行列式-高等代数(线性代数)

1、矢量矢量（ HYPERLINK /wiki/%E6%8B%89%E4%B8%81%E8%AF%AD o 拉丁语 拉丁语:Vector）是 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6 o 数学 数学、 HYPERLINK /wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6 o 物理学 物理学和 HYPERLINK /wiki/%E5%B7%A5%E7%A8%8B%E5%AD%A6 o 工程学 工程科学等多个 HYPERLINK /wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E7%A7%91%E5%AD%B8 o 自然科学 自然科学中的基本概念，指一个

2、同时具有大小和 HYPERLINK /wiki/%E6%96%B9%E5%90%91 o 方向 方向的 HYPERLINK /wiki/%E5%87%A0%E4%BD%95 o 几何 几何对象，因常常以箭头符号标示以区别于其它量而得名。直观上，矢量通常被标示为一个带箭头的线段（如右图）。线段的长度可以表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭头所指的方向。物理学中的 HYPERLINK /wiki/%E4%BD%8D%E7%A7%BB o 位移 位移、 HYPERLINK /wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6 o 速度 速度、 HYPERLINK /wiki/%E5%8A%9B o 力

3、力、 HYPERLINK /wiki/%E5%8B%95%E9%87%8F o 动量 动量、 HYPERLINK /wiki/%E7%A3%81%E7%9F%A9 o 磁矩 磁矩、 HYPERLINK /wiki/%E7%94%B5%E6%B5%81%E5%AF%86%E5%BA%A6 o 电流密度 电流密度等，都是矢量。与矢量概念相对的是只有大小而没有方向的 HYPERLINK /wiki/%E6%A0%87%E9%87%8F o 标量 标量。在 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6 o 数学 数学中，矢量也常称为向量，即有方向的量。并采用更为抽象的 HYPE

4、RLINK /wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4 o 矢量空间 矢量空间（也称为线性空间）来定义，而定义具有物理意义上的大小和方向的向量概念则需要引进了 HYPERLINK /wiki/%E8%8C%83%E6%95%B0 o 范数 范数和 HYPERLINK /wiki/%E5%86%85%E7%A7%AF o 内积 内积的 HYPERLINK /wiki/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%A9%BA%E9%97%B4 o 欧几里得空间 欧几里得空间表示方法在文字表述时，如果已知矢量的起点和终点分别

5、是A和B，那么这个矢量可以记为。如果是为了和其他量区别，则在符号顶上加上箭头表示矢量，如。注：过往在排版过程中，要在字母上加上箭头比较困难，不像手写那么容易。所以在以往的书本印刷中，矢量多数会用粗体字母表示，如，但这样做却增加了阅读困难，因为要区分是否粗体字有时不容易，例如和肉眼看很易混淆。但随着时代和技术进步，在加上电脑辅助排版，为求清楚明确起见，书籍中用粗体字母代表矢量的情况也越来越少了。矢量的直观图形表示则一般使用带箭头的线段。而遇到某些特殊情况需要表示与记载纸面垂直的矢量，则会使用圆圈中打叉或打点的方式来表示（如右图）。圆圈中带点的记号（）表示由纸下方指向纸上方的矢量，而圆圈中带叉的记

6、号（）则表示由纸的上方指向纸下方的矢量。由于这种记号不表示矢量的大小，所以必须时需要在旁边或其它地方另外注明。在直角坐标系中，定义有若干个特殊的基本矢量，其它的矢量可以通过这些基本矢量来表示。在常见的三维空间直角坐标系Oxyz里，基本矢量就是以横轴（Ox）、竖轴（Oy） 以及纵轴（Oz） 为方向的三个 HYPERLINK /wiki/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%90%91%E9%87%8F o 单位矢量 单位矢量、。这三个矢量取好以后，其它的矢量就可以通过三元 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E7%BB%84 o 数组 数组来表示，因为它们可以表示成一定倍数

7、的三个基本矢量的总合。比如说一个标示为(2,1,3)的矢量就是2个矢量加上1个矢量加上3个矢量得到的矢量。在进行 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%99%A3 o 矩阵 矩阵运算时，矢量也可以表达成 HYPERLINK /wiki/%E5%88%97%E5%90%91%E9%87%8F o 列矢量 列矢量和 HYPERLINK /wiki/%E8%A1%8C%E5%90%91%E9%87%8F o 行矢量 行矢量（如下例）。简介物理学和一般的几何学中涉及的矢量概念严格意义上应当被称为欧几里得矢量或几何矢量，因为它们的定义是建立在通常所说的 HYPERLINK /wiki

8、/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%A9%BA%E9%97%B4 o 欧几里得空间 欧几里得空间上的。按照定义，欧几里得矢量由大小和方向构成。在 HYPERLINK /wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0 o 线性代数 线性代数中，矢量是所谓 HYPERLINK /wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4 o 矢量空间 矢量空间中的基本构成元素。矢量空间是基于物理学或几何学中的空间概念而形成的一个抽象概念，是满足一系列法则的元素的集合。欧几里得空间便是线性空间的

9、一种。矢量空间中的元素就可以被称为矢量，而欧几里得矢量则是特指欧几里得空间中的矢量。在一些上下文中，会假设矢量有确定的起点和终点，当起点和终点改变后，构成的矢量就不再是原来的矢量。这样的矢量也被称为固定矢量。在另一些时候，会认为矢量的起点和终点并不那么重要。两个起点不一样的矢量，只要大小相等，方向相同，就可以称为是同一个矢量。这样的矢量被称为自由矢量。在数学中，一般只研究自由矢量。一些文献中会提到矢量空间带有一个特定的 HYPERLINK /wiki/%E5%8E%9F%E9%BB%9E o 原点 原点，这时可能会默认矢量的起点是原点。 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A2%E9

10、%87%8F l cite_note-1 1基本性质矢量的大小是相对的，在有需要时，会规定单位矢量，以其长度作为1。每个方向上都有一个单位矢量 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F l cite_note-yzg-2 2。矢量之间可以如数字一样进行运算。常见的矢量运算有： HYPERLINK /wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95 o 加法 加法， HYPERLINK /wiki/%E5%87%8F%E6%B3%95 o 减法 减法，数乘矢量以及矢量之间的 HYPERLINK /wiki/%E4%B9%98%E6%B3%95 o 乘法 乘法（ HYPE

11、RLINK /wiki/%E6%95%B0%E9%87%8F%E7%A7%AF o 数量积 数量积和 HYPERLINK /wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A7%AF o 矢量积 矢量积）。加法与减法矢量的加法满足 HYPERLINK /wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%9B%9B%E9%82%8A%E5%BD%A2%E6%81%86%E7%AD%89%E5%BC%8F o 平行四边形恒等式 平行四边形法则和 HYPERLINK /wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F o 三角不等式 三角

12、形法则。具体地，两个矢量和相加，得到的是另一个矢量。这个矢量可以表示为和的起点重合后，以它们为邻边构成的平行四边形的一条对角线（以共同的起点为起点的那一条，见下图左），或者表示为将的终点和的起点重合后，从的起点指向的终点的矢量：两个矢量和的相减，则可以看成是矢量加上一个与大小相等，方向相反的矢量。又或者，和的相减得到的矢量可以表示为和的起点重合后，从的终点指向的终点的矢量：当这两个矢量数值、方向都不同，基本矢量时，矢量和计算为并且有如下的 HYPERLINK /wiki/%E4%B8%8D%E7%AD%89 o 不等 不等关系：此外，矢量的加法也满足 HYPERLINK /wiki/%E4%B

13、A%A4%E6%8D%A2%E5%BE%8B o 交换律 交换律和 HYPERLINK /wiki/%E7%BB%93%E5%90%88%E5%BE%8B o 结合律 结合律。 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F l cite_note-yzg-2 2反矢量和零矢量与 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%97 o 数字 数字一样，一个矢量也有反矢量。一个矢量的反矢量与它大小相等，但方向相反，一般记作。如果矢量是矢量的反矢量，那么也是的反矢量 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F l cite_note

14、-yzg-2 2。零矢量是指大小为零的矢量。零矢量实质上是起点与终点重合的矢量，它的方向是不确定的，可以根据需要假设其方向。两个反矢量的和就是零矢量 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F l cite_note-yzg-2 2。标量乘法一个标量k和一个矢量之间可以做乘法，得出的结果是另一个与方向相同或相反，大小为的大小的k倍的矢量，可以记成 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F l cite_note-yzg-2 2。-1乘以任意矢量会得到它的反矢量，0乘以任何矢量都会得到零矢量。数量积主条目： HYPERLINK /wiki/%

15、E6%95%B0%E9%87%8F%E7%A7%AF o 数量积 数量积 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E9%87%8F%E7%A7%AF o 数量积 数量积也叫点积、内积，它是矢量与矢量的乘积，其结果为一个标量。几何上，数量积可以定义如下：设、为两个任意矢量，它们的夹角为，则他们的数量积为： HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F l cite_note-tongji-3 3数量积被广泛应用于物理中，如做功就是用力的矢量点乘位移的矢量，即。矢量积主条目： HYPERLINK /wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A7%AF

16、 o 矢量积 矢量积 HYPERLINK /wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A7%AF o 矢量积 矢量积也叫 HYPERLINK /wiki/%E5%8F%89%E7%A7%AF o 叉积 叉积， HYPERLINK /wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%8D o 矢量积 矢量积，外积，它也是矢量与矢量的乘积，不过需要注意的是，它的结果是个矢量，但由于其结果是由坐标系确定，所以其结果被称为伪矢量。设有矢量、，则其矢量积的矩阵表达式可写作：混合积主条目： HYPERLINK /wiki/%E6%B7%B7%E5%90%88%E7%A7%AF o 混

17、合积 混合积三个矢量、和的混合积定义为：线性相关性对于m个矢量，如果存在一组不为零的m个数、，使得，那么，称m个矢量， HYPERLINK /wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%9B%B8%E5%85%B3 o 线性相关 线性相关。如果这样的m个数不存在，即上述矢量等式仅当= = 0时才能成立，就称矢量， HYPERLINK /wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%97%A0%E5%85%B3 o 线性无关 线性无关。 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F l cite_note-4 4矢量与基矢量空间分为有限 HYPERLIN

18、K /wiki/%E7%B6%AD%E5%BA%A6 o 维度 维矢量空间与无限维矢量空间。在有限维矢量空间中，可以找到一组（有限个）矢量，使得任意一个矢量都可以唯一地表示成这组矢量的线性组合：其中的标量是随着矢量而确定的。这样的一组矢量称为矢量空间的基。给定了矢量空间以及一组基后，每个矢量就可以用一个数组来表示了 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F l cite_note-5 5。两个矢量和相同，当且仅当表示它们的数组一样。两个矢量和的和：它们的数量积为： HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F l cite_note-tong

19、ji-3 3而标量k与矢量v的乘积则为： HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F l cite_note-tongji-3 3矢量的模长主条目： HYPERLINK /wiki/%E8%8C%83%E6%95%B0 o 范数 范数矢量的大小也叫做范数或模长，记作。有限维空间中，已知矢量的坐标，就可以知道它的模长： HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F l cite_note-tongji-3 3矩阵 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B8%E5%AD%B8 o 数学 数学上，一个mn的矩阵是一个由m行n列元素排列成的 H

20、YPERLINK /wiki/%E7%9F%A9 o 矩 矩形阵列。矩阵里的元素可以是 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B8 o 数 数字、 HYPERLINK /wiki/%E7%AC%A6%E5%8F%B7 o 符号 符号或数学式。以下是一个由6个数字符素构成的2行3列的矩阵：大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵的乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。矩阵的乘法满足 HYPERLINK /wiki/%E7%BB%93%E5%90%88%E5%BE%8B o 结合律 结合律和 HYPE

21、RLINK /wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E5%BE%8B o 分配律 分配律，但不满足 HYPERLINK /wiki/%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%BE%8B o 交换律 交换律。矩阵的一个重要用途是解 HYPERLINK /wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84 o 线性方程组 线性方程组。线性方程组中未知量的 HYPERLINK /wiki/%E7%B3%BB%E6%95%B0 o 系数 系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示 HYPERLINK /wiki/

22、%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2 o 线性变换 线性变换，即是诸如之类的 HYPERLINK /wiki/%E7%B7%9A%E6%80%A7%E5%87%BD%E6%95%B8 o 线性函数 线性函数的推广。设定 HYPERLINK /wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95 o 基底 基底后，某个向量v可以表示为m1的矩阵,而线性变换f可以表示为行数为m的矩阵R，使得经过变换后得到的向量f(v)可以表示成Rv的形式。矩阵的 HYPERLINK /wiki/%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC o 特征值 特征值和 HYPERL

23、INK /wiki/%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%90%91%E9%87%8F o 特征向量 特征向量可以揭示线性变换的深层特性。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于 HYPERLINK /wiki/%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%AD%A6 o 统计学 统计分析等 HYPERLINK /wiki/%E5%BA%94%E7%94%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6 o 应用数学 应用数学学科中。在 HYPERLINK /wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6 o 物理学 物理学中，矩阵于 HYPERLINK /wiki/%E7%94%

24、B5%E8%B7%AF%E5%AD%A6 o 电路学 电路学、 HYPERLINK /wiki/%E5%8A%9B%E5%AD%A6 o 力学 力学、 HYPERLINK /wiki/%E5%85%89%E5%AD%A6 o 光学 光学和 HYPERLINK /wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6 o 量子力学 量子物理中都有应用； HYPERLINK /wiki/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E7%A7%91%E5%AD%A6 o 计算机科学 计算机科学中， HYPERLINK /wiki/%E4%B8%89%E7%B6

25、%AD%E5%8B%95%E7%95%AB o 三维动画 三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%88%86%E6%9E%90 o 数值分析 数值分析领域的重要问题。将 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%88%86%E8%A7%A3 o 矩阵分解 矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如 HYPERLINK /wiki/%E7%A8%80%E7%96%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 稀疏矩阵 稀疏矩阵和

26、 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%87%86%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%9F%A9%E9%98%B5&action=edit&redlink=1 o 准对角矩阵（页面不存在） 准对角矩阵，有特定的快速运算 HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%B3%95 o 算法 算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%99%A3%E7%90%86%E8%AB%96 o 矩阵理论 矩阵理论。在 HYPERLINK /wiki/%E5%A4%A9%E4%BD%93%E7%89%A9

27、%E7%90%86%E5%AD%A6 o 天体物理学 天体物理、 HYPERLINK /wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6 o 量子力学 量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。译名矩阵的概念最早于1922年见于中文。1922年， HYPERLINK /w/index.php?title=%E7%A8%8B%E5%BB%B7%E7%86%99&action=edit&redlink=1 o 程廷熙（页面不存在） 程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在科学第十卷第四期刊登的审定名词表中

28、，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的数学名词（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学名词加以校订的算学名词汇编中，认为应当的译名是“长方阵”。中华人民共和国成立后编订的数学名词中，则将译名定为“（矩）阵”。1993年，中国自然科学名词审定委员会公布的数学名词中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_n

29、ote-hist-1 1。定义将一些元素排列成若干行，每行放上相同数量的元素，就是一个矩阵。这里说的元素可以是数字，例如以下的矩阵：排列成的形状是矩形，所以称为矩阵。在 HYPERLINK /wiki/%E4%B8%AD%E5%9C%8B%E5%A4%A7%E9%99%B8 o 中国大陆 中国大陆，横向的元素组称为“行”，纵向称为“列”，而在 HYPERLINK /wiki/%E5%8F%B0%E7%81%A3 o 台湾 台湾则相反，横向称为“列”，纵向称为“行” HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-zjh-2 2。矩阵一般用大写 HY

30、PERLINK /wiki/%E6%8B%89%E4%B8%81%E5%AD%97%E6%AF%8D o 拉丁字母 拉丁字母表示，需要具体写出其中元素时，一般用方括号或圆括号括起。以上的矩阵A是一个4行3列的矩阵。行数是1或列数是1的矩阵又可分别称为行向量和列向量。这是因为一个 HYPERLINK /wiki/%E5%90%91%E9%87%8F o 向量 向量可以表示成行数或列数是1的矩阵形式。矩阵的任一行（列）都是一个行（列）向量，例如矩阵A的第一行就是一个行向量。行（列）向量可以看成一个向量，因此可以称矩阵的两行（列）相等，或者某一行等于某一列，表示其对应的向量相等。标记一个矩阵A从左上

31、角数起的第i行第j列上的元素称为第i,j项，通常记为、或。在上述例子中。如果不知道矩阵A的具体元素，通常也会将它记成或。反之，如果A的元素可以写成只与其行数i和列数j有关的统一函数f，那么也可以用作为A的简写。例如是矩阵的简写。要注意的是，一些计算机编程语言中，会将第1行（列）称为第0行（列），从而对矩阵的写法产生影响，比如矩阵B就要改写成。矩阵的元素可以是数字、符号或数学表达式。一般为了支持矩阵的运算，矩阵的元素之间应当能做加减法和乘法，所以是某个 HYPERLINK /wiki/%E7%8E%AF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) o 环 (数学) 环里的元素。最常见的是元素属于

32、HYPERLINK /wiki/%E5%AE%9E%E6%95%B0 o 实数 实数域或 HYPERLINK /wiki/%E5%A4%8D%E6%95%B0 o 复数 复数域的矩阵，简称为实矩阵和复矩阵。更一般的情况下，矩阵的元素可以是由一个 HYPERLINK /wiki/%E7%8E%AF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) o 环 (数学) 环中的元素排成。 给定一个 HYPERLINK /wiki/%E7%8E%AF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) o 环 (数学) 环R，所有由R中元素排成的mn矩阵的 HYPERLINK /wiki/%E9%9B%86%E5%90%

33、88 o 集合 集合写作或。若m=n，则通常记以或，称其为n维矩阵或 HYPERLINK /wiki/%E6%96%B9%E5%9D%97%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 方块矩阵 方阵。矩阵的基本运算主条目： HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%8A%A0%E6%B3%95 o 矩阵加法 矩阵加法、 HYPERLINK /wiki/%E8%BD%AC%E7%BD%AE%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 转置矩阵 转置矩阵和 HYPERLINK /wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 初等矩

34、阵 初等矩阵矩阵的最基本运算包括矩阵加（减）法，数乘和转置运算。被称为“矩阵加法”、“数乘”和“转置”的运算不止一种 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-3 3，其中最基本最常用的定义如下：运算定义例子加（减）法mn矩阵A和B的和（差）：AB为一个mn矩阵，其中每个元素是A和B相应元素的和（差），(AB)i,j=Ai,jBi,j，其中 1 im, 1 jn.数乘标量c与矩阵A的数乘：cA的每个元素是A的相应元素与c的乘积，(cA)i,j=cAi,j.转置mn矩阵A的转置是一个nm的矩阵，记为AT（有些书中也记为Atr或tA、A），其中的

35、第i个行向量是原矩阵A的第i个列向量；或者说，转置矩阵AT第i行第j列的元素是原矩阵A第j行第i列的元素，(AT)i,j=Aj,i.矩阵的加法运算满足交换律：A+B=B+A HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-4 4。矩阵的转置和数乘运算对加法满足分配律：(A+B)T=AT+BTc(A+B)=cA+cB矩阵加法和数乘两种运算使得成为一个mn维的实数 HYPERLINK /wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%A9%BA%E9%97%B4 o 线性空间 线性空间。而转置和数乘运算满足类似于结合律的规律：c(AT)=(cA)

36、T矩阵也有类似行列式的 HYPERLINK /wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 初等矩阵 初等变换，即对矩阵的某些行和某些列进行三类操作：交换两行（列），将一行（列）的每个元素都乘以一个固定的量，以及将一行（列）的每个元素乘以一个固定的量之后加到另一行（列）的相应元素上。这些操作在求 HYPERLINK /wiki/%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 逆矩阵 矩阵的逆之时有用。矩阵乘法主条目： HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95 o 矩阵乘法 矩阵

37、乘法矩阵A和B相乘得到AB的示意图两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是mn矩阵和B是np矩阵，它们的乘积AB是一个mp矩阵，它的一个元素其中 1 im, 1 jp HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-5 5。例如矩阵的乘法满足结合律和对矩阵加法的分配律（左分配律和右分配律）：结合律：(AB)C=A(BC),左分配律： (A + B)C=AC+BC,右分配律：C(A + B) =CA+CB.矩阵的乘法与数乘运算之间也满足类似结合律的规律；与转置之间则满足倒置的分配律。c(AB) =(cA)B=A(

38、cB)(AB)T=BTAT矩阵乘法不满足 HYPERLINK /wiki/%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%BE%8B o 交换律 交换律。一般来说，矩阵A及B的乘积AB存在，但BA不一定存在，即使存在，大多数时候ABBA。比如下面的例子：这一特性使得矩阵代数与常见的一些数域（有理数、实数、复数）以及环（ HYPERLINK /wiki/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E7%8E%AF o 多项式环 多项式环、整数环）都不同。给定一个n维的方块矩阵A，与A交换的所有方块矩阵构成一个环，称为A的交换子环。这些矩阵也构成的一个子空间，称为A的可交换空间 HYPER

39、LINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-6 6。与中所有矩阵交换的矩阵只有形如的矩阵（称为数乘矩阵）。其中的是 HYPERLINK /wiki/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 单位矩阵 单位矩阵，也就是主对角线上的元素为1，其它元素为0的矩阵。任意矩阵M乘以单位矩阵都得到自身：。除了最常见的矩阵乘法定义以外，也有一些较不常见的矩阵乘法，比如 HYPERLINK /w/index.php?title=%E9%98%BF%E8%BE%BE%E9%A9%AC%E4%B9%98%E7%A7%AF&action=e

40、dit&redlink=1 o 阿达马乘积（页面不存在） 阿达马乘积和 HYPERLINK /wiki/%E5%85%8B%E7%BE%85%E5%85%A7%E5%85%8B%E4%B9%98%E7%A9%8D o 克罗内克乘积 克罗内克乘积 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-7 7。线性方程组主条目： HYPERLINK /wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84 o 线性方程组 线性方程组矩阵乘法的一个基本应用是在线性方程组上。线性方程组是 HYPERLINK /wik

41、i/%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84 o 方程组 方程组的一种，它符合以下的形式：其中的以及等等是已知的常数，而等等则是要求的未知数。运用矩阵的方式，可以将线性方程组写成一个向量方程：其中，A是由方程组里未知量的系数排成的mn HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%99%A3 o 矩阵 矩阵，x是含有n个元素的行向量，b是含有m个元素的行向量 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-8 8。这个写法下，将原来的多个方程转化成一个向量方程，在已知矩阵和向量的情况下，求未知向量。线性变换主条目： HYP

42、ERLINK /wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2 o 线性变换 线性变换矩阵是线性变换的便利表达法。矩阵乘法的本质在联系到线性变换的时候最能体现，因为矩阵乘法和线性变换的合成有以下的连系： 以表示所有长度为n的行向量的集合。每个mn的矩阵A都代表了一个从射到的线性变换。反过来，对每个线性变换，都存在唯一mn矩阵使得对所有中的元素x，。这个矩阵第i行第j列上的元素是 HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%AD%A3%E5%88%99%E5%9F%BA&action=edit&redlink=1 o 正则基（页面不存在）

43、 正则基向量（第j个元素是1，其余元素是0的向量）在f映射后的向量的第i个元素。也就是说，从射到的线性变换构成的向量空间上存在一个到的 HYPERLINK /wiki/%E5%8F%8C%E5%B0%84 o 双射 一一映射：以下是一些典型的2维实平面上的线性变换对平面向量（图形）造成的效果，以及它们对应的2维矩阵。其中每个线性变换将蓝色图形映射成绿色图形；平面的原点(0, 0)用黑点表示。 HYPERLINK /wiki/%E9%94%99%E5%88%87 o 错切 水平错切变换，幅度m=1.25.水平 HYPERLINK /wiki/%E5%8F%8D%E5%B0%84 o 反射 反射变

44、换“ HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%8C%A4%E5%8E%8B&action=edit&redlink=1 o 挤压（页面不存在） 挤压”变换，压缩程度r=3/2 HYPERLINK /wiki/%E7%9B%B8%E4%BC%BC o 相似 放缩变换，3/2倍 HYPERLINK /wiki/%E6%97%8B%E8%BD%AC o 旋转 旋转变换，左转30设有km的矩阵B代表线性变换g:Rm-Rk，则矩阵积BA代表了线性变换的复合gof HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-9 9，因为(gf)(

45、x) =g(f(x) =g(Ax) =B(Ax) = (BA)x HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E7%A7%A9 o 矩阵的秩 矩阵的秩是指矩阵中 HYPERLINK /wiki/%E7%B7%9A%E6%80%A7%E7%9B%B8%E9%97%9C%E6%80%A7 o 线性相关性 线性无关的行（列）向量的最大个数 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-10 10，同时也是矩阵对应的线性变换的 HYPERLINK /wiki/%E5%83%8F o 像 像空间的维度 HYPER

46、LINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-11 11。 HYPERLINK /wiki/%E7%A7%A9%EF%BC%8D%E9%9B%B6%E5%8C%96%E5%BA%A6%E5%AE%9A%E7%90%86 o 秩零化度定理 秩零化度定理说明矩阵的列数量等于矩阵的秩与 HYPERLINK /wiki/%E9%9B%B6%E7%A9%BA%E9%97%B4 o 零空间 零空间维度之和 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-12 12方块矩阵主条目： HYPERLINK /wiki/%E6%9

47、6%B9%E5%9D%97%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 方块矩阵 方块矩阵行数与列数相同的矩阵称为方块矩阵，简称方阵。所有n维的方块矩阵构成一个线性空间，这个空间对矩阵乘法也是封闭的，因此也是一个代数。方阵A称为 HYPERLINK /wiki/%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 逆矩阵 可逆或非奇异的，如果存在另一个方阵B，使得AB=In成立。这时候可以证明也有BA=In成立 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-13 13，可将矩阵B称为A的逆矩阵 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9

48、%E9%98%B5 l cite_note-14 14。一个矩阵A的逆矩阵如果存在的话，就是唯一的，通常记作A1。矩阵A的元素Ai,i称为其主对角线上的元素。方块矩阵A的所有主对角线元素之和称为它的 HYPERLINK /wiki/%E8%BF%B9 o 迹 迹，写作tr(A)。尽管矩阵的乘法不满足交换律，方阵相乘时交换顺序会导致乘积变化，但它们的迹不会变，即tr(AB) = tr(BA) HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-15 15。除此以外，矩阵转置的迹等于其自身的迹，tr(A) = tr(AT)。如果一个方阵只有主对角线上的元素

49、不是0，其它都是0，那么称其为 HYPERLINK /wiki/%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 对角矩阵 对角矩阵。如果主对角线上方的元素都是0，那么称为下 HYPERLINK /wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 三角矩阵 三角矩阵；反之如果主对角线下方的元素都是0，那么称为上三角矩阵。例如n= 3的时候，这些矩阵分别写作：（对角矩阵），（下三角矩阵）和（上三角矩阵）。行列式主条目： HYPERLINK /wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F o 行列式 行列式R2里

50、的一个线性变换f将蓝色图形变成绿色图形，面积不变，而顺时针排布的向量x1和x2的变成了逆时针排布。对应的矩阵行列式是-1.方块矩阵A的行列式是一个将其映射到标量的函数，记作 det(A) 或 |A|，反映了矩阵自身的一定特性。一个方阵的行列式等于0当且仅当该方阵不可逆。系数是实数的时候，二维（三维）方阵A的行列式的 HYPERLINK /wiki/%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC o 绝对值 绝对值表示单位面积（体积）的图形经过A对应的线性变换后得到的图形的面积（体积），而它的正负则代表了对应的线性变换是否改变空间的定向：行列式为正说明它保持空间定向，行列式为负则说明它逆

51、转空间定向。22矩阵的行列式是33矩阵的行列式由6项组成。更高维矩阵的行列式则可以使用 HYPERLINK /w/index.php?title=%E8%8E%B1%E5%B8%83%E5%B0%BC%E5%85%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1 o 莱布尼兹公式（页面不存在） 莱布尼兹公式写出 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-16 16，或使用 HYPERLINK /wiki/%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E5%B1%95%E5%BC%

52、80 o 拉普拉斯展开 拉普拉斯展开由低一维的矩阵行列式 HYPERLINK /wiki/%E8%BF%AD%E4%BB%A3 o 迭代 递推得出 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-17 17。两个矩阵相乘，乘积的行列式等于它们的行列式的乘积：det(AB) = det(A)det(B) HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-18 18。将矩阵的一行（列）乘以某个系数加到另一行（列）上不改变矩阵的行列式，将矩阵的两行（列）互换则使得其行列式变号 HYPERLINK /wiki/%

53、E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-19 19。用这两种操作可以将矩阵变成一个上三角矩阵或下三角矩阵，而后两种矩阵的行列式就是主对角线上元素的乘积，因此能方便地计算。运用行列式可以计算线性方程组的解（见 HYPERLINK /wiki/%E5%85%8B%E8%90%8A%E5%A7%86%E6%B3%95%E5%89%87 o 克莱姆法则 克莱姆法则） HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-20 20。特征值与特征向量主条目： HYPERLINK /wiki/%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%90%91

54、%E9%87%8F o 特征向量 特征向量nn的方块矩阵A的一个特征值和对应特征向量是满足 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-21 21的标量以及非零向量。特征值和特征向量的概念对研究线性变换很有帮助。一个线性变换可以通过它对应的矩阵在 HYPERLINK /wiki/%E5%90%91%E9%87%8F o 向量 向量上的作用来可视化。一般来说，一个向量在经过映射之后可以变为任何可能的向量，而特征向量具有更好的性质 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-22 22。假设在给定的

55、基底下，一个线性变换对应着某个矩阵A，如果一个向量可以写成矩阵的几个特征向量的线性组合：其中的表示此向量对应的特征值是，那么向量经过线性变换后会变成：可以清楚地知道变换后向量的结构。另一个等价的特征值定义是：标量为特征值，如果矩阵是不可逆矩阵。根据不可逆矩阵的性质，这个定义也可以用行列式方程描述：为特征值，如果 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-23 23这个定义中的行列式可以展开成一个关于的n阶 HYPERLINK /wiki/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F o 多项式 多项式，叫做矩阵A的 HYPERLIN

56、K /wiki/%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F o 特征多项式 特征多项式，记为。特征多项式是一个首一多项式（最高次项系数是1的多项式）。它的根就是矩阵A特征值 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-24 24。 HYPERLINK /wiki/%E5%87%B1%E8%90%8A%EF%BC%8D%E5%93%88%E5%AF%86%E9%A0%93%E5%AE%9A%E7%90%86 o 凯莱哈密顿定理 哈密尔顿凯莱定理说明，如果用矩阵A本身代替多项式中的不定元，那么多项式的

57、值是零矩阵 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-25 25：对称主条目： HYPERLINK /wiki/%E5%B0%8D%E7%A8%B1%E7%9F%A9%E9%99%A3 o 对称矩阵 对称矩阵转置等于自己的矩阵，即满足A=AT的方块矩阵A叫做 HYPERLINK /wiki/%E5%B0%8D%E7%A8%B1%E7%9F%A9%E9%99%A3 o 对称矩阵 对称矩阵。满足A= -AT的矩阵称为 HYPERLINK /wiki/%E5%8F%8D%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 反

58、对称矩阵 反对称矩阵。在复系数矩阵中，则有 HYPERLINK /wiki/%E5%9F%83%E5%B0%94%E7%B1%B3%E7%89%B9%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 埃尔米特矩阵 埃尔米特矩阵的概念：满足A=A*的方块矩阵称为埃尔米特矩阵，其中的A*表示A的 HYPERLINK /wiki/%E5%85%B1%E8%BD%AD%E8%BD%AC%E7%BD%AE o 共轭转置 共轭转置矩阵。根据 HYPERLINK /wiki/%E8%B0%B1%E5%AE%9A%E7%90%86 o 谱定理 谱定理，实对称矩阵和复埃尔米特矩阵拥有特征基，即由矩阵的特征向量组成的基底。

59、因此任何向量都能表示成矩阵特征向量的线性组合。此外，这两类矩阵的特征值都是实数 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-26 26。正定性矩阵表达式正定性不定矩阵正定矩阵对应二次型取值图像说明正定矩阵对应的二次型的取值范围永远是正的，不定矩阵对应的二次型取值则可正可负主条目： HYPERLINK /wiki/%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5 o 正定矩阵 正定矩阵nn的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量xRn，对应的 HYPERLINK /wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%9E%8

60、B o 二次型 二次型Q(x) =xTAx函数值都是正数，就称A为正定矩阵。类似地还有半正定矩阵、负定矩阵、不定矩阵等概念 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-27 27。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数 HYPERLINK /wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 l cite_note-28 28。矩阵的计算矩阵在许多学科领域中都有应用，在很多时候，除了需要知道矩阵的理论性质以外，还需要计算矩阵的数值。为了矩阵的计算能够足够精确与快捷， HYPERLINK /wiki/%E6%95%B