(人教A版,理科)高考数学一轮细讲精练【选修4-2】矩阵与变换

1、选修42矩阵与变换A最新考纲1了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系2了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示3理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质4理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵5理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法规则：知识梳理1矩阵的乘法规则b11b21abab(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：a11a12.cab1111111221b21a11a12x0a21a22y0a11a12x0a11x0a12y0a21a22y0a21x0a22y0设A是

2、一个二阶矩阵，、是平面上的任意两个向量，、1、2是任意三个实数，则A()A；A()AA；A(12)1A2A.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：a11a12b11b12a21a22b21b22a11b11a12b21a11b12a12b22a21b11a22b21a21b12a22b22性质：一般情况下，ABBA，即矩阵的乘法不满足交换律；矩阵的乘法满足结合律，即(AB)CA(BC)；矩阵的乘法不满足消去律2矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵

3、为A1，A1B.ab(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A(detAadbc0)，它cd的逆矩阵为dbadbcadbcA1adbcadbc(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组axbym，abxab的系数矩阵A可逆，那么该方程组有唯一解cxdyncdycdm1，nca.其中Adbadbcadbc1adbcadbc3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得A，那么称为A的一个特征值，而称为A的一个属于特征值的一个特征向量(2)特征多项式与特征方程abxx设是二阶矩阵A的一个特征值，它的一个特征

4、向量为，则Acdyyx，yxaxbyx，即满足二元一次方程组ycxdyy，axby0abx0故(*)cxdy0cdy0则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式ababab0.记f()为矩阵A的特征多项式；方程cdcdcdabab0，即f()0称为矩阵A的特征方程cdcd(3)特征值与特征向量的计算ab如果是二阶矩阵A的特征值，则是特征方程f()2(ad)cdadbc0的一个根解这个关于的二元一次方程，得1、2，将1、2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解记1，2.则A111、A222，因此1、2是矩阵A的特征值，1，2y12为矩阵A的分别属于特征值1、2的一个特征向量xx1

5、，xx2，x1x2yy1，yy2，y1y2abx1cdxy2诊断自测1051._.01710505177解析0175答案715075.121221122若A11221，B221，则AB_.121112解析AB11122212221111111121111222111122222222222200.000答案013设A000001，B，则AB的逆矩阵为_11001101001解析A1，B11001.0110(AB)1B1A101100答案1101变换作用下的结果为_14函数yx2在矩阵M004xx解析11yy440y10 xxx，y4y，代入yx2，得y1x2，即y1x2.解析A的特征多项式f(

6、)62441答案y4x2155若A，则A的特征值为_6215(1)(2)302328(7)(4)，A的特征值为17，24.答案7和4考点一矩阵与变换2a【例1】(2014苏州市自主学习调查)已知a，b是实数，如果矩阵M所b1对应的变换将直线xy1变换成x2y1，求a，b的值yy解设点(x，)是直线xy1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x，)，2axx则，b1yyx2xay，所以ybxy.因为点(x，y)，在直线x2y1上，所以22b1，(22b)x(a2)y1，即a21，a3，所以1b2.规律方法理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键

7、BB【训练1】已知变换S把平面上的点A(3,0)，(2,1)分别变换为点A(0,3)，(1，1)，试求变换S对应的矩阵T.a解设Tbc3xa，则T：d0ybc33a0a0，解得d03b3b1；2xaT：1ybc22ac1，d12bd1c1，01解得综上可知T.d3，13考点二二阶逆矩阵与二元一次方程组23y【例2】已知矩阵M所对应的线性变换把点A(x，)变成点A(13,5)，11试求M的逆矩阵及点A的坐标23解依题意得由M，得|M|1，111故M113.223x13x得11yy113352，故32511325从而由151313x2，A(2，3)为所求y3，规律方法求逆矩阵时，可用定义法解方程处

8、理，也可以用公式法直接代入求解在求逆矩阵时要重视(AB)1B1A1性质的应用，2【训练2】已知矩阵A132(1)求矩阵A的逆矩阵；2x3y10，(2)利用逆矩阵知识解方程组x2y30.，解(1)法一a设逆矩阵为A1cbd，得2b3d0，ab22cd01，2则由13a2cb1d0012a3c1，.a2，解得b3，c21d，2A1132，a法二由公式知若Acb2d1322x3y10，(2)已知方程组x2y30，2x3y1，可转化为x2y3，X，B，且由(1)，2即AXB，其中A13x12y3得A1.2312因此，由AXB，同时左乘A1，有.2A1AXA1B1317235x7，即原方程组的解为y5.

9、考点三求矩阵的特征值与特征向量对应的线性变换把点P(1,1)变成点P(3,3)，1【例3】已知aR，矩阵Aa21求矩阵A的特征值以及每个特征值的一个特征向量，11a131解由题意a2133f()(1)24(1)(3)，1得a13，即a2，矩阵A的特征多项式为122令f()0，所以矩阵A的特征值为11，23.对于特征值11，xy0，x1，解相应的线性方程组得一个非零解2x2y0y1.因此，是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量；1对于特征值23，解相应的线性方程组规律方法已知A112x2y0，2x2y0 x1，得一个非零解y1.1因此，是矩阵A的属于特征值23的一个特征向量1ab，求特征值和特征向

10、量，其步骤为：cda(1)令f()cb(a)(d)bc0，求出特征值；daxby0，(2)列方程组cxdy0；(3)赋值法求特征向量，一般取x1或者y1，写出相应的向量，求M的特征值及属于各3【训练3】(2014扬州质检)已知矩阵M1特征值的一个特征向量1333解由矩阵M的特征多项式f()11当12时，由M2，(3)210，解得12，24，即为矩阵M的特征值x设矩阵M的特征向量为，yxxyyxy0，可得xy0.可令x1，得y1，1是M的属于12的特征向量当24时，由M4，2是M的属于24的特征向量11xxyyxy0，可得xy0，取x1，得y1，11abab1，则cdcd11用坐标转移的思想求曲

11、线在变换作用下的新方程【典例】二阶矩阵M对应的变换T将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换T作用下得到了直线m：xy4，求l的方程审题视点(1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解(2)知道直线l在变换T作用下的直线m，求原直线，可用坐标转移法1解(1)设M，0ab2，cd12c3，所以Mab1，2ab0，所以且cd1，2cd2，12.34解得a1，b2，d4，(2)因为x12xx2yy34y3x4y且m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，即xy20，直线l的方程是xy20.反思感悟(1)本题考查了求变换矩阵和在

12、变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法.(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误【自主体验】(2014南京金陵中学月考)求曲线2x22xy10在矩阵MN对应的变换作，N1.1用下得到的曲线方程，其中M00210121.1221解MN001010设P(x，y)是曲线2x22xy10上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P(x，y)，0 xx，2x2yx1则y22yy于是xx，yx2，代入2x22xy10，得xy1.所以曲线2x22xy10在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy1.解析可写成y5x6y

13、，一、填空题xx3x4y1已知变换T：，则该变换矩阵为_yy5x6yx3x4y，34xx.56yy34答案5632计算572等于_8137258152823271解析.1答案253矩阵00的逆矩阵为_105015，50.的逆矩阵为5解析01010011答案501则，.(6)(3)180.解析f()363a4若矩阵A把直线l：2xy70变换成另一直线l：9xy91b130，则a_，b_.解析取l上两点(0,7)和(3.5,0)，3a07a3a3.510.5b13791b1303.5b由已知(7a,91)，(10.5,3.5b)在l上，代入得a0，b1.答案01635矩阵M的特征值为_63630或

14、3.答案0或316已知矩阵M3210，则M(24)_.24320，M(24)128348426212214解析24.14答案26的作用下变换为曲线C，则C的方17曲线C1：x22y21在矩阵M02221程为_解析设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P(x，y)为曲线x22y21上与P对应的点，xx2y，yy12xx则，即01yyxx2y，yy.1a2，解析设A，由，得c3.b1，3，得所以cd3.d0.因为P是曲线C1上的点，所以C2的方程为(x2y)2y21.答案(x2y)2y2121418已知矩阵A，B，则满足AXB的二阶矩阵X为4331_解析由题意，得A1AXB，XA1B.9答案2511

15、9已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是，则1矩阵A为_abab12cdcd03ab113ab3，由cd11321所以A.302答案310二、解答题10(2012江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A1错误!，求矩阵A的特征值解因为AA1E，所以A(A1)1.因为A1错误!，所以A(A1)1错误!，f()234.21于是矩阵A的特征多项式为23令f()0，解得A的特征值11，24.，A的一个特征值2，其对应的特征向量是1.111已知矩阵A1a2b12560，得12，23，当12时，1，当23时，得2.由m1n2，得解得m3，n1.A5A5(312)3(A51)A523(511)25232535.7(1)求矩阵A；(2)若向量，计算A5的值412解(1)A.1412(2)矩阵A的特征多项式为f()1421112mn7，mn4，2143511339a12(2012福建卷)设曲线2x22xyy21在矩阵Ab0(a0)对应的变换作1用下得到的曲线为x