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1、第三章 数值计算初步1主要内容1、泰勒级数展开近似2、差分和差商3、拉格朗日插值解决计算机处理函数的问题两个有用的概念把复杂函数或离散数据表示为多项式2泰勒级数展开近似数学基础：求解f(x)， 如果已知f(x)在x0的值和导数值，则 称为泰勒级数，用来处理函数问题。一般计算精度，取前几项就够了。 3例：计算e0.5 使得误差 10-4 考虑YNterm,x,y,eps,nterm=term*x/ny=y+tempterm=0.0); printf(“y=%ftexp(%f)=%fn,y,x,exp(x);说明：1. 对于C语言来说，该程序已经包括在“math.h“中。 2使用方法：在程序中加#

2、include “math.h“。 格式为double exp（double x） 4差分和差商设函数f(x)在各等距节点xk=x0+k*h (k=0,1,2,n)上的值已知，h称为步长。定义：把函数f(x)在每个小区间xk,xk+1上的变化量fk+1-fk称为f(x)在xk的一阶向前差分。记为： 思考：f(x)在xk点的导数可以近似用差分表示吗？ 5定义：对一阶向前差分再取一次差分称为二阶向前差分 记为： 6向后差分记为一阶： 二阶： 向前差分与向后差分的关系 7中心差分记为一阶： 二阶： 其中8差商（又称均差）函数f(x)对于自变量x的一系列不等的值x0,x1,xn 当i!=j时有xi!=

3、xj 定义：一阶差商 定义：二阶差商 9有关说明（1）对称性 交换自变量，差商不变 （2）与导数的关系 或10（3）与差分的关系如果是x0,x1,xn等距的，步长为h，即xk=x0+k*h ，则对称性11拉格朗日插值问题的提出 1, 观测实验结果：一系列的点或者数据表格不易分析； 2，函数形式给定：有时不易进行处理。考虑把离散的数据或者复杂的函数用简单形式表示出来什么是插值法？设f(x)是a,b上有一定光滑性的函数， x0,x1,xn是a,b上的n+1个互异的点。在上面取值 y0,y1,yn所谓插值法，就是求一个确定的函数 使之在上面n+1个点上满足 12有关概念插值点（也叫插值基点）插值原则

4、y=f(x)的插值函数插值区间，习惯上x0,x1,xn上的取值范围也称为插值区间插值样点插值函数的形式a 代数多项式，三角多项式，有理分式，等等b. 任意光滑函数，分段光滑函数 利用代数多项式表示插值函数的一种方法，即为拉格朗日插值13一. 插值基函数.14二.Lagrange插值多项式三 截断误差：15四.一些说明1,唯一性定理：满足插值条件而次数不超过n次的插值多项式是唯一的。（证略） 2,Ln(x)不超过n次,但可以小于n次 例：三个样点A(0,1), B(1,2), C(2,3)3,除拉格朗日插值外，还有分段插值、埃尔米特插值、三次样条插值等方法 。4,常用的数据拟合为函数的方法还有：最小二乘法。通常在较多样点，且样点存在误差的情况下使用。 16本章小结

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