「第二节对坐标的曲线积分」

1、第二节对坐标的曲线积分教学目的:了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计算法和应用教学重点：对坐标曲线积分的计算教学难点:对坐标曲线积分的计算教学时间：2课时教学过程:一、对坐标的曲线积分定义和性质1.引例变力沿曲线所作的功设一个质点在xOy面内在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,试求变力F(x,y)所作的功.将L分成n个小弧段:L1,L2,-,L；变力在L.上所作的功近似为尸化，3)御(.，ni)Ax，+Q(i,hpAy.AS.=Ax.,Ay.表示从L.的起点到其终点的的向量，As.表示As匚的模.变力在L上所作的功近

2、似为为P(g,n.)Ax.+Q(g,n.)Ay；IIIIIII变力在L上所作的功的精确值为W=lim为P(g.,q)Ax.+Q(g.,r|.)Ay,IIIIII10Z=1其中尢是各小弧段长度的最大值.2对坐标的曲线积分定义定义设函数P(x,y),Q(X,y)在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L1，L2,，L”；小弧段L.的起点为(x._1?y._1),终点为g,y.),Axi=xi-x,_1?Ayi=yiy1；(gi,为Li上任意一点，尢为各小弧段长度的最大值.如果极限lim工P(g,n)Ax总存在，则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线L上对坐iiiZ=1标x的曲线积分，记作JP

3、(x,y)dx,即LJP(x,y)dx=lim工P(g,n)Ax，Liii如果极限lim工Q(g，耳)Ay总存在，则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线L上对iii坐标y的曲线积分，记作JQ(x,y)dy,即LJQ(x,y)dy二lim工Q(g,耳)AyLiiii=1其中P(x,y),Q(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段，对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.同样可以定义积分弧段为空间有向曲线弧r的情形:JP(x,y,z)dx=lim工P(g，耳,匚)AxL心i=1iiiiJQ(x,y,z)dy=lim工Q(g，耳,匚)AyTOC o 1-5 h zLi=1JR(x,y,z)dz=lim工R

4、G,n,C.)Az.L九TO.,iii1i=1常记JP(x,y)dx+JQ(x,y)dy=JP(x,y)dx+Q(x,y)dyLLLJP(x,y,z)dx+JQ(x,y,z)dy+JR(x,y,z)dz=JP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz.rrrr例如，变力F=P(x,y)i+Q(x,y)j在l上所作的功为W=JP(x,y)dx+Q(x,y)dyL3对坐标的曲线积分的存在性当P(x,y)Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上连续时，对坐标的曲线积分JP(x,y)dxjQ(x,y)dy都存在.LL4对坐标的曲线积分的性质L为有向曲线弧，L-为L与方向相反的曲线，则JP(

5、x,y)dx=-JP(x,y)dx，JQ(x,y)dy=-JQ(x,y)dyLL-LL-设L=L+L，则JPdx+Qdy=JPdx+Qdy+JPdx+Qdy12LL1L2此性质可推广到L=Li+L2+组成的曲线上、对坐标的曲线积分计算定理设P(x,y),Q(x,y)在L上有定义，且连续，L的参数方程为x=P(t),y二屮(t),当t单调地从a变到卩时，点M(x,y)从L的起点A沿L变到终点B，且Q(t),p(t)在以a,卩为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且P2(t)+屮S(t)丰0JP(x,y)dx+Q(x,y)dy存在，且LJP(x,y)dx+Q(x,y)dy=fpPp(t)，屮(t)p(

6、t)+Qp(t)，屮(t加(t)dtLa注意：a为L起点对应参数，卩为L终点对应参数，a不一定小于卩;思考：(i)若L由y=y(x)给出，L起点为a,终点为卩，贝JPdx+Qdy=.?提示(2)提示:JPdx+Qdy=JpPx,y(x)+Qx,y(x)y(x)dx.La若空间曲线厂由参数方程：x=pt),y=屮(t)，z=(t)给出，那么曲线积分JP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=?rJP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dzrL卩Pp(t),屮(t),rn(t)p(t)+Qp(t),屮(t),(t)M(t)+Rp(t),屮(t),e(t

7、)Q(t)dt,a其中a对应于G的起点，卩对应于r的终点.例1计算:J(2a-y)dx-(a-y)dyL:摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)从点L0(0,0)到点B(2ka,0)。原式=J2兀2a一a(1一cost)a(1一cost)一a-a(1一cost)asintdt0=J2k-a(1+cost)a(1一cost)一a2costsintdt0=a2(J2兀一a01-cos2t2a(1-cost)-a2costsintdt)112兀=a2(t一一sin2t一一sin21)=ka2420J(2a-y)dx-(a-y)dy=-ka2L-例2Jxy2dx+(x+y)dyLL：(1)

8、曲线y=x2起点为(0,0)，终点为(1,1).图102-11)到点B(0,0,0)的直线段(2)折线Li+L2起点为(0,0)，终点为(1，1).解(1)原式=x-x4+(x+x2)dx=03(2)原式=J+J=f1ydy+J*1xdx=1L1l200故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关例3.计算Jx3dx+3zy2dy-x2ydz,其中厂是从点A(3,2,rAB解：直线AB的参数方程为x=3t,y=2t,x=t,t从1变到0.所以所以I二J0(3t)33+3t(2t)22-(3t)22tdt二87f013dt二87.114例4设有一质量为m的质点受重力作用在铅直平面上沿某一曲

9、线从点A移动到点B，求重力所作的功。图10-2-3解:取水平直线为x轴，y轴铅直向上，则重力在两坐标轴上的投影分别为卩(x，y)二0,Q(x，y)二-mg，这里g是重力加速度，于是，当质点从A(x0,y0)移动到点B(X，Y)时，重力所作的功为W=JPdx+Qdy=J(-mg)dy=-Jymgdy=-mg(Y-y)=mg(y-Y)ABAB0y0这结果表明，这里重力所作的功与路径无关,而且仅取决于下降的距离.例6.计算Jy2dx.L(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段.解(1)L的参数方程为x=acos0,y=asin0,q

10、从0变到兀.因此Jy2dx=Ja2sin20(-asin0)d0=a3J兀(1-cos20)dcos0=4a3.L003(2)L的方程为y=0,x从a变到一a.因此Jy2dx=J-a0dx=0.La三、两类曲线积分的关系x二x(s)y二y(s)设有向曲线弧L的起点A终点B取弧长AM=s为曲线弧L的参数。若x(s),y(s)在上具有一阶连续导数，P,Q在L上连续，则JPdx+QdyLTOC o 1-5 h z=J1Px(s),y(s)dx+Qx(s),y(s)dyds图10-2-4odsds=J1Px(s),y(s)cosa+Qx(s),y(s)sinPds0dxdy其中cosa=,sinP=是

11、L的切线向量的方向余弦，且切线向量与L的方向一致,dsds又J(Pcosa+Qsinp)ds=J1Px(s),y(s)cosa+Qx(s),y(s)sinPdsL0JPdx+Qdy=J(Pcosa+QsinP)dsLL类似地有JPdx+Qdy+Rdz=JPcosa+Qcosp+Rcosyds,rrJAdr=JA-tds=JAds.rrrcosa,cosy为有向曲线弧r上点(x,y,z)处单At为向量A在向量t上的投影.其中A=P,Q,R,T=cosa,cosp,位切向量，dr=Tds=dx,dy,dz,小结与思考：1.对坐标的曲线积分概念和性质JP(x,y)dx+JQ(x,y)dy=lim(P

12、(,q)Ax.+Q(g.,q)Ay.)LL匚0i=12.对坐标的曲线积分的计算方法:化为定积分计算若平面曲线L的参数方程为:X=(t),y=屮(t),Z=O(t)JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=JpPQ(t)，屮(t)p(t)+QQ(t)，屮(t加(t)dtLa若空间曲线r的参数方程为:x=(t),y=屮(t),z=(t)JP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dzr卩PQ(t),屮(t),(t)”(t)+Q(t),屮(t),(W(t)+RQ(t),屮(t)g(t)Q(t)dt,a两类曲线积分的关系JPdx+Qdy=J(Pcosa+Qsinp)dsLLJPdx+Qdy+Rdz=JPcosa+Qcosp+Rcosydsrr启发与讨论计算Jx2dy+2xydx.，其中L为L(1)抛物线y=x2上从0(0,0)到B(1,1)一段弧。(2)抛物线x二y2上从0(0,0)到B(1,1)的一段弧。(3)有向折线OAB，这里O,A,B依次是点(0,0),(1,0),(1,1)解.(1)化为对x的积分.L:y=x2,x从0变到1原式=A(2x-x2+x2-2x)dx=4J1x3dx00=1化为对y的积