对称的概念和晶体对称性

1、对称的概念和晶体对称性一 对称的概念 不对称图形 不对称图形 对称图形 对称：指物体或图形中相同的部分之间有规律的重复。 （1）所有的晶体都是对称的；（2）晶体的对称是有一定的限制的；二 晶体对称（3）晶体的对称包含几何意义，也包含物理意义。1 特点（1）作为晶体分类的基本依据；（2）研究晶体的内部结构、外部形态、物理性质。2 应用1 对称操作：能够使对称物体中的等同部分作有规律的重复的变换动作。2 对称元素：对称操作所依据的辅助的几何元素（点、线、面）3 晶体的宏观对称：外部形态上的对称。三 晶体宏观对称元素和对称操作4 晶体宏观对称操作和对称元素的类型反轴旋转反伸点线旋转轴旋转线镜面反映面

2、对称中心反伸点对称元素对称操作映转轴旋转反映线面5 对称变化矩阵空间一点（x,y,z），对称变换后（X,Y,Z）Xa11x+a12y+a13zYa21x+a22y+a23zZa31x+a32y+a33z其中对称变换矩阵对任一对称操作，都要唯一的对称变换矩阵与之对应6 对称的表示法熊夫利斯记号国际记号习惯记号图示记号（晶体常用）（分子常用）表示方法C 习惯记号i国际记号i i圣夫利斯对称元素对称操作I反伸操作和对称心4 晶体宏观对称操作和对称元素的类型若对称图形具有对称中心，则对称图形中的任意一点，在与中心点连线的反向延长线的等距离处，必有相同的点存在。 定义。图示记号 举例B A C iA1C

3、1B1A1C1B1B D C iAD1iv 反伸的对称变换矩阵以对称心为坐标原点，建立坐标系变换前（x,y,z）则反伸后（x,y,z）反伸的对称变换矩阵v 晶体的对称心晶体中若存在对称心，其晶面必然两两平行且相等。（判断晶体有无对称心的依据） 表示方法反映操作和镜面P 习惯记号m国际记号圣夫利斯对称元素对称操作M垂直纸面图示记号平行纸面 使图形中的每一点都反映到该点到镜面垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处有相同的点存在。A1 C1 B1 A B C P 定义 反映的对称变换矩阵对称面包含的坐标轴不同，点经对称面的操作后，得到的点的坐标不同xzy以包含xy轴的平面为镜面变换前（x,y,z）则反

4、伸后（x,y,z）反映的对称变换矩阵xzy以包含xz轴的平面为镜面变换前（x,y,z）则反伸后（x,y, z）反映的对称变换矩阵xzy以包含yz轴的平面为镜面变换前（x,y,z）则反伸后（x, y, z）反映的对称变换矩阵v 晶体的对称面 镜面是平分图形的平面，在图形中除位于镜面上的点外，其他成对地排在镜面两侧，它们通过反映操作可以复原。 C3C3C4 晶体中的对称面往往垂直平分晶面或垂直晶棱并通过它的中心，或包含晶棱 旋转操作和旋转轴概念旋转操作：将图形绕通过其中心的轴旋转一定的角度后使图形复原的操作，旋转轴：旋转所依据的几何元素。基转角：使物体复原的最小旋转角（0度除外）对C n轴的基转角

5、= 2/n。旋转角度按逆时针方向计算。轴次：使图形完全复原旋转基转角的次数n。 Ln习惯记号n国际记号Cn Cn 熊夫利斯对称元素对称操作表示方法图示记号654321600720900120018003600轴次 n基转角2/n C6C5C4C3C2C1 旋转轴 有限图形常见的对称轴C ：旋转任意的角度都能使图形复原。CO2旋转角度m：旋转的次数mn为自然数 Cn对称操作备注：国际记号圣夫利斯120024003600360024001200m=1,2,3旋转角度备注：对称操作国际记号圣夫利斯 主轴：若一个图形中包含多个不同的旋转轴，则称最高次轴为主轴，低次轴为副轴。 主轴：3 C4副轴：4 C

6、3 6C2举例C2C3C4举例 若一个图形中在一个方向上有不同轴次的对称轴，那么只取轴次最高的一个。 vi对称轴轴次定理（晶体对称定理）晶体中只可能出现1，2，3，4，6次轴，而不存在五次及高于六次的对称轴。 对称轴:包括旋转轴、反轴和螺旋轴B2B12/n2/nB1B2A1A4 B1B2= ma, m=0、B1B2=B1B2=a+2A2B1cos(2/n) 即：ma=a+2a cos(2/n)(m-1)/2= cos(2/n)而cos(2/n)1，m=0、则m的取值和n的关系如下表maA4A2aaaA1A3aa(m-1)/21或m-12-1 m312/1 162/61/242/4 032/3

7、-1/222/2-13210-1n2/n cos(2/n)m即n的取值只能是1、2、3、4、6m=0、(m-1)/2= cos(2/n)思考：如图所示的正多边形，如果将每一个正多边形作为一个基本单元，验证一下哪些正多边形能够没有空隙的排列并充满整个二维平面？旋转倒反操作和反轴 表示方法 习惯记号国际记号 In In熊夫利斯对称元素对称操作 图示记号概念复合对称操作：两个或两个以上的对称操作连续进行 对称元素：一根假想的直线（旋转轴）和此直线上的一个定点 对称操作：绕直线旋转一定的角度2/n 及对定点的反伸（先旋转后反伸或 先倒反后旋转伸）1122C12C1122C12C121C45633564212C3546132413241C324651324对称元素的独立性：指对称图形中的某一个对称元素不能被其他对称元素或对称元素的的组合而代替称为。12C3546旋转反映操作和映转轴 表示方法 习惯记号国际记号 熊夫利斯对称元素对称操作 图示记号概念对称元素：一根假想的直线（旋转轴）和