将“差”化为“商”再求解通分即可。 解 原式 。 例10 已知求的值。 解 由题设。参看例7的分析可知必有 。 (4)利用“有界变量与无穷小的乘积是无穷小” 例11 以下极限计算错误的是, ,。 分析 (A)、(B)、(D)题都是有界变量与无穷小的乘积结果应是0。(C)题经变量代换化为正是重要极 限等于1。 解 选,A,。 (5)利用两个重要极限 依据 例12 求极限。 解 原式其中用到重要极限和有界量与无穷小的乘积。 例13 求下列极限。. 解,1,原式. 说明 一般地有.此外注意极限 ,是常数,。 ,2,原式. ,3,原式. 说明 两

11、个重要极限分别属于和型未定式也可以用洛必达法则求解。 (6)等价无穷小代换 依据如果在同一极限过程中是等价无穷小:则 常用的等价无穷小:当时, 等。 例14 求极限。 分析 这两题都都可以用洛必达法则求解,不过这里用等价无穷小代换求解更为简便。 解,1,当时,则原式 ,2,原式 (7)未定式极限:洛必达法则 ,见第二章,。 说明 使用变量代换的技巧有时可以使极限的计算更为简便。 例15 求极限。 解 令则且当时有。则 原式。 4、分段函数在分段点处的极限 思路如果分段函数在分段点两侧不是同一表达式求极限时要分别计算左右极限,否则直接计算极限 。 例15 设为何值时极限存在, 解 例16 极限,

12、 ,。 ,A,等于1 ,B,等于-1 ,C,等于-1或1 ,D,不存在 解 因为则。选,D,。 5、无穷小的比较 依据用定义:设在同一极限过程中都是无穷小且极限,则时是比高 阶的无穷小记为,时是比低阶的无穷小,时是与同阶的 无穷小其中当时与是等价无穷小记为。 例17 当时以下无穷小与相比哪些是高阶的、同阶但不等价的、等价的, 解 。 则当时(1)和(2)是比高阶的无穷小,(3)与同阶但不等价,(4)和(5)是与等价的无穷小。 说明 以上题(1),(2),(3),(5)在求极限时都用到等价无穷小代换。 例18 当时以下函数与为等价无穷小的是, ,。 分析 (D)不是无穷小;(A)是与同阶但不等价

13、的无穷小;(B)是比低阶的无穷小。 解 选,C,:用等价无穷小代换有 。 (三)函数的连续性 1、分段函数在分段点处的连续性 依据函数在点连续存在且存在并等于。 例1 已知函数 在连续求的值。 解 。 由题意和连续性定义必有。 例2 讨论函数的连续性。 解 可见在处是连续的, 在:在连续。 因此在定义域上连续。 2、函数的间断点及分类 依据(1)如果函数在点无定义或极限不存在或该极限虽存在但不等于则是 的间断点。,2,初等函数若在某点无定义但在该点两侧有定义则该点是它的间断点。,3,若是的间断点 且在的左右极限都存在称是的第一类间断点其中当左右极限相等时称是的可去间 断点,凡不是第一类间断点的

14、间断点称为第二类间断点。 例3 是函数的, ,。 ,A,连续点 ,B,可去间断点 ,C,第一类不可去间断点 ,D,第二类间断点 解 函数在无定义排除,A,极限,有界变量与无穷小的乘积,选,B,. 例4 求函数的全部间断点并指出其类型。 解 这是初等函数通过求定义域可知间断点有。 是可去间断点, 都不存在和都是第二类间断点。 函数的间断点的个数为, ,。 例5 ,A,0 ,B,1 ,C,2 ,D,3 分析 这是初等函数求出它的定义域就能找到间断点。 解 函数的定义域是则间断点是。选,C,. 3、求函数的连续区间 思路,1,函数的定义区间与其间断点集合的差集就是它的连续区间。,2,初等函数的定义区

15、间就是它的连续区间。 例6 求函数的连续区间。 解 这是初等函数定义域这就是函数的连续区间。 4、闭区间上连续函数的性质(有界性定理最大最小值定理介值定理零点定理, 例7 如果函数在某个闭区间上连续则它在该区间上一定, ,。 ,A,可导 ,B,可微 ,C,单调 ,D,有界 解:由闭区间上连续函数的有界性定理选,D,。 说明 闭区间上连续函数不一定可导、可微、单调例如。 5、方程实根的个数或位置的判断 思路如果函数在闭区间上连续且则方程在开区间内至少有一个实 根。 说明 方程的实根就是函数的零点。 例8 证明方程至少有一个正根。 分析 构造一个辅助函数使它在一个闭的正区间上连续且在区间两端点异号

16、。 证 令则该函数在区间上连续且。由零 点存在定理存在即方程至少有一正根。 说明 (1)应用零点存在定理只能证明某个方程在某个区间内至少有一实根但是不能说明在区间内至多有多少实根。,2,如果在证明了函数零点存在性之后还要证明其唯一性则只需证明函数是严格单调的函数。这需要用导数的符号来判断,第二章,。 第二章 一元函数微分学 (一)导数 1、导数的定义: 结论,1,函数在一点可导的充要条件是在该点的左右导数都存在且相等。,2,若函数在一点可导则函数在该点一定连续。 例1 已知在处可导且求。 提示 这类题目的一般解法是将所给极限式化为导数定义中的极限式与某个常数的乘积。 解 由题设所以。 例2 已

17、知在处可导则 提示 参看例1的提示。 解 原式 。 例3 确定的值使函数 在处可导。 提示 函数在一点可导则在该点必连续。 解 由题意函数在必连续则 ,*, 其次 由,*,式因此。 由可导的充要条件有,再由,*,式。 例4 若在处可导在处不可导那么, ,。 均在处不可导 均在处可导 在处不可导而在处未必不可导 在处可导而在处未必不可导 解 选,C,理由参看第一章,二,例2。 例5 在,-11,内有定义且。则在, , ,A,极限不存在 ,B,极限存在但不等于零 ,C,不连续 ,D,连续 分析 由题意可以得出即函数在可导因此必定连续从而极限 存在且等于零,即,。选,D,。 说明 本题主要考查“连续

18、是可导的必要条件”。 2、求函数的(一阶)导数 (1)初等函数的导数 思路运用基本求导公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则计算。 例6 求以下函数的导数。 解 , ,3,先化简 说明 (1,应当作为结论直接使用,2,常见的幂函数的导数应作为结论记忆和运用例如 等。,3,有时先将函数表达式化简再求导数会简便些如例6,3,题。 例7 设求。 解1 根据乘积的求导法则有其中 。由此可知 解2 因为则 例8 已知函数可导求函数的导数。 解 。 (2)隐函数的导数 方法(1)对确定隐函数的方程式两边同时求导。,2)用隐函数求导公式,见第五章, 例9 求由方程确定的函数的导数。 解 方程两边同时对

19、求导得到 即。 说明 在对方程两边同时求导时实际上将视为中间变量例如。 例10 设函数由方程确定求。 解 方程两边对求导: ,*, 将代入方程解得,再将代入,*,式整理得到。 说明 本题也可以由,*,式先整理出再将数值代入求解不过稍嫌繁琐。 (3)参数方程确定的函数的导数 方法对于参数方程确定的函数有。 例11 设 求。 解 。 (4)取对数求导法 方法对于形如的所谓“幂指函数”和由多个因式的积、商、幂构成的函数可以先对函数表达 式两边同时取自然对数然后用隐函数求导法求导数。 例12 求 解,1,取对数等号两边同时求导: 。 说明 幂指函数的导数也可以借助对数恒等式求解例如本题的又一解法是:

20、。 ,2,取对数则 说明 由本题可以看出取对数的目的是使乘幂化为乘除、乘除化为加减。 3、求函数的高阶导数 (1)初等函数的2阶导数 例13 已知函数有2阶导数求的2阶导数。 解 例14 求的2阶导数。 解 说明 求函数的2阶导数是在1阶导数的基础上进行的因此求出1阶导数后的化简有时很重要。本题如果不对1阶导数的结果进行化简计算2阶导数就将十分繁琐。 (2)隐函数的2阶导数 方法(1)对已整理出的一阶导数表达式的两边继续求导。,2,对确定隐函数的方程式两边连续求导两次。 例15 对例7方程式确定的函数求。 解1 例7已求得。继续求导:。 解2 例7已求得 ,*,并得出 ,*,。 对方程,*,继

21、续求导:整理并将,*,代入: 。 (3)参数方程确定的函数的2阶导数 方法将一阶导数的结果记为则。 例16 设 求。 解 。 (4)求函数的任意阶导数的通项公式 思路通过求函数的前几阶导数归纳、猜测它的阶导数的表达式。 例17 求阶导数。 解 则 , 则 , 则 。 说明 严格地说通过归纳得到的的表达式还需用数学归纳法的证明本课对此未作要求因此至少应求出34阶导 数后再进行归纳而且在归纳出的表达式后最好将代如进行验证。 (二)微分 1、微分的定义和性质 依据当时函数在处可微微分。 当时是比高阶的无穷小。 例1 当时是比高阶的无穷小求。 提示 这是考查微分的定义。 解 依题意 2、求函数的微分

22、方法(1)利用微分与导数的关系通过计算导数来得出微分,2,直接运用微分公式和法则计算微分, ,3,复合函数的微分也可用微分形式不变性计算。 一阶微分形式不变性:不论是自变量还是中间变量都有。 例2 已知求。 解1 令,则 解 2 例3 设求。 提示 这是隐含数求微分。 解1 用隐函数求导法先求:先将方程左边化为 , 求导:整理得到 解2 用一阶微分形式不变性。等号两边同时取微分: 化简:。 (三)中值定理 1、罗尔定理，拉格朗日中值定理 例1 以下函数中在区间-11上满足罗尔定理的是, ,。 解 在指定区间内,A,不连续,B,不可导,C,在区间端点的值不相等。则应选,D,。 例2 函数在区间-13上满足拉格朗日中值定理的 解 ,由拉格朗日中值定理 为所求的点。 例3 在上连续,