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1、PAGE PAGE - 3 -第九章平面解析几何第9课时抛 物 线 1. 抛物线y4x2的焦点坐标是_答案:eq blc(rc)(avs4alco1(0,f(1,16)解析:x2eq f(1,4)y,2peq f(1,4),抛物线的焦点坐标是eq blc(rc)(avs4alco1(0,f(1,16).2. 准线方程为x2的抛物线的标准方程是_答案:y28x解析:由eq f(p,2)2,得2p8,故所求抛物线方程为y28x.3. 抛物线y24x上的一点A到焦点的距离为5,则点A到x轴的距离是_答案:4解析:2p4,p2,准线方程是x1.由抛物线定义可知,点M到准线的距离为5,即x15,x4,所
2、以点A到x轴的距离是4.4. 已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y26x70相切,则p的值为_答案:2解析:抛物线y22px的准线方程是xeq f(p,2),曲线x2y26x70,即(x3)2y216是圆心为(3,0),半径为4的圆于是依题意有eq blc|rc|(avs4alco1(f(p,2)3)4.又p0,因此有eq f(p,2)34,解得p2.5. 抛物线y24x上一点A的横坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为_答案:5解析:抛物线y24x的准线方程为x1,由抛物线定义可知,点A与抛物线焦点的距离等于点A到准线的距离d4(1)5.6. 已知直线yk(x2)(k0)与抛物线y2
3、8x相交于A、B两点,F为抛物线的焦点,若FA2FB,则k的值为_答案:2eq r(2)解析:直线yk(x2)恰好经过抛物线y28x的焦点F(2,0),由eq blc(avs4alco1(y28x,,yk(x2),)可得ky28y16k0,因为FA2FB,所以yA2yB,则yAyB2yByBeq f(8,k),所以yBeq f(8,k),yAyB16,所以2yeq oal(2,B)16,即yB2eq r(2).又k0,故k2eq r(2).7. 如图,过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若BC2BF,且AF3,则此抛物线的方程为_答案:y23x解析:过
4、点B作准线的垂线,垂足为B1,记准线与x轴的交点为F1,则依题意得eq f(BB1,FF1)eq f(BC,CF)eq f(2,3),所以BB1eq f(2,3)FF1eq f(2p,3),由抛物线的定义得BFBB1eq f(2p,3).过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,由BEFADF得eq f(f(2,3)p,3)eq f(pf(2p,3),3p),解得peq f(3,2).所以此抛物线的方程是y23x.8. 在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y24x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60,则OAF的面积为_答案:eq r(3)解析:直线l的
5、方程为yeq r(3)(x1),即xeq f(r(3),3)y1,代入抛物线方程得y2eq f(4r(3),3)y40,解得yAeq f(f(4r(3),3)r(f(16,3)16),2)2eq r(3)(yB0,舍去),故OAF的面积为eq f(1,2)12eq r(3)eq r(3).9. 在平面直角坐标系xOy中,A、B分别为直线xy2与x、y轴的交点,C为AB的中点若抛物线y22px(p0)过点C,求焦点F到直线AB的距离解:由已知可得 A(2,0),B(0,2),C(1,1),解得抛物线方程为 y2x,则焦点为Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4),0), 故点F到
6、直线AB的距离为eq f(blc|rc|(avs4alco1(f(1,4)02),r(2)eq f(7r(2),8).10. 已知过抛物线y22px(p0)的焦点,斜率为2eq r(2)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x1)两点,且AB9.(1) 求该抛物线的方程;(2) O为坐标原点,C为抛物线上一点,若eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6(),求的值解:(1) 直线AB的方程是y2eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(p,2),与y22px联立,从而有4x25pxp20,所以x1x2eq f(5p,
7、4).由抛物线定义得ABx1x2p9,所以p4,从而抛物线方程是y28x.(2) 由p4,4x25pxp20可简化为x25x40,从而x11,x24,y12eq r(2),y24eq r(2),从而A(1,2eq r(2),B(4,4eq r(2)设eq o(OC,sup6()(x3,y3)(1,2eq r(2)(4,4eq r(2)(41,4eq r(2)2eq r(2),又yeq oal(2,3)8x3,即2eq r(2)(21)28(41),即(21)241,解得0或2.11. 已知抛物线C:yax2(a为非零常数)的焦点为F,点P为抛物线C上一个动点,过点P且与抛物线C相切的直线记为l.(1) 求F的坐标;(2) 当点P在何处时,点F到直线l的距离最小? 解:(1) 抛物线方程为x2eq f(1,a)y,故焦点F的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(0,f(1,4a).(2) 设P(x0,y0) 则 y0axeq oal(2,0) .y02ax0, 在P点处抛物线 (二次函数)的切线的斜率 k2ax0,切线l的方程是yy0k (xx0),即yaxeq oal(2,0)2ax0(xx0),即2ax0 x yaxeq oal(2,0)0.焦点F到切线l的距离deq f(blc|rc|(avs4alco1(0f(1,4a)a
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