2022-2023学年北京第五十一中学高三数学理期末试题含解析

1、2022-2023学年北京第五十一中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若，则（ ） 参考答案：A，所以解得2. 右图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是( )A B C D参考答案：A3. 已知函数的图象关于直线对称，则的单调递增区间为( )A. B. C. D. 参考答案：A4. 已知椭圆，点A（c，b），右焦点F（c，0），椭圆上存在一点M，使得，且，则该椭圆的离心率为（）ABCD参考答案：A【考点】椭圆的简单性质【分析】设M（x，y），由?cx+by=c2

2、，由，cybx=bc由得x=，y=，把代入椭圆得a4c2+4c6=a6?2c3=b3+bc2，c3b3=bc2c3，?（cb）（b2+bc+2c2）=0?b=c【解答】解：设M（x，y），?即OAMF?cx+by=c2，.，因为，共线，cybx=bc由得x=，y=，把代入椭圆得a4c2+4c6=a6?2c3=b3+bc2，c3b3=bc2c3，?（cb）（b2+bc+2c2）=0?b=c?a=，椭圆的离心率e=故选：A5. 函数的图象（部分）大致是 (A)(B)(C) (D) 参考答案：C6. 设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数： ,取函数.当时，函数在下列区间上单调递减的是（ ）A

3、B C D参考答案：D7. 设函数（），的导函数为，集合，.若，则（ ）A、 B、C、 D、参考答案：B8. 已知椭圆的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则b=（）A8B6C5D4参考答案：D【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由离心率公式和椭圆的定义，可得a=6，结合a，b，c的关系，解得b【解答】解：由题意可得e=，由椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，可得2a=12，即有a=6，c=2，b=4，故选：D【点评】本题考查椭圆的离心率公式的运用，以及定义的运用，考查运算能力，属于基础题9. 已知函数，则，的大小关系为( )A BC D

4、参考答案：A10. sin15+cos165的值为（）ABCD参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【分析】利用诱导公式，把要求的式子化为 sin15cos15=sin（4530）cos（4530），再利用两角差的正弦、余弦公式，进一步展开运算求得结果【解答】解：sin15+cos165=sin15cos15=sin（4530）cos（4530）=sin45cos30cos45sin30cos45cos30sin45sin30=，故选B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算： =（i是虚数单位）参考答案：i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】i

5、2017=（i4）504?i=i，可得原式=，再利用复数的运算法则即可得出【解答】解：i2017=（i4）504?i=i，原式=i，故答案为：i12. 若不等式恒成立, 则的取值范围是。参考答案：13. 如图圆的直径,P是AB的延长线上一点,过点P 作圆的切线,切点为C,连接AC,若,则 . 参考答案：14. 已知，则的展开式中的常数项是_参考答案：16015. （几何证明选讲选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，圆的半径为，则圆心到的距离为_.参考答案：16. 执行如图所示程序框图，输出的S为 参考答案：第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环，第五次循环，第六次循环，此时不

6、满足条件，输出17. 若x，y满足约束条件,则的最大值为_.参考答案：【分析】代表的是定点到可行域的斜率的最大值，找到关于的可行域即可.【详解】由已知得，作图如下：代表的是定点到可行域的斜率的最大值，图中明显可见，的最大值为【点睛】本题考查线性规划问题，按要求作出图像的可行域即可，属于简单题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本小题满分10分)已知，为圆的直径，为垂直的一条弦，垂足为，弦交于（I）求证：四点共圆；（II）若，求线段的长. 参考答案：() 见解析;() （I）如图，连结，由为圆的直径可知又，所以因此四点共圆4分（II）连结，由四

7、点共圆得又，所以因为在中，所以 10分19. 在直角坐标系xOy中，直线l经过点,倾斜角为.以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.参考答案：（1）C 的直角坐标方程为 ；（2）【分析】（1）根据直线过点及倾斜角即可写出参数方程，根据极坐标与直角坐标的转化公式写出曲线C的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆的方程，得到关于参数t的一元二次方程，根据根与系数的关系及参数的几何意义求解.【详解】（1）l的参数方程为（为参数），即（为参数）.由，得，从而有，的直

8、角坐标方程为.（2）将l的参数方程代入的直角坐标方程，得，整理，得.此时.设两点对应的参数分别为，则，.【点睛】本题主要考查了直线的参数方程以及参数的几何意义，极坐标与直角坐标的相互转化，属于中档题.20. 设函数f（x）=ex2ax，xR（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）在（1）的条件下，求证：f（x）0；（3）当a时，求函数f（x）在0，2a上的最小值和最大值参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；转化思想；分类法；转化法；导数的概念及应用【分析】（）求出当a=2时的f（x），求出导数，求得切线的斜

9、率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（）求出导数，求得单调区间，极小值也为最小值，判断它大于0，即可得证；（）求出导数，令导数为0，可得极值点x=lna，比较a与lna的大小，再求得f（0），f（a）作差比较，即可得到最大值【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=ex2x，f（0）=1，故切点坐标为（0，1），f（x）=ex2，故切线的斜率k=f（0）=1，切线的方程为：y1=x，即x+y1=0，（2）在（1）的条件下，令f（x）=0，则x=ln2，当xln2时，f（x）0，此时函数为减函数；当xln2时，f（x）0，此时函数为增函数；故当x=ln2时，函数取最小值22ln2，22ln20

10、，故f（x）0恒成立；（3）由于f（x）=ex2ax，f（x）=ex2a，令f（x）=0，解得x=ln2a0，当a，令M（a）=2aln2a，M（a）=2=0，M（a）在（，+）递增，又M（）=1ln1=1，M（a）=2aln2a0恒成立，即有a，2aln2a，当0 xln2a时，f（x）0，f（x）递减，ln2ax2a时，f（x）0，f（x）递增即有x=ln2a处f（x）取得最小值2a（1ln2a）；又f（0）=e00=1，f（2a）=e2a4a2，令h（a）=f（2a）f（0）=e2a4a21，a时，h（a）=2e2a8a0，h（）=e11=e20，h（a）=e2a4a210，当a时，f（

11、2a）f（0），则有当a时，f（x）在0，2a上的最大值e2a4a2【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查构造函数运用导数判断单调性，进而判断大小，考查运算化简能力，属于中档题21. 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD底面ABCD，且PAD是边长为2的等边三角形，PC=，M在PC上，且PA面MBD（1）求证：M是PC的中点；（2）求多面体PABMD的体积参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定【分析】（1）连AC交BD于E，连ME推导出PAME，由此能证明M是PC的中点（2）取AD中点O，连OC则POAD，

12、从而PO面ABCD，由此能求出多面体PABMD的体积【解答】证明：（1）连AC交BD于E，连MEABCD是矩形，E是AC中点又PA面MBD，且ME是面PAC与面MDB的交线，PAME，M是PC的中点解：（2）取AD中点O，连OC则POAD，由平面PAD底面ABCD，得PO面ABCD，22. 已知函数f（x）=ex+b在（1，f（1）处的切线为y=ax（1）求f（x）的解析式（2）若对任意xR，有f（x）kx成立，求实数k的取值范围（3）证明：对任意t（，2，f（x）t+lnx成立参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出切线方程，得到b的值

13、，从而求出f（x）的解析式即可；（2）通过讨论k的范围，结合函数的单调性求出k的具体范围即可；（3）法一：构造函数h（x）=exlnxt（x0）（t2），根据函数的单调性证明即可；法二：问题转化为证ex2+lnx，令，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）由f（x）=ex得k=f（1）=e=a，所以切线为y=ex，由切点为（1，e+b）在切线y=ex上，b=0，所以f（x）=ex（2）当k0时，对于xR，exkx显然不恒成立当k=0时，exkx显然成立当k0时，若要exkx0恒成立，必有（exkx）min0设t（x）=exkx，则t（x）=exk易知t（x）在（，lnk）上单调递减，在（lnk，+）上单调递增，则t（x）min=k（1lnk）若exkx0恒成立，即t（x）min=k（1lnk）0，得0ke综上得0ke（3）证法1：由（1）知exex成立，构造函数h（x）=exlnxt（x0）（t2），所以（t2）有exlnx+t成立（当时取等号）由（1）知exex成立（当x=1时取等号），所