复变函数复习题课件

1、2022/8/201主要内容一、复数的几种表示及运算，区域，曲线；初等复变函数。二、柯西-黎曼方程：(1) 判断可导与解析，求导数；七、Fourier变换的概念，函数，卷积。三、柯西积分公式，柯西积分定理，高阶导数公式。四、洛朗展式。五、留数：(1) 计算闭路积分；六、保形映射：(1) 求象区域；八、利用Laplace变换求解常微分方程(组)。(2) 构造解析函数。(2) 计算定积分。(2) 构造保形映射。2022/8/202一、填空题。(1) 的模为，辐角主值为 .。 . (2) 的值为的值为 ，. .。(3) 伸缩率为处的旋转角为映射w = z3 - z在z = i .。 ，. (4) 在

2、区域D内解析的函数 .。充要条件为2022/8/203(7) .。(5) 在 z0 = 1+i处展开成泰勒级数的 .。收敛半径为(6) z = 0 是(何种类型的奇点)。 . 的(8) ，已知 .。求2022/8/204四、计算下列各题： 2. 3. 4. 1.二、验证z 平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是。三、将函数在与洛朗级数。处展开为2022/8/205五、求区域在映射下的像。八、设函数在上解析，证明：七、用拉氏变换求解方程：六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。i-i2022/8/206二、验证z 平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是。故 u(x,y)

3、为调和函数(1)解:(2) 方法一2022/8/207二、验证z 平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是。解:故 u(x,y) 为调和函数(1)(2) 方法二2022/8/208三、将函数在与洛朗级数。处展开为解:(1) 在 z=1 处122022/8/209三、将函数在与洛朗级数。处展开为解:(2) 在 z=2 处122022/8/2010四、 1.解:方法一: 利用留数求解 z=0 为二级极点,方法二: 利用高阶导数公式求解2022/8/2011四、 2. 解: z=1 为本性奇点,2022/8/2012四、 3. 解:2022/8/2013四、 4. 解:2022/8/2014五

4、、求区域在映射下的像。解:(z)(w)010ii/21+i(1+i)/2i212022/8/2015六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。i-i(z)(w)(z2)(z1)2022/8/2016七、用拉氏变换求解方程：(1) 对方程两边取拉氏变换得：解：2022/8/2017(2) 求拉氏逆变换方法一：利用部分分式求解2022/8/2018(2) 求拉氏逆变换方法二：利用留数求解一阶极点二阶极点，2022/8/20192022/8/2020八、设函数在上解析，证明：证明：(1) 奇点由于(2) 左边=2022/8/2021 (7) 0;(8) 一、(1) 1,; (2) (5) ; (4) u,v 在D内可微，且满足CR方程 (3) ,4; (6) 可去奇点2022/8/2022(1) 预处理：使边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。一般步骤：(2) 将边界的一个交点z1映射为，(3) 将角形域或者带形域映射为上半平面。(4) 将上半平面映射为单位圆。工具：几种简单的分式映射、幂函数等。另一个(交)点z2映射为0从而将区域映射为角形域或者带形域。工具： 工具： (对于角形域)(对于带形域)工具： (无附加条件)(由附加条件确定0 ,z0)2022/8/2023 先通过Laplace变换将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)，由代数方程求出象函数