2022年例说用二次函数的知识解决实际问题

1、学习好资料 欢迎下载 例说用二次函数的学问解决实际问题 湖北省建始县景阳镇清江中学 刘代荣 用二次函数的学问解决实际问题是近几年中考热点题型, 它以现实生活中人们熟识的问 题为背景, 具有猛烈的时代气息,贴近同学的生活实际, 备受命题者青睐 本文通过举例来 说明用二次函数的学问解决实际问题常常见的几种类型,供同学们学习参考 一,解决与“最大利润”相关的实际问题 解决这类问题一般先求二次函数的解析式, 然后将二次函数写成顶点式的形式, 最终用 二次函数的极值学问解决 涉及主要学问： 二次函数 y ax 2 bxc a0,当 x b2a 时 , 取得最值为 y 4ac b 2 4a 例 （ 202

2、2 年贵阳市）某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住,当每个房间的定价为 每天 200 元时,房间可以住满当每个房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间空 闲对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出 设每个房间每天的定价增加 x 元求： 20 元的各种费用 （ 1）房间每天的入住量 y （间）关于 x （元）的函数关系式 （ 2）该宾馆每天的房间收费 z （元）关于 x （元）的函数关系式 （ 3）该宾馆客房部每天的利润 w（元）关于 x （元）的函数关系式；当每个房间的 定价为每天多少元时, w 有最大值？最大值是多少？ 析解 : （ 1）每个房间每天的定价增加 x 元时, 每个

3、房间每天的定价就增加 x 个 10 元, 10 而每个房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间闲暇,因此每个房间每天的定价增 加 x 元时,有 x 个房间闲暇又房间每天的入住量 =总房间量每天房间闲暇量,所以 10 y 60 x 10 （ 2）由于每天的房间收费 =每天每个房间的实际价格 每天房间的入住量,所以 x 1 2z x 200 60 x 40 x 12022 10 10 （ 3）该宾馆客房部每天的利润 =每天的房间收费入住房间每天支出的各种费用, 因此, x x 1 2 1 2w x 200 60 20 60 x 42x 10800 x 210 15210 10 10 10

4、10 所以,当 x 210 时,有最大值此时, x 200 410,就是说,当每个房间的定价为每 天 410 元时,有最大值,且最大值是 15210 元 二,解决点是否在“抛物线”上的实际问题 解决这类问题一般先求出二次函数的解析式, 然后将二次函数中的自变量, 函数分别用 点的横坐标,纵坐标代换并运算,再依据运算结果判定点是否在图象上涉及主要学问：如 第 1 页,共 4 页点 P（ a,b ）中意 y ax 2学习好资料 欢迎下载 bx c 上；反之,就点 P 不 bx c ,就点 P 在抛物线 y ax 2在抛物线 y ax 2 bx c 上 例（临沂市, 2022）某学校初三年级的一场篮

5、球竞赛中,如图 1 队员甲正在投篮,已 知球出手时离地面 20 m,与篮圈中心的水平距离为 7m,当球出手后水平距离为 4m 时到达9 最 大高度为 4m,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈距地面 3m 建立如以下图的平面直角坐标系,问此球能否精确投中？ 此时如对方队员乙在甲面前 m 处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为 . ,那么 他能否获得成功？ y 析解：由题意可知该抛物线的顶点为 E（ 4,4）并且经过 D（ 0, 20 9）,因此,可设 a x 424 , 将 x 0, y 20 代入可求出 a 1于是 , y 1x 424999判定此球能否精确投中 , 就是判定篮圈的位置 （ 7,3）是

6、否在抛 物线上 , 而当 x 7 时 , y 3, 即点（ 7, 3）在该抛物线上故此 球能精确投中 y 乙在甲面前 m 处跳起盖帽拦截能否获得成功,就是看球水 平飞行米时的垂直高度与乙跳起时的最大高度 3.1 谁大谁小,如 果前者较小,就拦截能获得成功,否就拦截不能获得成功而球水 平飞行米时的垂直高度就是求当 x 1 时 , 函数 y 的值此时 y 3 4图 1 3x ,即球水平飞行米时的垂直高度小于乙的最大摸高 3.1m , 故乙在甲面前 m 处跳起盖帽拦截能获得胜利 三,解决呈“抛物线”型上的点的相对高度与相对水平距离的实际问题 解决这类问题一般求出二次函数的解析式, 然后将抛物线上的点

7、的相对高度与相对水平 距离转化成求点的横坐标或求点的纵坐标的问题 例 3：（ 2022襄樊市）如图 2,一名男生推铅球,铅球行进高度 y （单位： m）与水平距 离 x（单位：m）之间的关系是 y 12 1x 2 23 x 53就他将铅球推出的距离是 m 析解：铅球推出的距离是指原点与铅球落地点 （抛物线与 x 轴的正半 轴的交点）之间的水平距离,即该交点的横坐标的确定值,因此,需求出 此点的坐标, 而此点的纵坐标为 0,于是,求其横坐标就可转化成, 当 y 0 图 2 时,求 x 的值,即解方程 1x2 2x 50 的问题,此时, x 10 12 33x2 2 舍去 ,故填 10 例 4：（

8、 2022年桂林市） 桂林红桥位于桃花江上, 该桥的部分横截面如以下图,上方可看作是一个经过, 是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线, , 三点的抛物线,以桥面的水 平线为轴, 经过抛物线的顶点与轴垂直的直线为轴, 建立直角坐标系, 已知此桥垂 第 2 页,共 4 页学习好资料 欢迎下载 直于桥面的相邻两柱之间距离为米 米,米 （） 求经过, 三点的抛物线的解析式 . （） 求柱子的高 度. （图中用线段, ,等表示桥柱） 图 3 析解：由题意可知该抛物线的顶点为 E（ 0, 1）并且经过 F （ -4 , 2）因此,因此, 可设 y ax 2 1 , 将 x 4 , y 2 代入可求出 a 16

9、 1于是 , y 16 1x 2 1 求柱子的高度,就是求点 A 的纵坐标,而此点的横坐标为 8,于是,求其纵坐 标就可转化成,当 x 8 时,求 y 的值的问题, 此时, y 5,故柱子的高度为 5 米 练习 ： 1（ 2022 年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线中意抛 物线 y 1 x2 58 x ,其中 x （m）是球的飞行高度, 5y （ m）是球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距 离仍有 2m （ 1）请写出抛物线的开口方向, 顶点坐标, 对称轴 （ 2）请求出球飞行的最大水平距离 （ 3）如王强再一次从今处击球, 要想让球飞行的最 大高度不变且球刚好进洞,就球飞行路线应中意怎样的 抛物线,求出其解析式 图 4 2 2022 年安徽省 杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅 子 B 处,其身体 看成一点 的路线是 抛物线 y= 3 x 5如图 . 23x1 的一部分, （ 1）求演员弹跳离地面的最大高 度； （ 2）已知人梯高 BC 米,在 图 140 元,每星期可 一次表演中,人梯到起跳点 A 的水平 . 距离是 4 米,问这次表演是否成功？请说明理由 3（ 2022 年武汉市） 某商品的进价为每件 30 元,现在的售价为每件 1 元（售价每件不能高于 45 元）,那么每 卖出 150 件. 市场调查反