江苏南通如皋市2023届高三上学期8月诊断测试数学试卷及答案

1、如皋市2023届高三上学期8月诊断测试数 学 试 题注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）：答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔填涂准考证号. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 试卷共4页，共22小题；答题卡共2页.满分150分.考试用时120分钟. 命题：马超.命题范围：集合与逻辑用语

2、、不等式、函数与导数、数列、三角函数与解三角形2022.08一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的已知集合，若，则实数m的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 已知a，b为正实数，则“”是“”的（ ）.A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件已知，则不等式的解集为（ ）.A. B. C. D. 1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集如图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区

3、间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集若经历n步构造后，不属于剩下的闭区间，则n的最小值是（ ）.A. 7B. 8C. 9D. 10已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ）.A. 1B. C. D. 若，则（ ）.A. B. C. D. 已知实数a、b满足，则的最小值为（ ）.A. B. C. D. 如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A，B的俯角分别为，此时无人机的高度为h，则AB的距离为（ ）.B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每

4、小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，周长为L，则（ ）.A. 若，r确定，则L，S唯一确定B. 若，l确定，则L，S唯一确定C. 若S，l确定，则，r唯一确定D. 若S，L确定，则，r唯一确定已知a，R，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）.A. B. C. D. 朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出6

5、4人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（ ）.A. 将这1864人派谴完需要16天B. 第十天派往筑堤的人数为134C. 官府前6天共发放1467升大米D. 官府前6天比后6天少发放1260升大米函数在上的大致图像可能为（ ）.B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当 时，满足条件“，”的有两个仅写出一个a的具体数值即可已知，则的最小值为 .若数列满足，且，则 .已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交x轴于M，N两点，则 ；的取值范围是 .四、解

6、答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（本小题满分10分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .（1）求C；（2）若的面积为，AC的中点为D，求BD的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（本小题满分12分）函数（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）若任意，对任意总有不等式成立，求m的 取值范围.（本小题满分12分）已知，函数的最小正周期为（1）求函数在内的单调递增区间；（2）不等式在内恒成立，求m的取值范围（本小题满分12分）已知函数（1

7、）当时，求的极值；（2）讨论函数的单调性（本小题满分12分）设等比数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式;（2）在与之间插入n个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前 n项和为，求证：（本小题满分12分）已知函数.（1）若，求a的取值范围；（2）证明：若有两个零点，则如皋市2023届高三上学期8月诊断测试数学试题解析已知集合，若，则实数m的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】B【知识点】含参数的交集运算问题【解析】【分析】考查子集的概念，描述法表示集合，属于基础题.注意不要漏了的情况，根据可分，和两种情况：时，；时，求出实数m的取值范围【解答】解：，若，则，若，则m

8、应满足：，解得，综上得故选已知a，b为正实数，则“”是“”的()A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】由基本不等式求最值或取值范围、充分、必要、充要条件的判断【解析】【分析】本题考查充分、必要充要条件的判断，考查利用基本不等式求最值，属于中档题利用基本不等式性质及根据充要条件的定义即可判断【解答】解：由题意，正实数a，b，可得，当且仅当时，等号成立，若，可得，故“”是“”的必要条件，反之，例如，此时，而，此时，故“”是“”的不充分条件，综上所述，“”是“”的必要不充分条件，故选：已知，则不等式的解集为()A. B. C. D. 【答

9、案】B【知识点】利用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、奇偶性的综合应用【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性以及利用函数的导数确定函数的单调性，属于基础题.先判断函数的奇偶性和单调性，然后求出结果.【解答】解：由题意知的定义域为R，由，得为奇函数，且，在上单调递增，由得，即，解得故本题选1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集如图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成

10、了三分康托集若经历n步构造后，不属于剩下的闭区间，则n的最小值是.()A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【知识点】利用指数函数的单调性解不等式【解析】【分析】本题主要考查了归纳总结，把实际问题转化为解不等式，属于中档题利用归纳总结可得第n步中包含1的区间为为，然后列出不等式进行求解可得.【解答】解：第一步中包含1的区间为；第二步中包含1的区间为，通过归纳总结可得第n步中包含1的区间为，若不属于剩下的闭区间，则只需，故只需，因为，又n为整数，可得n的最小值为故选：已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是A. 1B. C. D. 【答案】D【知识点】等比数列的性质、等差数列的性质

11、、利用诱导公式化简【解析】【分析】本题考查等差数列与等比数列的性质，也考查了诱导公式，三角函数值的求法，是中档题利用等差数列和等比数列的性质求出，再利用诱导公式求解即可.【解答】解：在等差数列中，由，得，在等比数列中，由，得，则故选若，则()A. B. C. D. 【答案】C【知识点】逆用两角和与差的余弦公式【解析】【分析】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求，进而求解【解答】解：因为，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，所以故选：已知实数a、b满足，则的最小值为()A. B

12、. C. D. 【答案】C【知识点】两点间的距离公式、已知切线（斜率、倾斜角）求参数、点到直线的距离【解析】【分析】本题考查已知切线斜率求参数、点到直线的距离、两点间的距离公式，属于中档题.根据题意结合两点间的距离公式，分析得出的最小值，即为曲线上的点到直线的距离的最小值，求出函数的导数，由切线与直线平行求出切点坐标，求出切点到直线的距离即可得到答案【解答】解：以x代换a、y代换b，则x、y满足，即，以x代换c，可得点，满足则的最小值，即为曲线上的点到直线的距离的最小值设直线与曲线相切于点，则，所以，解得，所以切点为点P到直线的距离，故的最小值为故选：如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离

13、，一无人机在空中P点处测得A，B的俯角分别为，此时无人机的高度为h，则AB的距离为()A. B. C. D. 【答案】A【知识点】利用正弦定理、余弦定理解决距离问题、三角恒等变换的综合应用【解析】【分析】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题利用正弦定理求出AB，再结合选项化简即可得出答案【解答】解：如图所示，由题意作，可得，则，在中，在中，由正弦定理，解得；又，又，且、，所以，所以故选：设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，周长为L，则()A. 若，r确定，则L，S唯一确定B. 若，l确定，则L，S唯一确定C. 若S，l确定，则，r唯一确定D. 若S，L确定，

14、则，r唯一确定【答案】ABC【知识点】弧长及扇形面积【解析】【分析】本题主要考查弧长公式与扇形面积公式，属于中档题.根据题意，若扇形的圆心角为，半径为r，得到扇形弧长，面积为，周长为，分析得知A、B、C正确，对D，可举出反例得D错误.【解答】解：由题意，扇形的圆心角为，半径为r，则其弧长，面积为，周长为易知若， r确定，则 L， S唯一确定；， l确定，则， r确定； S，l确定，则， r唯一确定，对照各选项，易知A、B、C正确，对D，若 S， L确定，则， r不能唯一确定，如，可得或，故D错误.故选已知a，R，则使“”成立的一个必要不充分条件是.()A. B. C. D. 【答案】BC【知识

15、点】由基本不等式求最值或取值范围、指数幂的化简求值与证明、充分、必要、充要条件的判断【解析】【分析】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题对于A、D选项，取特殊值说明既不充分也不必要即可;对于B，先取特殊值说明不充分，再同时平方证必要即可;对于C，先取特殊值说明不充分，再结合基本不等式证必要即可.【解答】解：对于A，当时，满足，不满足，即推不出，不充分;当，时，满足，不满足，即推不出，不必要错误;对于B，当时，满足，不满足，即推不出，不充分;当时，平方得，又，又，故即能推出，必要正确;对于C，当时，满足，不满足，即推不出，不充分;当时，由，即能推出，必要正确;对于D，当时

16、，满足，不满足，即推不出，不充分;当，时，满足，不满足，即推不出，不必要错误.故选：朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有()A. 将这1864人派谴完需要16天B. 第十天派往筑堤的人数为134C. 官府前6天共发放1467升大米D. 官府前6天比后6天少发放1260升大米【答案】ACD【知识点】等差数列的通

17、项公式、等差数列的实际应用、等差数列的前n项和公式【解析】【分析】本题考查等差数列的应用，属于基础题.利用等差数列的通项公式和求和公式，逐一判断.【解答】解：记数列为第n天派遣的人数，数列为第n天获得的大米升数，则是以64为首项，7为公差的等差数列，则，是以192为首项，21为公差的等差数列，即所以，B不正确.设第k天派遣完这1864人，则，解得，A正确.官府前6天共发放升大米，C正确.官府前6天比后6天少发放升大米，D正确.故选函数在上的大致图像可能为.()A. B. C. D. 【答案】ABC【知识点】判断或画对数函数的图象、函数图象的识别、判断或证明函数的奇偶性【解析】【分析】本题考查了

18、函数图象的识别，属于中档题根据a的取值分类讨论，研究函数性质后判断图象.【解答】解：当时，为奇函数，由时，选项A正确;当时，令，作出两函数图象，研究其交点，数形结合可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，排除当时，；当时，；若在内无交点，则，在恒成立，则图象如C选项所示，故C正确;若在内有两交点，同理得B正确.故选：已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当_时，满足条件“，”的有两个仅写出一个a的具体数值即可【答案】【知识点】利用正弦定理判定三角形解的个数【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理在求解三角形解的个数中的应用，还应用了大边对大角，属于基础题由已知结合正弦定理及大边对大角即可求

19、解【解答】解：由正弦定理得，所以，由有两个得B有两个，可能为锐角，也可能为钝角，所以，所以，即故答案为：答案不唯一已知，则的最小值为_.【答案】6【知识点】由基本不等式求最值或取值范围、解不含参的一元二次不等式【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于较难题由于要求的最小值，故在解题时注意把看为一个整体，需将已知方程中的xy利用基本不等式转化为的形式【解答】解：由于，则，当且仅当，即，时等号成立，令，则，即，解得舍去，或，即，所以的最小值为故答案为若数列满足，且，则_.【答案】2016【知识点】等比数列的判定或证明、等比数列的通项公式、根据数列的递推公式求数列的项【解析】【分析】本

20、题考查数列的递推关系和等比数列的判定、通项公式，属于中档题.根据题干式子可得，再根据等比数列的概念及其通项公式进行求解即可.【解答】解：因为，所以，所以数列是等比数列，首项为2，公比为4，则，可得，则故答案为已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交x轴于M，N两点，则_；的取值范围是_.【答案】【知识点】简单复合函数的导数、两点间的距离公式、求曲线上一点的切线方程（斜率、倾斜角）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、两条直线平行、垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】【分析】本题考查了两条切线垂直问题，两条直线垂直与斜率的关系、两点间的距离公式、求曲线上一点的切线方程、简单复合函

21、数的导数，属于较难题.将函数写为分段函数的形式，求出导函数，分别求出直线AM、BN的斜率和直线方程，根据两直线垂直可得，即可求出的值；分别求出点M和N的坐标，进而求得和的长度，根据可得，根据的取值范围即可得到的取值范围.【解答】解：，当时，当时，所以直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，直线AM：，直线BN：，所以点，点，因为两条切线互相垂直，所以，即，所以，所以；由题意知点和点，则，因为，则，所以的取值范围是故答案为：；本小题分在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_.求C；若的面积为，AC的中点为D，求BD的最小值.注：如

22、果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】解：若选择条件由可得，由正弦定理得，因为，所以，则有，即，又，所以，所以，则有，所以，则若选择条件，由正弦定理得，于是，即，因为，所以，所以，所以，又，所以若选择条件，由正弦定理得，所以，即，于是有，因为，所以，即，所以，所以由题意知，得，由余弦定理得，当且仅当且，即，时取等号，所以BD的最小值为【知识点】由基本不等式求最值或取值范围、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、利用余弦定理解三角形【解析】本题考查解三角形，考查正弦定理、余弦定理、基本不等式等知识点的应用，属于较难题分别选，利用正弦定理、三角恒等变换都能得到；由三角形面积公式可得

23、，在中，利用余弦定理结合基本不等式可得，进而可求得BD最小值本小题分函数当时，求函数在区间上的值域；若任意，对任意总有不等式成立，求m的取值范围.【答案】解：当时，对称轴，函数在上的值域为，对称轴，在区间上单调递增，即对任意不等式恒成立，设，由于在区间上恒成立，则，即，解得或【知识点】求函数的值域、由函数的最值求参、利用函数的单调性求最值、一元二次不等式存在性或恒成立问题、二次函数的最值【解析】本题考查二次函数值域、不等式恒成立问题，属于中档题.当时，利用二次函数的性质，求得在区间上的值域；首先求得在区间上的最大值和最小值，由此得到对任意不等式恒成立，构造函数，结合一次函数的性质列不等式组，解

24、不等式组求得m的取值范围.本小题分已知，函数的最小正周期为求函数在内的单调递增区间；若关于x的不等式在内恒成立，求实数m的取值范围【答案】解：，的最小正周期为，令，则，在内的单调递增区间为，在内恒成立，化简得：，又，在内恒成立，记，且，在上单调递增，即，故m的取值范围为【知识点】判断正弦型函数的单调性或求解单调区间、向量数量积的坐标运算、三角恒等变换的综合应用、求正弦型函数的值域或最值、正弦（型）函数的周期性【解析】本题考查平面向量与三角函数的综合，熟练掌握平面向量数量积的坐标运算，三角恒等变换的相关公式与正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题根据平面向量数量积的坐标运算，二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，求得其解析式后，再结合正弦函数的单调性，得解；根据两角和差公式和二倍角公式，可将原问题转化为在内恒成立，令，由辅助角公式求出t的范围，从而得，结合其单调性，求出，即可本小题分已知函数当时，求的极值；讨论函数的单调性【答案】解：当时，令，得或，所以在，上，单调递增，在上，单调递减，所以，当时，所以在上，单调递减，在上，单调递增，当时，令得或，当，即时，在，上，单调递增，在上，单调递减，当，即时，在，上，