2022年人教课标版高中数学必修五《基本不等式》教案-新版

1、第三章 不等式3.4.1 基本不等式 第一课时 一、教学目标1.核心素养 通过学习基本不等式,提升同学的直观想象、数学运算与规律推理的才能 . 2.学习目标（1） 探究基本不等式的证明过程；（2） 会用基本不等式解决简洁的最大小值问题 . 3.学习重点应用数形结合的思想懂得基本不等式,过程 . 4.学习难点 用基本不等式求的最大小值 . 二、教学设计一课前设计1.预习任务并从不同角度探究基本不等式的证明1.预习课本 97 页内容 ,感性熟悉 a 2+b 22ab 这个重要不等式和等号成立的条件. 2.能尝试从两方面证明基本不等式吗：aba+b 21代数法2几何法2.预习自测1.设 a0,b0,

2、就b a+a答案： 2填 或,并指出 “”成立的条件 . 2.已知 aR,设 P4+a 24+1 a 2,Q24,就 P 与 Q 的大小关系是 . 答案： PQ3.设 a0,b0,ab,P=a+b 2 ,Q=2ab,M=a 2+b2 2,就 P、Q、M 按由小到大的次序排列是答案： QMP二课堂设计1.问题探究问题探究一什么是基本不等式aba2b？活动一 重要不等式a2b22 ab ？观看与摸索： 如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标,会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热忱好客 .你仍记得是什么吗？ 1设直角三角形的长为a、 b,

3、那么正方形的边长为_;面积为_,4 个直角三角形的面积和是 _. 2依据 4 个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系,我们在中学的时候从这个图案中找出过一个相等关系 理 . _,化简后得到勾股定3依据 4 个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系,我们可得到一个 怎样的不等式 _. 44 个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的情形吗？何时相等？图形怎样变化？5你能给出它的证明吗？归纳小结：重要不等式 ,对于任意的实数 _. 活动二 什么是基本不等式aba2b？a,b,都有 _;当且仅当1既然对于任意的实数 a、 ,都有 a 2b 22 ab ,假如 a 0, b 0,用 a , b

4、分别代替 a 2b 22 ab中的 a、 可以得到 . 2对于不等式 ab a b a 0, b 0,你能给出证明吗？2归纳小结：假设 a 0, b 0 那么 _,我们把这个不等式叫做基本不等式又叫均值不等式. 3如以下图, AB 是圆 O 的直径,点 Q 是 AB 上任一点, AQ a , BQ b ,过点 Q 作 PQ 垂直 AB 于 Q ,连接 AP 、 PB .你能利用这个图形得出基本不等式aba2b几何说明吗？基本不等式解读：基本不等式的几何意义：平均数说明：基本不等式成立的条件是_；结论是 _. 问题探究二基本不等式有那些推论与重要变形？重点学问,运用技巧 1.平方平均、算术平均、

5、几何平均与调和平均的关系：假设a0,b0,就有a22b2a2bab121,当且仅当取ab等. 2. 基本不等式的几个重要变形：1 a、bR,a2b2 _a222 b ,当且仅当取等；取等；取等；重点、难点学问 2 a、bR,ab_a2b2,当且仅当3假设ab0, 就b a+a2,当且仅当b问题探究三利用基本不等式能解决哪些问题？活动一 运用基本不等式比较大小例 1 1已知 a、b0,1,且 ab,那么在 ab,2 ab,a2b2,2ab中的最大者为 _. 【学问点：基本不等式及取等条件】详解：方法一a、b0,1且 ab,ab2 ab,a2b22ab. 又当 a、b0,1时, aa2,bb2,a

6、ba2b2.最大者为 ab. 方法二 特值法 ,取 a1 2,b1 3,代入即得：最大者为 ab. 2设 a0,b0,试比较ab 2,ab,a 2b2 2,a1 2 的大小,并说明理由 . 【学问点：算数平均数,几何平均数,调和平均数,均方根引出的重要结论】详解：方法一a0,b0,1 a1 b 2 ab,即 ab2 当且仅当 ab 时取等号 . a1又ab 2 2a 22abb2 4a 2b2a2b2 4a 2b2 2,ab 2 a2b22 当且仅当 ab 时等号成立 而 abab 2,故 a 2b22ab 2 ab2 a1 当且仅当 ab 时等号成立 . 方法二特值法取 a1,b4 代入即得

7、结论 . 点拨： 1利用均值不等式及函数单调性是比较大小的常用方法；2代入特殊值,通过运算先估算大小关系,后比较大小更具有目标性活动二 利用基本不等式求最值例 2 1已知 a0,b0,且 ab2,就当 ab_时, ab 有最小值_. 2已知 a0,b0,且 ab2.就当 ab_时,ab 有最大值 _. 【学问点：基本不等式】详解： 1ab2 ab,当 ab2时, ab 有最小值 2 2. ab 2ab 2 2,当 ab1 时, ab 有最大值 1. 点拨 ：利用基本不等式求最值,必需同时满意以下三个条件：各项均为正数；其和或积为常数；等号必需成立 .即“一正,二定,三相等 ” .简记：积定和最

8、小,和定积最大 . 活动三 利用基本不等式求最值例 3 1已知 x1,求 fxx1 x1的最小值 . 2已知 x0、y0,且 5x7y20.求 xy 的最大值 . 【学问点：基本不等式；数学思想：配凑,基本不等式推论】详解： 1x1, x10. fxxx1x11x112 1 x1 1 x111. 1当且仅当 x1x1,即 x0 时取“” .fxmin1. 2x0,y0,xy1 355x7y 1 355x7y 21 3520 2 220 7 . 当且仅当 5x7y10,即 x2,y10 7时,取 “” .xymax20 7 . 点拨 ：在应用基本不等式求最值时,要把握定理成立的三个条件,就是“一

9、正各项都是正数 ,二定 积或和是定值 ,三相等 等号能否成立 ” .求最值时,假设忽视了某个条件,就会显现错误.导致解题的失败 .如：此题 1已知中将 x1改为 x2,就值域将变为 7 3, .2.课堂总结1. 基础学问思维导图重要不等式：a b、R,a2b22ab均值不等式：a b、R,a+bab均值不等式的应用2均值不等式的重要变形2.重点难点突破利用均值不等式求最值时,应留意的问题1各项均为正数,特殊是显现对数式、三角数式等形式时,要仔细考虑 . 2求和的最小值需积为定值,求积的最大值需和为定值 . 3确保等号成立 . 以上三个条件缺一不行,可概括“一正、二定、三相等 ” .3.基本不等

10、式推广：假设a b cR , 就abc3abc 当且仅当 abc 时,3取等号 . 一般地,对于n个正数a 1,a2,a ,就a 1a 2nanna a 2an当且仅当a 1a2a 时,取等号 . 3.随堂检测1.设 0ab,就以下不等式中正确的选项是 A.ab abab 2 B.a abab 2 bC.a abbab 2 D. abaab 2 b【学问点：基本不等式比较大小； 】解： 0ab,aaab.a ab. 由基本不等式知 abab 2 ab,又 0ab,abbb,ab 2 b. a abab 2 0,就 a1 a有最_值 2,此时 a_. 假设 a0,就 a1 a有最_值2,此时 a

11、_. 2假设 0a1的最小值为 A.3B.3 C.4 D.4 【学问点：基本不等式,对数函数】解： x1 x15x11 x162 x1 1 x16268,1当且仅当 x1x1即 x2 时取 “”号,ylog2xx15 log 1 283. 应选 B. 4.设 a1,b1 且 abab1,那么 A.ab 有最小值 2 21 B.ab 有最大值 21 2C.ab 有最大值21 D.ab 有最小值 2 21 【学问点：基本不等式变形的应用】解： A5.假设 x,yR,且 x2y5,就 3 x9y的最小值 A.10 B.6 3 C.4 6 D.18 3 【学问点：基本不等式,指数式】解： D6.已知

12、ab1,Plgalgb,Q1 2lgalgb,Rlgab 2,比较 P、Q、R 的大小 . 【学问点：基本不等式,函数的单调性】解： ab1,lgalgb0. 1 2lgalgblgalgb,故 QP. 又由ab 2 ab,得 lgab 2lg ab. 即 lgab 21 2lgalgb,故 RQ. 从而 PQR. 四课后作业基础型 自主突破1. 不等式 a 212a 中等号成立的条件是 A.a1 B.a1 C.a1 D.a0 【学问点：取等条件】解： B2. 设 x0,就 y33x1 x的最大值是 A.3 B.32 2 C.32 3 D.1 【学问点：基本不等式】解： C3. 假设 a0,b

13、0,且 a2b20,就 ab 的最大值为 A.1 2 B.1 C.2 D.4 【学问点：基本不等式】解： A4. 以下函数中,最小值为 4 的函数是 A.yx4 x B.ysinx4 sinx C.ye x4ex D.ylog3xlogx81 【学问点：基本不等式,取等条件】解： C5. 已知 a0,b0,就1 a1 b2 ab的最小值是 A.2 B.2 2 C.4 D.5 【学问点：基本不等式】解： D6.已知 x0,y0,且满意x 3y 41,就 xy 的最大值为 _ _ 【学问点：基本不等式】解： 3 7.已知 x0,y0,lgxlgy1,求2 x5 y的最小值【学问点：基本不等式,函数

14、的单调性】解： 2 才能型 师生共研8. 以下不等式 a 212a；a 244a； |b aa b| 2； 2a 2b2ab.其中恒成立 2b 2的是 A. B. C. D.【学问点：基本不等式】解：b a与a b同号, |b aa b|b a|a b| 2.9.2022 福建以下不等式肯定成立的是 A.lg x 21 4lgxx0 B.sinx1 sinx2xk,kZ C.x 212|x|xR D.1 x211xR 【学问点：基本不等式,取等条件】解： x212|x|. x22|x|10,当 x0时, x22|x| 1x22x1x120成立；当 x1,求 yx5x2 x1 的最小值；2求函数

15、 yx 43x23x21 的最小值 . 【学问点：基本不等式及应用】解： 1x1, x10.设 x1t0,就 xt1. t4 t59,于是有 yt4t1 tt25t4 tt4 t52当且仅当 t4 t,即 t2 时取等号,此时 x1. 当 x1 时,函数 yx5x2 x1 取得最小值为 9. 2令 tx21,就 t1,且 x2t1. yx 43x23x 21t1 23t13tt 2t1tt1 t1. t1, t1 t2t1 t2,当且仅当 t1 t,即 t1 时,等号成立,当 x0 时,函数取得最小值3. 1,就2 mm2n21的最小值为13. 已知实数m n ,假设m0,n0,且mnnD.

16、1 3A.1 4B.4 15C.1 8【学问点：基本不等式及应用】解：m22n212 m44n2n11m2m42n1n1m21mnm2111mn3m42n11m422n1mn1m2n14m2n1144n141411m2m2n1m2n144n11524n1m29m22n21的最小值为1 44n142 m2n21921,即2 mmn44mn自助餐1. 假如 log3mlog3n4,那么 mn 的最小值是 A.4 B.18 C.4 3 D.9 【学问点：基本不等式】解： B2. 2022 福建 假设 2 x2y1,就 xy 的取值范畴是 A.0 ,2 B.2,0 C.2, D., 2 【学问点：基本

17、不等式】解： D3. 假设 a,bR,且 ab0,就以下不等式中,恒成立的是 A.a2b22abB.ab2 abC.1 a1 b 2 abD.b aa b2【学问点：基本不等式】解： D4. 已知正项等差数列 an的前 20 项和为 100,就 a5a16的最大值为 A.100 B.75 C.50 D.25 【学问点：基本不等式】解： D5. 假设正数 x y、满意4x29y23xy30,就 xy 的最大值是 C.2 A.4 3B.5 3D.5 4【学问点：基本不等式】解： C6.襄阳市一般高中2022 届高三统一调研已知x 0,y 0,且1 x21,假y设2xyt22 t 恒成立,就实数 t

18、 的取值范畴是 A.4,2 B.4,2 C.0,2 D.0,4 【学问点：基本不等式,恒成立】解： B7. 当 0 x2 时,不等式 x2x a 恒成立,就实数 a 的取值范畴是 _. 【学问点：基本不等式,恒成立】解： 1, 8. 假设a0,b0,就ab21的最小值是 _；ab【学问点：基本不等式】解： 32 213设常数 a0.假设9xa2a1对一切正实数 x 成9. 2022 上海高考文科x立,就 a 的取值范畴为. 【学问点：基本不等式,恒成立】解： 1 5, . 考查均值不等式的应用,1. 由题意知,当x0 时 ,f x 9xa22 9xa26 aa1axx510. 已知x y zR ,就x2xyy2yzz2的最大值是 _ 【学问点：基本不等式,配凑思想】解：2点拔: 即x2xyy2yzxyyzy22,2z2x