11.12八年级教案第十四章 整式的乘法与因式分解

1、第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法专题一幂的性质1下列运算中，正确的是（）A3a2a22B(a2)3a9Ca3a6a9D(2a2)22a42下列计算正确的是（）Ax3x22x6Bx4x2x8C(x2)3x6D(x3)2x53下列计算正确的是（）A2a2a23a4Ca6a2a12专题二幂的性质的逆用4若2a=3，2b=4，则Ba6a2a3D(a6)2a等于（）12A7B12C432D1085若2=5，2=3，求23+2的值6计算：(1)(0.125)2014(2)2014(4)2015；(2)(1)201581100791专题三整式的乘法7下列运算中正确的是（）A3a2a5a2B(2

2、ab)(ab)2a2abb2C2a2a32a6D(2ab)24a2b2（8若（3x22x+1）x+b）中不含x2项，求b的值，并求（3x22x+1）（x+b）的值9先阅读，再填空解题：（x+5）（x+6）=x2+11x+30；（x5）（x6）=x211x+30；（x5）（x+6）=x2+x30；（x+5）（x6）=x2x30（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：_（2）根据以上的规律，用公式表示出来：_（3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a+99）a100）=_；（y80）（y81）=_专题四整式的除法10计算：（3x3y18x2y2+x2y）（6x2y）=_

3、211计算：（a4b7a2b6）（ab3）221139312计算：（ab）3（ba）2+（ab）5（a+b）4状元笔记【知识要点】1幂的性质(1)同底数幂的乘法：amanamn(m，n都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加(2)幂的乘方：(am)namn(m，n都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘(3)积的乘方：(ab)nanbn(n都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘2整式的乘法(1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式(2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去

4、乘单项式的每一项，再把所得的积相加3(3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加3整式的除法(1)同底数幂相除：amanamn(m，n都是正整数，并且mn)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减(2)a0(a0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1(3)单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式(4)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加【温馨提示】；1同底数幂乘法法则与合并同类项法则相混淆同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”而合并

5、同类项法则是“系数相加，字母及字母的指数不变”2同底数幂相乘与幂的乘方相混淆同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；幂的乘方，应是“底数不变，指数相乘”3运用同底数幂的乘法(除法)法则时，必须化成同底数的幂后才能运用上述法则进行计算4在单项式(多项式)除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算【方法技巧】1在幂的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式2单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误3单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，

6、不要漏项来源:411113b2=0，得b=（3x22x+1）（x+）参考答案:1C解析：A中，3a2与a2是同类项，可以合并，3a2a22a2，故A错误；B中，(a2)3a23=a6，故B错误；C中，a3a6a3+6a9，故C正确；D中，(2a2)222（a2）24a4，故D错误故选C2C解析：x3x2x23x5，选项A错误；x4x2x24x6，选项B错误；(x2)3x23x6，选项C正确；(x3)2x23x6，选项D错误.故选C3D解析：A中，2a2a23a2，故A错误；B中，a6a2a4，故B错误；C中，a6a2a8，故C错误.故选D4C解析：23a+2b=23a22b=（2a）3（2b）

7、2=3342=432故选C5解：23+2=2322=（2）3（2）2=5332=1125.6解：(1)原式=(0.12524)2014(4)=12014(4)=4(2)原式=()201592014=(9)2014()=99997B解析：A中，由合并同类项的法则可得3a+2a=5a，故A错误；B中，由多项式与多项式相乘的法则可得(2ab)(ab)2a22ababb2=2a2abb2，故B正确；C中，由单项式与单项式相乘的法则可得2a2a32a23=2a5，故C错误；D中，由多项式与多项式相乘的法则可得(2ab)24a24abb2，故D错误.综上所述，选B8解：原式=3x3+（3b2）x2+（2b

8、+1）x+b，不含x2项，2323=3x32x2+x+2x2x+4323=3x3x+12339解：（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是：一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；（2）根据以上的规律，用公式表示出来：（a+b）（a+c）=a2+（b+c）a+bc；（3）根据（2）中得出的公式得：（a+99）（a100）=a2a9900；（y80）（y81）=y2161y+648010 x+3y1216（解析：3x3y18x2y2+x2y）（6x2y）=（3x3y）（6x2y）18x2y2（6x2y）+x2y（6x2y）=x+3y11265（a4b7

9、a2b6）a2b611解：原式2113992111a4b7a2b6a2b6a2b639996a2b1。12解：（ab）3（ba）2+（ab）5（a+b）4，=（ab）3（ab）2（a+b）5（a+b）4，=（ab）（a+b），=abab，=2b14.2乘法公式专题一乘法公式1下列各式中运算错误的是（）来源:Aa2+b2=(a+b)22abB(ab)2=(a+b)24abC(a+b)(a+b)=a2+b2D(a+b)(ab)=a2b22代数式(x+1)(x1)(x2+1)的计算结果正确的是（）Ax41Bx4+1C(x1)4D(x+1)43计算：(2x+y)(2xy)+(x+y)22(2x2xy)

10、（其中x=2，y=3）6专题二乘法公式的几何背景4请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）A（a+b）（ab）=a2b2C（ab）2=a22ab+b2B（a+b）2=a2+2ab+b2D（a+b）2=a2+ab+b2来源:5如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）Aa2b2=（a+b）（ab）B（a+b）2=a2+2ab+b2C（ab）2=a22ab+b2Da（a+b）=a2+ab6我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）2

11、”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？7状元笔记【知识要点】1平方差公式(a+b)(ab)=a2b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差2完全平方公式(ab)2=a22ab+b2，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍【温馨提示】1不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同2完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点【方法技巧】1公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式只要符合公式的结构特征，就可以利用公式2有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍

12、做适当的变形后就可以用乘法公式求解如：位置变化，符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等参考答案:1D解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)22ab=a2+2ab+b22ab=a2+b2，故A正确；B中，由完全平方公式可得(ab)2=a22ab+b2，(a+b)24ab=a2+2ab+b24ab=a22ab+b2，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(a+b)=(a+b)(ba)=b2a2=a2+b2，故C正确；D中，(a+b)(ab)=(a+b)2=a22abb2，故D错误2A解析：原式=(x21)(x2+1)=(x2)21=x413解：原式=4x2y2+x2+2xy+y24x2+2

13、xy=x2+4xy，当x=2，y=3时，原式=22+423=4+24=284B解析：这个图形的整体面积为(a+b)2；各部分的面积的和为a2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2故选B5C解析：从图中可知：阴影部分的面积是（ab）2和b2，剩余的矩形面积是（ab）b和（ab）b，即大阴影部分的面积是（ab）2，（ab）2=a22ab+b2，故选C6解：（a+b+c）2的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）2，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc814.3因

14、式分解专题一因式分解1下列分解因式正确的是（）A3x26x=x(x6)Ba2+b2=(b+a)(ba)C4x2y2=(4xy)(4x+y)D4x22xy+y2=(2xy)22分解因式：3m318m2n+27mn2=_3分解因式：(2a+b)28ab=_专题二在实数范围内分解因式4在实数范围内因式分解x44=_5把下列各式因式分解（在实数范围内）（1）3x216；（2）x410 x2+256在实数范围内分解因式：（1）x32x；（2）x46x2+99专题三因式分解的应用7如果mn=5，mn=6，则m2nmn2的值是（）A30B30C11D118利用因式分解计算3220.13+5.4201.3+0

15、.142013=_9在下列三个不为零的式子：x24x，x2+2x，x24x+4中，（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集状元笔记【知识要点】1因式分解我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式2因式分解的方法(1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法(2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因

16、式的方法叫做公式法(3)平方差公式：a2b2=(a+b)(ab)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积(4)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2，两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方【温馨提示】1分解因式的对象必须是多项式，如把5a2bc分解成5aabc就不是分解因式，因为5a2bc不是多项式102分解因式的结果必须是积的形式，如x2x1x(x1)1就不是分解因式，因为结果x(x1)1不是积的形式【方法技巧】1若首项系数为负时，一般要提出“”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如x22xx(x2)2有些多项式

17、的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合公式的特点参考答案:C1B解析：A中，3x26x=3x(x2)，故A错误；B中，a2+b2=(ab)(a+b)=(b+a)(ba)，故B正确；中，4x2y2=(2x)2(2y)2=(2xy)(2x+y)，故C错误；D中，4x22xy+y2的中间项不是22xy，故不能因式分解，故D错误综上所述，选B23m(m3n)2解析：3m318m2n+27mn2=3m(m26mn+9n2)=3m(m3n)23(2ab)2解析：(2a+b)28ab=4a2+4ab+b28ab=4a24ab+b2=(2ab)24(x2+2)(x+2)(

18、x2)解析：x44=(x2+2)(x22)=(x2+2)(x+2)(x2)5解：(1)3x216=(3x+4)(3x4)；(2)x410 x2+25=(x25)2=(x+5)2(x5)26解：(1)x32x=x(x22)=x(x+2)(x2)；(2)x46x2+9=(x23)2=(x+3)2(x3)27B解析：mn=5，mn=6，m2nmn2=mn（mn）=6（5）=30，故选B82013解析：3220.13+5.4201.3+0.142013=0.322013+0.542013+0.142013=2013（0.32+0.54+0.14）=20131=20139解：(1)答案不唯一，如：（x2

19、4x）+（x2+2x）=2x22x=2x（x1）(2)答案不唯一，如：x24xx2+2x，合并同类项，得6x0，解得x0112如果分式的值为0，则x的值应为第十五章分式15.1分式专题一分式有意义的条件、分式的值为0的条件1使代数式x有意义，那么x的取值范围是（）xAx0Bx1Cx0Dx0且x13x227x33若分式xx292x9的值为零，求x的值m2mnn2A2n2Bmnmnmn9a(yx)2专题二约分4化简的结果是（）来源:数理化网m2mnCDmmnm5约分：=_27x27y6从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并将它化简：4x24xy+y2，4x2y2，2xy12状元笔记【知识要点】

20、1分式的概念一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分AACAAC式2分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变用式子表示为：=，=(其中A，B，C是整式，C0)BBCBBC3约分与通分约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分【温馨提示】1分式的值为0受到分母不等于0的限制，“分式的值为0”包含两层意思：一是分式有意义，二是分子的值为0，不要误解为“只要分子的值为0，分式的值就是0”2分式的基本性质中的

21、A、B、C表示的都是整式，且C03分子、分母必须“同时”乘C(C0)，不要只乘分子（或分母）4性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的【方法技巧】1分式的符号法则可总结为：一个负号随意跑，两个负号都去掉就是说，分式中若出现一个负号，则此负号可“随”我们的“意”（即根据题目要求）跑到分子、分母以及分式本身三者中的任何一个位置上；若分式中出现两个负号，则可以将这两个负号同时去掉来源:数理化网2分式的分子、分母系数化整问题的基本做法是分式的分子、分母都乘同一个13“适当”的不为零的数，这里的“适当”的数又分两种

22、情况：若分式分子、分母中的系数都是分数时，“适当”的数就是分子、分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；若分式的分子、分母中各项系数是小数时，则“适当的数”就是10n，其中n是分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数最后根据情况需要约分时，则要约分参考答案:1D解析：根据题意得：x0且x10解得x0且x1故选D解析：根据分式值为0，可得3x270，解得x=3232x303解：x29x2x9的值为0，x29=0且x26x+90解x29=0，得x=3当x=3时，x26x+9=3263+9=0，故x=3舍去当x=3时，x26x+9=(3)26(3)+9=36当分式x29x2x9的值为0时，x=3m2m

23、nn2(mn)2mnaxay9a(yx)29a(xy)2a(xy)axay4x24xyy2(2xy)22xy4B解析：=故选Bm2mnm(mn)m5解析：=327x27y27(xy)336解：答案不唯一，如：=4x2y2(2xy)(2xy)2xy141方程的解是2解分式方程：15.3分式方程专题一解分式方程13x-12x32x133x19x3313解分式方程：+x2xx422x4关于x的分式方程无解，则m的值是（）专题二分式方程无解xm2x1x1A1B0C2D22无解，则m的值是_5若关于x的方程2xmx22x6若关于x的分式方程无解，则m的值为_xm22x3x3专题三列分式方程解应用题7甲、乙两班学生参加植树造林已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是（）BA60706070 x2xxx2160706070 x2xxx28为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前4天完成任务.原计划每天种3多少棵树？159某校为了进一步开展“阳光体育”活动，计划用2000元购买乒乓球拍，用2800元购买羽毛球拍已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元该