全等三角形复习教学课件(讲用)

1、全等三角形复习- 版权所有- 全等图形定义：性质：能够完全重合的图形形状大小都相等平移 翻折 旋转知识回顾：- 版权所有- 知识点回顾：全等三角形性质：判定：SASASAAASSSS一般三角形直角三角形包括直角三角形不包括其它形状的三角形全等三角形的对应边相等、对应角相等。全等三角形的周长相等、面积相等。全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。HL- 版权所有- 要使两个三角形全等，应至少有 组元素对应相等。36选3边边边 (SSS)两边一角两角一边角角角两边和它的夹角(SAS)两边和它一边的对角两角和夹边(ASA)两角和一角的对边(AAS)- 版权所有- 两边和其中一边的对角

2、对应相等的两个三角形不一定全等。=SSA- 版权所有- 6练一练一、挖掘“隐含条件”判全等1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则ABCDCB吗?说说理由ADBC图（1）2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若B=20,CD=5cm，则C= ,BE= .说说理由.BCODEA图（2）3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD，A=C，若AB=3cm，则CD= . 说说理由. ADBCO图（3）205cm3cm学习提示：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！- 版权所有- 74、如图，已知AD平分BAC， 要使ABDA

3、CD，根据“SAS”需要添加条件 ；根据“ASA”需要添加条件 ；根据“AAS”需要添加条件 ；ABCDAB=ACBDA=CDAB=C友情提示：添加条件的题目.首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件 ,有些是图中隐含条件.二.添条件判全等- 版权所有- 8 5、已知：BDEF，BCEF，现要证明ABCDEF，若要以“SAS ”为依据，还缺条件_；若要以“ASA ”为依据，还缺条件 _；若要以“AAS ”为依据，还缺条件_并说明理由。 AB=DE ACB=F A=DABCDEF- 版权所有- 9试一试 三、熟练转化“间接条件”判全等6如图，AE=CF，AFD=CEB，DF=BE，AF

4、D与 CEB全等吗？为什么？ADBCFE8.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道ABC=ADC。请用所学的知识给予说明。解答7.如图（5）CAE=BAD，B=D，AC=AE，ABC与ADE全等吗？为什么？ACEBD解答解答- 版权所有- 10 6.如图（4）AE=CF，AFD=CEB，DF=BE，AFD与 CEB全等吗？为什么？解：AE=CF(已知)ADBCFEAEFE=CFEF(等量减等量，差相等)即AF=CE在AFD和CEB中， AFDCEBAFD=CEB(已知)DF=BE(已知)AF=CE(已证)(SAS)- 版权所有- 11

5、7.如图（5）CAE=BAD，B=D，AC=AE，ABC与ADE全等吗？为什么？ACEBD解： CAE=BAD(已知) CAE+BAE=BAD+BAE (等量减等量，差相等)即BAC=DAE在ABC和ADE中， ABC ADEBAC=DAE(已证)AC=AE(已知)B=D(已知)(AAS)- 版权所有- 128.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道ABC=ADC。请用所学的知识给予说明。解: 连接ACADCABC(SSS) ABC=ADC(全等三角形的对应角相等)在ABC和ADC中， BC=DC(已知)AC=AC(公共边)AB=AD

6、(已知)- 版权所有- 13实际运用 9. 测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物树木，视线 与河岸垂直，然后该人沿河岸步行步（每步约0.75M）到O处，进行标记，再向前步行10步到D处，最后背对河岸向前步行20步，此时树木A，标记O，恰好在同一视线上，则河的宽度为 米。15ABODC- 版权所有- 1、如图，ABC中，ADBC，垂足为D，BEAC，垂足为E，AD、BE相交于点F。如果BFAC，那么ABC的度数是 （ ）A、400B、450C、500D、600BFDEBCA- 版权所有- 2、如图，RtABERtECD,则结论：AEDE；AEDE；BCABCD；ABDC。成立的是 （）A

7、、仅 B、仅C、 D、DBCDAE- 版权所有- 3、如图. ACB=90，AC=BC，BE CE，AD CE，垂足分别为E，D，图中有哪条线段与AD相等，并说明理由。BEACD- 版权所有- 解：AD=CE因为BE CE，AD CE，所以 BEC= CDA= 90又因ACB=90，即 BCE+ ACE=90 DAC+ ACD=90所以 BCE= DAC， 又因为AC=BC根据AAS，可以知道BECCDA所以AD=CE BEACD- 版权所有- 18 例、如图，已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于点M，AC、BE相交于点N，1=2，试说明：（1） ABE ACD （2）AM=AN AN

8、 M EDCB12创造条件！ ？- 版权所有- 4、如图为人民公园中的荷花池，现在测量荷花池两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）。请你根据图形全等的知识，用一根足够长的绳子及标杆为工具，设计两种不同的测量方案。要求（1）画出设计的测量示意图； （2）写出测量方案的理由。AB- 版权所有- ABD CE - 版权所有- 21感悟与反思：、平行角相等；、对顶角角相等；、公共角角相等；、角平分线角相等；、垂直角相等；、中点边相等；、公共边边相等；、旋转角相等，边相等。- 版权所有- 22一.挖掘“隐含条件”判全等二.添条件判全等三.转化“间接条件”判全等- 版权所有- 方法指引证明两个三角形全

9、等的基本思路：（1）：已知两边- 找第三边(SSS)找夹角（SAS)(2):已知一边一角-已知一边和它的邻角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角 (AAS)找一角(AAS)(3):已知两角-找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边(AAS)- 版权所有- 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用法： QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用法： QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE二.角的平分线：1.角平分线的性质：2.角平分线的判定：- 版权所有- 1、如图：在ABC中

10、，C =900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。12cABDE三.练习：- 版权所有- 2.如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BM是ABC的角平分线,点P在BM上,ABCPMNDEFPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.PDPE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F- 版权所有- 3.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，F

11、HAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFHFGFH点F在DAE的平分线上- 版权所有- 4.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD EDCAB变式：以上条件不变，将ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？证明： ABC和ECD都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ ACE即BCE=DCA在ACD和BCE中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACDBCE (SAS) BE=AD

12、- 版权所有- 5：如图，已知E在AB上，1=2， 3=4，那么AC等于AD吗？为什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在EBC和EBD中 1=2 3=4 EB=EB EBCEBD (AAS) BC=BD 在ABC和ABD中 AB=AB 1=2 BC=BD ABCABD (SAS) AC=AD- 版权所有- 练习6：如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：ABCDEF证明： ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在ABC和DEF中 AC=DF A=D AB=DE ABCDEF （SAS）- 版

13、权所有- 练习7：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知： EGAF 求证：GFEDCBA高- 版权所有- 8.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEFBCAFED- 版权所有- 9.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。ACEBD要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）2、把一个

14、三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）- 版权所有- 10.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果那么）（1） ；（2） ；- 版权所有- 11.如图，在RABC中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.- 版权所有- 12.已知：如图：在A

15、BC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证： ADG 为等腰直角三角形。- 版权所有- 13.已知：如图21，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC，求证：EB=FC- 版权所有- 14、如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，试说明ABAC与2AD之间的大小关系。解：延长AD至E，使DEAD在ABD与ECD中BDDC（中线的定义）ADBEDC（对顶角相等）ADDEABDECD（SAS）根据全等三角形对应边相等ABEC在AEC中:ACECAE又AE2ADABAC2AD小结：对于三角形的中线，我们可以

16、通过延长中线的1倍，来构造全等三角形。联想：对于三角形的角平分线，有时我们也可进行翻折构造全等三角形。EDBAC- 版权所有- 15、已知在ABC中，AD是角平分线，且ACABBD,试说明：B2C解：在AC上截取AEAB，连结DE在AED与ABD中AEABEADBAD（角平分线的定义）ADAD（公共边）AEDABD(SAS)根据全等三角形对应边、对应角相等EDBD，AEDB又AC=AB+BDCE=DE根据等腰三角形的两个底角相等CEDC又AEDCEDCAED2CB2CECABD- 版权所有- BAEDCF16、如图，已知ABAE，BCED，BE，BAFEAF，试说明AFCD。解答：连结AC、A

17、D在ABC与AED中ABAEBEBCED(SAS)ABCAEDACADBACEAD又BAFEAFBAFBACEAFEAD即：CAFDAF在CAF与DAF中ACADCAFDAFAFAF（公共边）(SAS)CAFDAFCFADFA而CFADFA1800CFADFA900即：AFCD- 版权所有- 17、ABC中，ACBC，C900，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角形的两直角边分别交AC、CB于D、E两点，如图所示：（1）问PD与PE有何大小关系？并以图为例加以说明（2）在旋转过程中，还会存在与图不同的情形吗？若存在，请在图中画出，并加以说明ACBPDE DAB

18、PECCBAPDE- 版权所有- （1）分析：若PDAC，PECB（如图)可以说明：ADPBEP, PDPE若如图，可连接CP,可以发现DPCEPB，DCPB450，PCPB, PDCPEB（ASA）, PDPE.（2）如图所示，与图一样可以说明PCDPBE，从而PDPEACBPDE DABPECCBAPDE- 版权所有- 总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全

19、等；（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”- 版权所有- 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用法： QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用法： QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE二.角的平分线：1.角平分线的性质：2.角平分线的判定：- 版权所有- 1、如图：在ABC中，C =900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。12cABDE三.练习：- 版权所有- 2.如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、

20、BC、CA的距离相等BM是ABC的角平分线,点P在BM上,ABCPMNDEFPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.PDPE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F- 版权所有- 3.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFHFGFH点F在DAE的平分线上- 版权所有- 4.已知，ABC和ECD

21、都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD EDCAB变式：以上条件不变，将ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？证明： ABC和ECD都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ ACE即BCE=DCA在ACD和BCE中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACDBCE (SAS) BE=AD- 版权所有- 1、如图：在ABC中，C =900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。12cABDE三.练习：- 版权所有- 2.如图, ABC的角平分线BM,C

22、N相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BM是ABC的角平分线,点P在BM上,ABCPMNDEFPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.PDPE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F- 版权所有- 3.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFHFGFH点F在DAE的平分线上-

23、版权所有- 4.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD EDCAB变式：以上条件不变，将ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？证明： ABC和ECD都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ ACE即BCE=DCA在ACD和BCE中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACDBCE (SAS) BE=AD- 版权所有- 5：如图，已知E在AB上，1=2， 3=4，那么AC等于AD吗？为什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在EBC和EBD中 1=2 3=4 EB=EB EBCEBD (AAS) BC=BD 在ABC和ABD中 AB=AB 1=2 BC=BD ABCABD (SAS) AC=AD- 版权所有- 练习6：如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：ABCDEF证明： ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF