最新《力学》漆安慎(第二版)答案10章

1、力学（第二版）漆安慎习题解答第十章波动第10章波动习题解答力学（第二版）漆安慎课后答案 第十章一、波动基本知识小结L平面简t皆波方程y = Aco s（t不j） = Ac o sjt不kx）；tT =2% k儿=2n, v =1/T,V = hv。.弹性波的波速仅取决媒质性质：弹性体中横波的波速V =、,：N斤，弹性体中纵波的波 速V =g下，流体中纵波波速V =历不，绳波波速V = %,T7p。.波的平均能量密度 p6A2,波的平均能流密度I =W32A2V。.波由波密射向波疏媒质，在边界处，反射波与入射波相位相同；波由波疏射向波密媒 质，在边界处，反射波比入射波相位落后冗，相当损失半个波长

2、；例如：在自由端无半波损失，在固定端有半波损失。.振动方向相同、频率相同、位相差恒定的二列波叫相干波，相干波叠加叫波的干涉。.振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加产生驻波现象；驻波方程 y =2Acos2,xcosot;波节两边质元振动相位相反，两个波节之间质元振动相位相同； 相邻波节或相邻波腹间距离为 人/2相邻波腹波节间距离为 人/4.多普勒公式：v = WSv,在运用此公式时，以波速 V为正方向，从而确定V0、Vs的 正负。二、思考题解答根据波长、频率、波速的关系式 u =， ,有人认为频率高的波传播速度大，你认为对否？答：否。弹性波在连续介质中的传播速度取决于介质的性质和状态，如固体

3、、液体的形变模量和密度以及气体的体变模量和气体的状态等。在给定的非色散介质中，弹性波相位的传播速度（即波速）是一定的，与频率无关。由 u =，可知，波的频率越高在 介质中的波长越短。介质对于电磁波的传播不是必要的，介质中电磁波相位的传播速度与介质的介电常 量匕和磁导率N有关。当名和N为常数（非色散介质）时，相速度 u与频率无关，真空 中电磁波的相位传播速度即为光速c。比值=n, n为介质的折射率。u当波从一种介质透入另一介质时，波长、频率、波速、振幅各量中，哪些量会改 变？哪些量不会改变？答:参照上题，简谐波在连续介质中传播时，介质中各质点振动的频率是由波源决 定的。当简谐波从一种介质透射到另

4、一种弹性介质时，波的频率不会改变。两种介质的 性质不同，简谐波在其中传播的相速不同，由口 =向可知，在两种介质中的波长也是不 同。当波从一种介质透射到另一介质时，在它们的界面，伴随有波（能量）的反射。频 率一定时，波的能量正比于振幅的平方，所以透射波的振幅小于入射波的振幅。波的传播是否是介质质点 随波逐流”？长江后浪推前浪”这句话从物理上说，是 否有根据？答：波的传播是介质中质点振动状态（相位）的传播过程，质点本身并不随波逐流， 仅在各自的平衡位置附近振动。因此介质中的质点随波逐流”的说法是错误。而 长江后浪推前浪”这句话，从波传播能量和波的形成来看随颇为形象，但本质上不具备 相位的传播”和质

5、点本身并不随波移动”的特征，因此用这句话来描述波动也是不确切的。（1）在波的传播过程中，每个质元的能量随时间而变，这是否违反能量守恒定律? （2）在波的传播过程中，动能密度与势能密度相等的结论，对非简谐波是否成立？为什么？答：（1）否。波的传播过程是能量的传播过程，每个质元通过所含大量质量的以 相位联系的振动来周期性地接受， 放出波的能量，起传递能量的作用。这不违反能量守 恒定律。（2）否。对简谐波而言，动能密度正比于单位体积介质内所有质点振动速度的平 方，势能密度正比于介质的相对形变量的平方。非简谐波可以看作是若干个频率、振幅第10章波动习题解答力学(第二版)漆安慎课后答案 不同的简谐波之和

6、，即级数和，它对坐标x的变化率的平方(,以及对时间变化率的 平方(玄)2都有非线性效应。所以，对非简谐波而言，介质内动能密度与势能密度相等 的结论，是不成立的。两列简谐波叠加时，讨论下列各种情况：(1)若两波的振动方向相同，初相位也相同，但频率不同，能不能发生干涉？(2)若两列的频率相同，初相位方向也相同，但振动方向不同，能不能发生干涉？(3)若两列的频率相同，振动方向也相同、初相位也相同，但振幅不同，能不能发 生干涉？答：两列简谐波在空间相遇时，都满足叠加原理，是否能发生干涉现象，则需根据 相干条件判断。(1)两列波的振动方向相同，初相位也相同，但频率不同时，介质中各质点的合 振动仍为两个分

7、振动的合成，两波仍满足叠加原理，但叠加后的合成波的空间不能形成 稳定的加强和减弱分布；因此不会出现波的干涉现象。(2)两波的频率相同，初相位也相同，但振动方向不同时，若将其中一个波的振 动按另一个波的振动方向可分解为平行和垂直的两个分量，则两个平行振动的叠加可产 生波的叠加现象，但干涉条纹的可见度因存在垂直的振动分量而下降。若两波的振动方 向互相垂直，则不产生干涉。(3)两列的频率相同，振动方向也相同，但两列在空间相遇处的振动相位差不能 保持恒定时，对每个瞬时在相遇区域内各质点振动的叠加虽有确定的加强和减弱的分 布，但在一段可观察的时间间隔内，因各质点的振动相位差时刻在变化，致使在两波相 遇区

8、域内各质点振动加强和减弱的分布也时刻在变化，得不到稳定的分布，因此就观察不到稳定的加强和减小的干涉现象。单一频率的自然光源较难实现干涉，原因就在于此。(4)两波的频率相同，振动方向相同，初相位也相同，但振幅不同时，可以发生 干涉现象，但因干涉减弱处的合振动不为零，将影响干涉条纹的可见度。(1)为什么有人认为驻波是不是波？(2)驻波中，两波节间各个质点均作用相位的简谐运动，那么，每个振动质点的 能量是否保持不变？答：(1)驻波可被看作是特殊形态的合成波， 是由两列沿相反方向传播的相干波因 叠加而形成的干涉现象。驻波与行波有共同的特征：各质点振动位移的分布形成波形曲 线，波形随时间变化，具有时空周

9、期性，驻波相对于行波的特殊处在于：驻波既不传播 振动形态，也不传播能量，即驻而不行。所以有人认为驻波不是波，而是质量的一种集 体振动状态。(2)驻波中，两波节间各个质点以不同的恒定振幅作用相位的简谐振动，一波节 两侧各个质点作简谐振动的相位相反， 就单个质点而言振动能量是守恒的， 但各质元在 振动过程中能量不断变化，如：波节处质元的动能始终为零，其势能则随着两侧质元振 动引起的相对形变的变化而不断变化；波腹处质元的动能不断变化，其势能则始终为零。 各质元见不断交换能量，但总能量始终停留在驻波所在范围内，并不传播出去.三、习题解答10.2.1频率在20至20000Hz的弹性波能使人耳产生听到声音

10、的感觉。0OC时，空气中的声速为331.5m/s求这两种频率声波的波长。解： V=v，, ，=V/v, 产V/v1 = 33205 ：. 16.58m 2=V/v2 =331.5/20 ： 16.58 10m一平面简谐声波的振幅 A=0.001m,频率为1483Hz,在20OC的水中传播，写出 其波方程。解：查表可知，波在20OC的水中传播，其波速V=1483m/s.设o-x轴沿波传播方向, x表示各体元平衡位置坐标，y表示各体元相对平衡位置的位移，并取原点处体元的初 相为零，则：y =Acos2二 v(t -6)=0.001cos(2966二t - 2二 x)已知平面简谐波的振幅 A=0.1

11、cm,波长1m,周期为10-2s,写出波方程(最简形式) 又距波源9m和10m两波面上的相位差是多少？解：取坐标原点处体元初相为零，o-x轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为y = Acos (t。/)=Acos2二& - -x ) = 10 4 cos2二(100t。x)Zu1二2二(100t -9) -2二(100t-10) 二2二写出振幅为A,频率v=f,波速为V=C,沿o-x轴正向传播的平面简谐波方程.波源在 原点o,且当t=0时，波源的振动状态是位移为零，速度沿o-x轴正方向。解：设波源振动方程为y = Acos( t ).t=0 时，y = Acos = 0, u =警=-aAsi

12、n 0,二巾=-f波方程 y =Acos2 二 v(t -Vx)-羽=Acos2 二 f (t _*) -已知波源在原点(x=0)的平面简谐波方程为y = Acos(bt -cx), A,b,c均为常量.试求：振幅、频率、波速和波长；写出在传播方向上距波源l处一点的振动方程式， 此质点振动的初相位如何？解：将y = Acos(bt -cx)与标准形式y = Acos( t - kx)比较，=b,k=c.振幅为A,频率 v=w /2 冗=b/2ft速 V=w /k=b/c,波长 入=VV=2 兀 /c.令x=l,则y = Acos(bt -cl),此质点振动初相为-cl.平面简谐波逆x轴传播，波

13、方程为y = Acos2nv(t +g +3),试利用改变计时起点 的方法将波方程化为最简形式。解：令t =t+3, y =Acos2nv(t+/，即将计时起点提前3s,即可把方程化为如上的 最简形式。平面简谐波方程y =5cos2n(t+分，试用两种方法画出t =2时的波形图(SI)解：由波方程可知：A=5, v=4, v=1,入=v=4t = 5s时，y =5cos2n(3 + =5cos-2(x +12)方法一：令x = x+9,先画出y =5cos2x的波形图，然后将y轴右移152即可方法二：找出x、y的对应点，根据余弦函数规律描出x(m)对于平面简谐波 S = rcos2n(1-x)

14、中，r=0.01m,T=12s,入=0.30m出 x=0.20m 处 体元的位移-时间曲线。画出t=3s,6s时的波形图。解：波方程 S=rcos2nG - -x)=0.01cos2jr(今离) .令 x=0.20, S=0.01cos2i6岩)= 0.01cos-6(t8)；令 t=t-8,根据 T=12s 及余弦 曲线的规律，先画出S = 0.01cos-6t的S，-t曲线，再把S轴向左移动8秒，即得S-t曲 线。令 t=3, S =0.01cos万信-0 x3) =0.01cos2n (0312) =0.01cos 等 n(x 幼.令 x=x得， .。U.根据九= 0.3=4父40m及余

15、弦曲线的规律，先画出S = 0.01cos号兀x的S-x曲线，再把S轴向左移动3/40m,即得S-x曲线。t=6s时的波形图，可把t=3s时的波形图左移6fM 0.3 =m ,即1个单位，就是t=6s 时的波形图(虚线所示)。第10章波动习题解答力学(第二版)漆安慎课后答案 第10章波动习题解答力学（第二版）漆安慎课后答案 两图分别表示向右和向左传的平面简谐波在某一瞬时的波形图，说明此时X1 ,X2,X3以及8, 2, 3各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于X2和金只要求说明其相位在第几像限）解：根据y = Acos （t不VX）, u =-oAsint不自）及波形图随时间t

16、的移动方向，可做出如下判断：X1X2X3a3位移正最大负0正最大负0速度0负负最大0正正最大相位0或2冗R像限兀/20或2冗出像限-冗/2图（a）、（b）分别表示t=0和t=2s时的某一平面简谐波的波形图。试写出平面 简谐波方程。解：由波形图知：A=2m,入=2m.由图（a）,原点处质元t=0时，y=A,可判断其初相为零.比较（a）、（b）两图，（b）图可看作（a）图向右移动0.5m得到。VA t=0.5,V=0.5/2=0.25m/s.=2 兀 V/ 人=2 兀 X 0.25/2=0.25 几.y = 2 cos （t -Vx）=2cos0.25二（t -施）=2cos 二（0.25t -x

17、）1.0mm2.求其中传播纵波和横10.3.1有一圆形横截面的铜丝，受张力1.0N,横截面积为波时的波速各为多少？铜的密度为 8.9 03kg/m3,铜的杨氏模量为12X09N/m2.解：纵波波速V = . Y： = 12 1093 1.16 103m/s.8.3 10铜丝的线密度P = Ps=8.9x103父1.0父10上=8.9x10，kg/m ,铜丝中传播的横波是纯波,横波波速V=1-10.6m/s8.9 10310.3.2已知某种温度下水中声速为 1.45 10 m/s,求水的体变模量。解：:水中声波速度V=J,；水的体变模量k = ：V2 =1.0 103 （1.45 103）2 ：

18、 2.10 109Pa10.4.1在直径为14cm管中传播的平面简谐波，平均能流密度为9erg/s.cm?, v=300Hz,V=300m/s.求最大能量密度和平均能量密度，求相邻同相位波面间的总能量。解：平均能流密度I =.，2A2V=9 10,J/s.m2能量密度b.= pTA2sin%(t-G)，.二最大能量密度名 max = P02A2 =2=2=6Kl0J5J/m3.平均能量密度 max二二，2a2 =3 .=3 lOJ/m322 max管的横截面积 s=nR2 =3.14x(1440i)2=1.54x1Om2,二相邻同相位波面间的距离为九=VV = 300 =lm , 其间总能量为

19、 E =Ws = 3Ml0 xlMl.54Ml0/ %4.6M1O，J面向街道的窗口面积约40m2,街道上的噪声在窗口的声强级为60dB,问有多少声功率传入室内？(即单位时间进入多少声能)解：据声强级定义：Il =10lg =60, lgt =6, I =1O6Io ,所以传入室内的声功率 W=IS=106 10,2 40 =4.0 10,W距一点声源10m的地方，声音的声强级为20dB,求：距声源5m处的声强级；距声源多远就听不见1000Hz的声音了？解：设r=r1二5m时,声强为I1,声强级为IL1; r=2=10m时，声强为12,声强级为IL22TIM% =I24n2，- I1 =I2(

20、)2,用声强级表示：101g 比=10ig 春= 10igi0+10ig(3)2即 IL1 =IL2 101g()2 =20 101g 4 = 20 6.02 =26.02dB设r=r3时听不到声音，即对应的声强级IL3=0101gt =10lg1-101gl =IL2 -L =20-0, lg = * =102 30033I 2 4冗 r2 I 3 4n r3，寸=(73) ,r3 = 1Jr2 = 10 父 10 100m10.5.1声音干涉仪用于显示声波的干涉，见图。薄膜 S在电磁铁的作用下振动，D为 声音检测器，SBD长度可变，SAD长度固定，声音干涉仪内充满空气。当 B处于某一 位置

21、时，在D处听到的声强为100单位的最小声音，将B移动则声音加大，当B移动到达 D处二声波振幅1.65cm时听到强度为900单位的最强音。求：声波的频率; 之比，已知声速为342.4m/s.解：D处听到的声强是由SAD和SBD传过来的两列 相干波叠加结果；声强最小，说明两列相干波在D处的相位相反，合振幅为两个分振幅之差；声强最大，说明两列 相干波在D处相位相同，合振幅为两个分振幅之和；两列 波在D处的相位差由相反变为相同，相位差改变为 乃因 此两列波传播距离的改变为 人/2有：2=2 1.65 10： =6.6 10,m,v =V =734241 ： 5188Hz 26.6 10,、22?i-

22、I1 /I2 = A /A2 , A/A2 = . I1 /I2 = 100/900 =1/3两个波源发出横波，振动方向与纸面垂直，两波源具有相同的相位，波长0.34m. 至少求出三个x数值使得在P点合振动最强，求出三个 x数值使得在P点的合振动 最弱。解：由于两个波源的相位相同，因而二波在P点引起的两个分振动的l 4l x)x相位差 2 2二二2二一当 2iU =2n霏(n =0,1,2 )时, 儿合振动最强。取 n=0,1,2，得 xi=0, x2=入=0.34m, x=2 入=0.68m当 2n* = (2n+1)n(n =0,1,2 )时，合振动最弱。取 n=0,1,2，得 xi=入/

23、2=0.17m,X2=3 入 /2=0.51m, X3=5 入 /2=0.85m试证明两列频率相同，振动方向相同、传播方向相反而振幅大小不同的平面简 谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加。证明；设满足要求的两列平面简谐波的波方程为：y = A cos(- t -kx), y2 = A2 cos( t kx), A1 A2y = A cos( t - kx) A2 cos( t kx)= (A1 -A2 + A2)cos(t -kx) + A2cost + kx)(应用三角函数公式:=(A - A2) cos( t - kx) A2 cos( t kx) cos( t - kx)=(A - A2

24、)cos( t - kx) 2A2 coskxcos tcos a +cosP =2 cos 2 cos ”)显然，前一项表示一行波，后一项为一驻波4入射波y=10M10 cos2000i(t-*)在固定端反射，坐标原点与固定端相距0.51m,写出反射波方程.无振幅损失.(SI)解：反射波的振幅、频率、波速均与入射波相同；反射波传播方向与入射波传播方向相反；入射波在原点处振动初相为零，设反射波在坐标原点处振动初相为外固定端反射有半波损失，所以0 -e =2/+%* =-(乎十1)n=-(磊+1产=-6伊.综合以上考虑，反射波方程为 y=10 10cos2000：(t J4)-6U 34二10

25、10“cos2000二(t 埸)-二入射波方程为y = Acos2n (/ +-x),在x=0处的自由端反射，求反射波的波方程。无振幅损失。解：反射波的振幅、周期、波长与入射波相同；反射波传播方向与入射波相反；由于在x=0处的自由端反射，无半波损失，反射波与入射波在原点的初相相同。综合以上考虑，反射波方程为y = Acos2二(/ -x)第10章波动习题解答力学(第二版)漆安慎课后答案 第10章波动习题解答力学（第二版）漆安慎课后答案 10.5.7图表示某一瞬时入射波的波形图，分别画出在固定端反射和在自由端反 射时，反射波的波形图，无振幅损失。解：* x方法：可先把界面后边的入射波补画上去，如

26、图 1；固定端反射时，损失半个波长， 可把界面后边的波形去掉半个波长，然后把剩余波形映射过去即可，如图2;自由端反射，无半波损失，直接把界面后边的波形映射过去即可，如图3。平面简谐波自左向右传播，在波射线上某质元A的振动曲线如图示。后来此波在前进方向上遇一障碍物而反射，并与该入射平面简谐波叠加而成驻波，相邻波节 波腹距离为3m,以质元A的平衡位置为o-y轴原点，写出该入射波波方程。解：相邻波节波腹间距离是X LU入 /4=3，二入=12m,k=2 几/入=兀 /6f口 2从A点振动曲线可知：A=0.2m,T=2s,=2兀二;兀，：一穴一亦一7 t s设 A 点振动方程为 x =0.2cos（n

27、t + 中），一t=0.5s 时，x= - 0.2, - 0.2=0.2cos修 + 中） 2 =n ,中=2 .综合以上考虑，入射波波方程应为x = 0.2cos( t - ky ) = 0.2cos(二 t - -6 y -2)同一媒质中有两个平面简谐波波源作同频率、同方向、同振幅的振动。两波相 对传播，波长8m.波射线上A、B两点相距20m.一波在A处为波峰时，另一波在 B处 相位为-兀/俅AB连线上因干涉而静止的各点的位置.解：以A点为坐标原点，建立图示坐标系，x表示各质元的平衡位置，y表示各质元 的振动位移。设：y = AcosQt -2,x）, y2 = Acos（M十留x十中），据题意，波1使A处（x=0）质元位移最大时，波2使B处（x=20）质元的振动相位为-九/2,即t=0时，号父20中=界.中=:竿! = 5.5几十y人2 ,28JA R-20mJ B x-4y2 = Acos（t +z?x -5.5jt）.合振动位移为零（即静止）的条件是：两波在这些点引起的分振动的相位差=（t +2Jx -5.5） -（t -2x） =（2n +1产,将入=8弋入并整理，可得 x = 4n+13