二次函数与一元二次方程一

1、二次函数与一元二次方程一复习回忆：我们已经知道，一元二次方程ax2+bx+c=0a0根的情况与“=b2-4ac有关：1.当0时，方程ax2+bx+c=0a0有两个不等实数根,2.当=0时， ax2+bx+c=0a0 有两个相等实数根,3.当0时，方程ax2+bx+c=0a0没有实数根.观察与考虑ax2+bx+c=0a0和y=ax2+bx+ca0之间的关系和区别是怎么样？区别：一个是方程，一个是二次函数.关系： 当函数y=ax2+bx+c的值为0时，就得到方程 ax2+bx+c=0活动1：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行道路将是一条抛物线，假设不考虑空气的阻力

2、，球的飞行高度h单位：m与飞行时间t单位：s之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题： 探究新知1球的飞行高度能否到达15m？假设能，需要多少飞行 时间？3球的飞行高度能否到达m？假设能，需要多少飞行 时间？2球的飞行高度 能否到达20m？假设能，需要多少飞行 时间？4球从飞出到落地要用多少时间？活动2.讨论分析： 由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，假设方程有符合实际的解，那么说明球的飞行高度可以到达问题中h的值.否那么，说明球的飞行高度不能到达问题中h的值.上面问题1可以转化为二次函数h=20

3、t5t2的值为15，求自变量t的值.可以解一元二次方程20t-5t2=15 (即5t2-20t+150);反过来，解方程5t2-20t+150又可以看作二次函数y=5t2-20t+15的值为0，求自变量t的值.解：1 当h=15m时， 解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, 解得： t1=1,t2=3. 当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.htO1315解：2当h=20m时， 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0,解得：t1=t2=2. 当球飞行2秒时，它的高度为20米 .htO420解：3 当hm时， 解方程：20.5=20t-5t2, 即t2-4t+4.1

4、=0, (-4)20, 方程无解. 即球的飞行高度达不到米. htO20.5解：4当小球落地，那么h=0m时， 解方程：0=20t-5t2, 转化为：t2-4t=0, 解得：t1=0,t2=4. 球地面飞出，4秒时球落回地面htO二次函数与一元二次方程的关系：一般地，可以利用二次函数y=ax+bx+c深化探究一元二次方程ax+bx+c=0二次函数，求自变量的值解一元二次方程的根重难点精讲1yx2x2；2yx26x9；3yx2x1.的图象如以下图.观察并答复：1以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？假设有，公共点的横坐标是多少？2当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次

5、方程的根吗？yx2x2 1抛物线yx2x2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是2，1.2当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2x2 =0的根是2,1.yx26x9 1抛物线yx26x9与x轴有一个公共点， 这点的横坐标是3.2当x3时，函数的值是0.由此得出方程 x26x9=0有两个相等的实数根3.yx2x1.1抛物线yx2x1与x轴没有公共点. 2方程x2x1=0没有实数根.总结：一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系1.当0时，方程ax2+bx+c=0a0有两个不等实数根:2.当=0时，方程ax2+bx+c=0a0有两个相等实数根,3.当0时，方程ax2+bx+c=0a0

6、没有实数根.此时函数y=ax2+bx+c与x轴没有交点 ,此时函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点 ,此时函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点以下二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 假设有，求出交点横坐标.1 y = x2x-22 y =4x2-4x +13 y = 2x2-2x+ 1xyO令 y= 0，解一元二次方程的根稳固练习1解：当y=0时，x2+x-2=0 x2x1=0 x1=-2，x2= 1 与 x 轴有交点，有两个交点。2解：当y=0时，4x2-4x+1=0 2x12=0 x1=x2 与 x 轴有一个交点.3解：当y=0时，2x22x+1=0 -22421=

7、-40 与 x 轴没有交点. 这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.归纳：一般地，假设二次函数y= ax+bx+c=0的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax+bx+c =0的根.1假设抛物线yax2bxc与x轴有公共点，公共点的横坐 标是x0，那么当xx0时，函数的值是0，因此xx0就是方 程ax2bxc0的一个根.2二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点， 有一个公共点，有两个公共点. 由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.1.可以通过不断

8、缩小根所在的范围估计一元二次方程的根;近似值的求法：总结：2.可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.稳固应用利用函数图象求方程x22x20的实数根准确到.解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示) 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7. 方程x2-2x-2=0的实数根为 x1，x22.7.1.根据以下表格的对应值: 判断方程ax2+bx+c=0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是 ( )xxxx x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c-0.06-0.02 0.03 0.09C课堂练习2.二次函数y=ax2+bx+c的局部对应值如下表： x32

9、1012345y12503430512利用二次函数的图象可知，当函数值y0时，x的取值范围是 Ax0或x2 B0 x2Cx1或x3 D1x3DA.有两个同号的实数根B.有两个异号的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根Bxoyx=-131.3.x1x23.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴 是直线 x=-1,由图象知,关于x的 方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2= .4.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图, 那么关于x的方程ax2+bx+c-3=0根的 情况是( )5.小颖用几何画板软件探究方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如以下图的图象，观察得一个

10、近似根为x1，那么方程的另一个近似根为x2=_(准确到 6.抛物线y=x2-4x+31求该抛物线与x轴的交点坐标；2当x取何值时，y0？解：1y=x-4x+3=x-1x-3 该抛物线与x轴的交点坐标是1，0和3，0；y=x2-4x+3=x-2-1，当x1或x3时，y02由1知，该抛物线与x轴的交点坐标是1，0和 3，0 该抛物线的顶点坐标是2，-1，且抛物线的开口方 向向上，大致图象如以下图：7. 1请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象；2根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2-2x=1的根在图上近似的表示出来描点；3观察图象，直接写出方程x2-2x=1的根准确到解：1如以以下图， y=x2-2x=x-12-1， 作出顶点，作出与x轴的交点，连线平滑2正确作出点M，N；3写出方程的根为，课堂小结二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和