二元一次方程式的图形

1、二元一次方程式的图形二元一次方程式的圖形先前所學，我們知道二元一次方程式的解有無限多組。x 0y 3例如：2 x y 3 0的解有x 1y 5x 2y 7x 1y 1x 2y 1.等表示成有序數對 x , y 如下0 , 31 , 52 , 71 , 12 , 1.等問題討論先前所學，我們知道二元一次方程式的解有無限多組。x 0y 3例如：2 x y 3 0的解有x 1y 5x 2y 7x 1y 1x 2y 1.等0 , 31 , 52 , 71 , 12 , 1.等把上述的有序數對坐標全部描在坐標平面上，你覺得會是怎樣的圖形呢？xyO二元一次方程式2x y 3 0的圖形是？一條直線想到了嗎？

2、需要畫出那麼多的點才可以決定一條直線嗎？只要連接線上的 幾個點？即可決定一條直線兩個點，問題討論想一想：形如 a x b y c 0的二元一次方程式圖形有那些分類？4 a x c 0 a 0 且 b 0 的圖形3 b y c 0 a 0 且 b 0 的圖形例：畫出 2 y 3 0 的圖形例：畫出 2 x 1 0 的圖形1 a x b y c 0 a 0 且 b 0 且 c 0 的圖形2 a x b y 0 a 0 且 b 0 且 c 0 的圖形例：畫出 3 x y 2 0 的圖形例： 畫出 3 x y 0 亦即 y 3 x 的圖形問題討論Oxy不通過原點的斜直線形如 a x b y c 0 a

3、 0 且 b 0 且 c 0 的圖形 它的圖形有什麼特徵呢？ 列表y00 x描出0 , 、 ,0描點連線直線即為所求（0 , ）（ , 0）（ , 0）（0 , ）（0 , ）（0 , ）（ , 0）（ , 0）斜直線不過原點可能是也許是或是還是不論是那一條都是問題討論例題二描出0 ,2、1 ,1列表描點12y10 x連線Oxy0,21,1N：3x y 20 直線 N 即為所求1 a x b y c 0 a 0 且 b 0 且 c 0 的圖形例：畫出 3 x y 2 0 的圖形斜直線不過原點解不通過原點的斜直線隨堂練習描出0 ,2、3 ,0列表描點02y30 x連線Oxy0,23,0L：2x

4、3y 6 0 試在坐標平面上，描繪出方程式 2x 3y 6 0 的圖形解直線 L 即為所求Oxya x b y 0 亦即通過原點的斜直線形如 a x b y 0 a 0 且 b 0 且 c 0 的圖形 它的圖形有什麼特徵呢？ y xx 0 ， y 0 必為其一組解故圖形必通過原點0 , 0 y 2 xy xy x按以下的按鈕，看對應的圖形 y 2 xy xy xy 2 xy xy xy 2 xy xy x斜直線過原點問題討論例題一描出0 , 0、1 , 3列表描點330y110 x連線Oxy0,01,3-1,-3M：3x y 0 直線 M 即為所求斜直線過原點解通過原點的斜直線2 a x b

5、y 0 a 0 且 b 0 且 c 0 的圖形例： 畫出 3 x y 0 亦即 y 3 x 的圖形隨堂練習試在坐標平面上，描繪出方程式 3 x y 0 的圖形描出0 , 0、1 ,3列表描點330y110 x連線Oxy0,01,-3-1,3L：3x y 0 直線 L 即為所求解 亦即 y3x 的圖形Oxy描出0 , 、1 , 1 列表描點y10 x連線1 , L：byc0 直線 L 即為所求形如 b y c 0 a 0 且 b 0 的圖形因為 byc00 , 水平直線a x b y c 0通過0, 的水平直線 它的圖形有什麼特徵呢？ 思考-12？問題討論例題三描出 0 , 、 1 , 1 列表

6、描點y10 x連線Oxy1 , L：2y 3 0 直線 L 即為所求3 b y c 0 a 0 且 b 0 的圖形例：畫出 2 y 3 0 的圖形因為 2y300 , 水平直線解a x b y c 0通過0, 的水平直線隨堂練習在坐標平面上，畫出 y 4 0 的圖形描出0 ,4、1 ,4列表描點y10 x連線Oxy1 ,4L：y40 直線 L 即為所求因為 y400 ,4解通過0, 4的水平直線例題四Oxy1,1L： y 1 3 b y c 0 a 0 且 b 0 的圖形例：畫出 y 1 的圖形0,1描出0 ,1、1 ,1列表描點11y10 x連線直線 L 即為所求解水平直線a x b y c

7、 0通過0,1的水平直線描出0,5、1,5列表描點y10 x連線Oxy1 ,-5L：y 5 0 直線 L 即為所求55在坐標平面上，畫出 y 5 0 與 y 0 的圖形因為 y500 ,-5解隨堂練習y5 y 0 是一條通過點0 ,0 且與y軸垂直的直線看出來了嗎？y 0 的圖形就是 x軸 y 0 0 ,0 x軸 Oxy描出 , 0、 , 1列表描點y10 x連線直線 L 即為所求形如 a x c 0 a 0 且 b 0 的圖形因為 axc0水平直線a x b y c 0通過, 0的鉛垂直線 它的圖形有什麼特徵呢？ 思考-12 ,1L：axc0 ,0問題討論例題五4 a x c 0 a 0 且

8、 b 0 的圖形例：畫出 2 x 1 0 的圖形描出 0 , 2、 1 , 列表描點y10 x連線Oxy ,1L：2x10 直線 L 即為所求因為 2x10 ,0解鉛垂直線a x b y c 0通過 , 0的鉛垂直線描出1,0、1,1列表描點y10 x連線Oxy1,1L：x10 直線 L 即為所求因為 x101,0解通過1 , 0的鉛垂直線隨堂練習在坐標平面上，畫出 x 1 0 的圖形例題六4 a x c 0 a 0 且 b 0 的圖形例：畫出 x 4 的圖形Oxy4,1L：x 4 4,0描出4 ,0、4 ,1列表描點10y44x連線直線 L 即為所求解鉛垂直線a x b y c 0通過4,

9、0的鉛垂直線描出3,0、3,1列表描點y10 x連線Oxy-3,1L：x30 直線 L 即為所求33在坐標平面上，畫出 x 3 0 與 x 0 的圖形因為 x30-3,0解x3 x 0 是一條通過點0 ,0 且與x軸垂直的直線看出來了嗎？x 0 的圖形就是 y軸 x 0 0 ,0(y軸) 隨堂練習方程式 a x b y c 0 有那些特徵可以看出它的略圖？1例：a x b y 0 a 0 且 b 0 且 c 0 2例：a x b y c 0 a 0 且 b 0 且 c 0 4例： a x c 0 a 0 且 b 0 3例： b y c 0 a 0 且 b 0 它的圖形是它的圖形是它的圖形是它的

10、圖形是通過0 , 的水平直線通過0 , 的鉛垂直線不通過原點的斜直線通過原點的斜直線，而 y 0 的圖形是，而 x 0 的圖形是x軸y軸？問題討論二元一次方程式 a x b y c 0 有那些特徵可以看出它的略圖？a x b y c 0a x b y 0b y c 0a x c 0常數項為0缺x項缺y項特徵：特徵：特徵：問題討論方程式 a x b y c 0 有那些特徵可以看出它的略圖？4例： a x c 0 a 0 且 b 0 3例： b y c 0 a 0 且 b 0 它的圖形是它的圖形是通過0 , 的水平直線通過0 , 的鉛垂直線，而 y 0 的圖形是，而 x 0 的圖形是x軸y軸重點複

11、習？2例：a x b y 0 a 0 且 b 0 且 c 0 它的圖形是通過原點的斜直線？1例：a x b y c 0 a 0 且 b 0 且 c 0 它的圖形是不通過原點的斜直線？二元一次聯立方程式的幾何意義1一個二元一次方程式在坐標平面上的圖形是一條直線2二元一次聯立方程式在坐標平面上的圖形代表兩條直線的相交情形4先前二元一次聯立方程式的解有三種情形分別為恰好有一組解無限多組解無解3想一想兩條直線的相交情形會有那些情形呢？相交於一點兩條直線重合兩條直線平行兩者有什麼關係呢？問題討論求聯立方程式 的解，並圖示兩直線L： x y 與M：x y 2的相交情形。 x y . x y 2 例題七解x

12、 1 y 1 y 1，將 y1 代回 式 得所以 為此聯立方程式的解作直線 L： x y如右圖作直線 M：x y 2如右圖將 式 代入 式 得x 1，10y10 x02y20 xOxyL： x y 0,00,21,12,0M： x y 2 恰好有一組解相交於一點看出來了嗎？解和兩條直線有什麼關係呢？ans：解就是交點在坐標平面上畫出直線L： x 2y 與M：x y 6並求出兩直線的交點坐標。 解作直線 L： x 2y如右圖作直線 M：x y 6如右圖10y20 x06y60 xOxyL： x 2y 0,00,62,16,0M： x y 6 4,2交點如右圖所示，交點座標為 ？4,2 隨堂練習求

13、直線 L：3x y 1 與以下各直線的交點：3x y 1 x y 5 例題八1 M：x y 52 x 軸兩直線的交點因為解解所代表的點所以先解2x 4，故將 式式，得 x 2 將 式代入式，得 y 7直線 L：3x y 1 直線 M： x y 5的交點為2, 7)3x y 1y 0因為 x 軸的方程式為 y 0解所以先解x y 0得故 直線 L：3x y 1 與 x 軸 的交點為 , 0 )求直線 L：4x y 2 與以下各直線的交點：4x y 2 x y 1 1 M：x y 12 y 軸兩直線的交點因為解解所代表的點所以先解3x 3，故將 式式，得 x 1 將 式代入式，得 y 2直線 L：

14、4x y 2 直線 M： x y 1的交點為1 ,2)4x y 2x 0因為 y 軸的方程式為 x 0解所以先解x 0 y 2得故 直線 L： 4x y 2 與 y 軸 的交點為0 ,2 )隨堂練習求聯立方程式 的解，並圖示兩直線 L： x 3y 2 與 M： 2x 6y 4 的相交情形。 x 3y 2 2x 6y 4 例題九解表示這兩個方程式有一样的解所以此聯立方程式有無限多組解。作直線 L：x 3y 2 如右圖作直線 M：2x 6y 4 如右圖將 式2，得 2x 6y 4，同式 10y-12x10y-12xOxyL：x 3y 2 2,0-1,1-1,1M：2x 6y 4無限多組解兩條直線重

15、合看出來了嗎？解和兩條直線有什麼關係呢？2,0ans：無限多交點求聯立方程式 的解，並圖示兩直線 L：2x y 1 與 M：x 2 y 的相交情形。 2x y 1 x 2 y 例題十解即 2x y 4 以式式， 作直線 L： 2x y 1 如右圖作直線 M： 2x y 4 如右圖將 式x2 ，得 2x 4 y ，31y-10 x24y-10 xOxyL：2x y 1 1,2-1,30,4M：2x y 4 無解兩條直線平行看出來了嗎？解和兩條直線有什麼關係呢？0,1代入任何的 x 或 y，0 3 皆不成立所以原聯立方程式無解0 x 0y 3 ans：沒有交點Oxy1,2-1,30,40,1 2x

16、 y 1 2x y 4 L：2x y 1 M：2x y 4 x 項的係數一样y 項的係數一样上列兩個二元一次方程式在化簡對齊後，常數項相異一般而言，假设 a0， b0， cc，則 是兩條平行的直線直線 ax by c 0直線 ax by c0兩條平行的直線，它們的方程式有什麼特別的地方嗎？我們發現問題討論平面上有一條直線通過3 , 4且平行於直線 x y 0 ，求此直線的方程式。例題十一解假設與直線 x y 0 平行的直線方程式為 x y k 0 ，因為 x y k 0 通過3 , 4，所以將3 , 4代入 x y k 0 中， 可得 3 4 k 0 ， k 7 ， 故此直線方程式為 x y

17、7 0 一般而言，若 a0， b0， cc，則 是兩條平行的直線直線 ax by c 0直線 ax by c0平面上有一條直線通過0 , 2且平行於直線 3x y 0 ，求此直線的方程式。解假設與直線 3x y 0 平行的直線方程式為 3x y k 0 ，因為 3x y k 0 通過0 ,2，所以將0 ,2，代入 3x y k 0 中， 可得 0 2 k 0 ， k 2 ， 故此直線方程式為 3x y 2 0 隨堂練習求以下聯立方程式的解，並圖示題目中兩條直線的相交情形： x 3y 9 3 x y 解隨堂練習12x 3y 5 y x 解2所以此聯立方程式有無限多組解。將 式3，得整理得竟得 05將 式3，得 3y 2x ，整理得 2x 3y 0 ，減去式圖示如右圖示如右(矛盾) ，故方程式無解xyOxyO 9 x 3y， x 3y 9 ，同式 x3y9 3 xy2x3y5 y x二元一次聯立方程式在坐標平面上的圖形和解的關係如下二元一次聯立方程式在坐標平面上的圖形代表兩條直線的相交情形聯立方程式的解兩直線關係圖例兩條直線平行 沒有交點兩條直線重合無限多個交點相交於一點解即為交點無解無限多組解恰好有一組解問題討論方程式 a x b y c 0 有那些特徵可以看出它的略圖？4例： a x c 0 a 0 且 b 0 3例： b y c 0 a 0 且 b 0 它的圖形是它的圖形是通