分段低次插值

1、关于分段低次插值第一张，PPT共三十九页，创作于2022年6月1例：考虑函数 ，它在 上的各阶导数均存在.所构造的拉格朗日插值多项式为 取 上的 个等距节点令则第二张，PPT共三十九页，创作于2022年6月2 表2-5列出了 时的 的计算结果及 在 上的误差图2-5问题：从表和图中的结果你发现了什么？第三张，PPT共三十九页，创作于2022年6月3 从图上看到，在 附近, 与 偏离很远， 这说明用高次插值多项式 近似 效果并不好.解决办法：不用高次插值，改用分段低次插值. 表中，随 的增加， 的绝对值几乎成倍增加. 这说明当 时 在 上是不收敛的. 问题：如何克服龙格现象呢？上述现象称为龙格现

2、象。 Runge证明了，存在一个常数 ，使得当 时， 而当 时 发散.第四张，PPT共三十九页，创作于2022年6月4下图是用Matlab完成的Lagrange插值（附程序）：第五张，PPT共三十九页，创作于2022年6月5附：Lagrange插值程序n=11; m=61;x= -5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=lagr1(x0, y0, x);plot(x, z, r, x, y, k: ,x, y1, r)gtext(Lagr.), gtext(y=1/(1+x2)title(Lagran

3、ge)第六张，PPT共三十九页，创作于2022年6月6附：Lagrange插值子程序 lagr1:function y=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0); m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end第七张，PPT共三十九页，创作于2022年6月72.5.2 分段线性插值 由于升高插值多项式的阶数有时并不能达到提高精度的效果, 所以实际中往往采用分段插值的

4、思想. 分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.第八张，PPT共三十九页，创作于2022年6月8 设已知节点 上的函数值 记求一折线函数 , 满足： 在每个小区间 上是线性函数.则称 为分段线性插值函数. 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近 一、分段线性插值第九张，PPT共三十九页，创作于2022年6月9 由定义可知 在每个小区间 上可表示为 (5.1) 若用插值基函数表示，则在整个区间 上 为 (5.2)其中基函数 满足条件 其形式是(5.3)第十张，PPT共三十九页，创作于2022年6月10 利用线性插值余项公式,得到

5、分段线性插值的误差估计则 (5.4)其中第十一张，PPT共三十九页，创作于2022年6月11第十二张，PPT共三十九页，创作于2022年6月12下图是用Matlab完成的分段线性插值（附程序）：第十三张，PPT共三十九页，创作于2022年6月13附：分段线性插值程序n=11; m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=interp1(x0, y0, x);plot(x, z, r, x, y, k:, x, y1, r)gtext(Piece. linear.), gtext(y=1/(

6、1+x2)title(Piecewise Linear)注：interp1(x0,y0,x)为Matlab中现成的分段线性插值程序.第十四张，PPT共三十九页，创作于2022年6月142.5.3 分段三次埃尔米特插值 分段线性插值函数 的导数是间断的，若在节点上除已知函数值 外还给出导数值 在每个小区间 上是三次多项式.插值函数 ， 这样就可构造一个导数连续的分段满足条件设则当 时，在 上一致收敛于 .定理3第十五张，PPT共三十九页，创作于2022年6月152.6 三次样条插值问题：1. 为什么引进分段低次插值？2. 分段线性和分段二次插值有何特点？3. 分段Hermite插值有何特点？4.

7、 是否有办法在只给出函数值的情况下，构造出一个具有较高整体光滑度（如二阶导数连续）的低次插值函数呢？第十六张，PPT共三十九页，创作于2022年6月16 2.6.1 三次样条函数上是三次多项式，其中 是给定节点， 若函数 且在每个小区间 则称 是节点 上的三次样条函数. 若在节点 上给定函数值 （6.1）则称 为三次样条插值函数.定义4并成立第十七张，PPT共三十九页，创作于2022年6月17 由于 在每个小区间 上有4个待定系数，共有 个小区间，所以共有 个待定参数. 由于 在 上二阶导数连续，所以在节点 处应满足连续性条件这些共有 个条件，再加上 本身还要满足的 个插值条件，共有 个条件，

8、还需要2个才能确定 . （6.2）第十八张，PPT共三十九页，创作于2022年6月18 通常可在区间 端点 上各加一个条件 1. 已知两端的一阶导数值，即（6.3）（6.5）称为自然边界条件. 2. 已知两端的二阶导数，即其特殊情况为（6.4）（6.5）常见的边界条件有以下3种：（称为边界条件），第十九张，PPT共三十九页，创作于2022年6月19此时插值条件（6.1）中 . 这样确定的样条函数 称为周期样条函数. 这时边界条件应满足 （6.6） 3. 当 是以 为周期的周期函数时，则要求也是周期函数.第二十张，PPT共三十九页，创作于2022年6月20 2.6.2 样条插值函数的建立 下面利

9、用 的二阶导数值 表示 . 由于 在区间 上是三次多项式，故 在 上是线性函数，（6.7）对 积分两次并利用 及 ， 可表示为可定出积分常数，于是得三次样条表达式第二十一张，PPT共三十九页，创作于2022年6月21这里 是未知的. （6.8）第二十二张，PPT共三十九页，创作于2022年6月22 为了确定 ,对 求导得 （6.9）同理可得：第二十三张，PPT共三十九页，创作于2022年6月23（6.11）对第一种边界条件（6.3），可导出两个方程 （6.12）利用 可得 （6.10）其中 第二十四张，PPT共三十九页，创作于2022年6月24如果令 （6.13）那么（6.10）及（6.12）

10、可写成矩阵形式 第二十五张，PPT共三十九页，创作于2022年6月25 对第二种边界条件（6.4），直接得端点方程 （6.14）如果令 , 也可以写成（6.13）的矩阵形式.则（6.10）和（6.14）第二十六张，PPT共三十九页，创作于2022年6月26 对于第三种边界条件（6.5），可得 其中 （6.15）（6.10）和（6.15）可以写成矩阵形式第二十七张，PPT共三十九页，创作于2022年6月27（6.16） （6.13）和（6.16）是关于 的三对角方程组， 在力学上解释为细梁在 截面处的弯矩，称为 的矩， （6.13）和（6.16）的系数矩阵为严格对角占优阵，有唯一解, 求解方法可

11、见5.3节追赶法，将解得结果代入（6.8）的表达式即可.方程组（6.13）和（6.16）称为三弯矩方程.第二十八张，PPT共三十九页，创作于2022年6月28 设 为定义在 上的函数，在节点 试求三次样条函数 ，使它满足边界条件 例7上的值如下：第二十九张，PPT共三十九页，创作于2022年6月29由此得矩阵形式的方程组（6.13）为 解由（6.11）及（6.12）第三十张，PPT共三十九页，创作于2022年6月30求解得 第三十一张，PPT共三十九页，创作于2022年6月31代入（6.8）得曲线见图2-6图2-6第三十二张，PPT共三十九页，创作于2022年6月32 给定函数 节点 用三次样

12、条插值求 取直接上机计算可求出 在表2-6所列各点的值. 例8第三十三张，PPT共三十九页，创作于2022年6月33第三十四张，PPT共三十九页，创作于2022年6月34下图是用Matlab完成的样条插值（附程序）：第三十五张，PPT共三十九页，创作于2022年6月35附：样条插值程序n=11; m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=interp1(x0, y0, x, spline);plot(x, z, r, x, y, k:, x, y1, r)gtext(Spline), gtext(y=1/(1+x2)title(Spline)注：interp1(x0, y0, x, spline)为Matlab中现成的