考数学分类汇编：圆的综合题

1、2013 中考全国 100 份试卷分类汇编圆的综合题1、（ 2013?温州）在 ABC 中， C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点AB，A，C 作，如图所示若BAB=4 ，AC=2 ，S1 S2=C，则 S3 S4 的值是（）D考点：圆的认识分析：首先根据 AB 、AC 的长求得 S1+S3 和 S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论解答：解： AB=4 ，AC=2 ， S1+S3=2，S2+S4=， S1 S2=，（S1+S3）（S2+S4）=（S1 S2） +（S3 S4）= S3 S4= ，故选 DS1+S3 和 S2+S4的值点评：本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的

2、表示出2、（ 2013?孝感）下列说法正确的是（）A平分弦的直径垂直于弦BC半圆（或直径）所对的圆周角是直角相等的圆心角所对的弧相等D若两个圆有公共点，则这两个圆相交考点：圆与圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理分析：利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可解答：解： A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D、两圆有两个公共点，两圆相交，故本选项错误，故选 B点评：本题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，

3、牢记这些定理是解决本题的关键3、（ 2013?温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ 与圆洞的切点K 到点 B 的距离及相关数据（单位：cm），从点 N 沿折线NF FM（NF BC，FM AB ）切割，如图1 所示图 2 中的矩形 EFGH 是切割后的两块木，则 CN，AM 的长分板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗）别是 18cm、31cm考点：圆的综合题分析：如图，延长OK 交线段 AB 于点 M 延长 PQ 交 BC 于点 G，交 FN 于

4、点 N 设圆孔， ，半径为 r在 RtKBG 中，根据勾股定理，得r=16（cm）根据题意知，圆心O 在 矩形 EFGH 的对角线上，则相关线段间的和差关系求得KN =AB=42cm ，OM =KM +r= CB=65cm 则根据图中CN=QG QN =44 26=18（cm），AM=BC PD KM =130 50 49=31（cm）解答： 解：如图，延长OK 交线段 AB 于点 M 延长 PQ 交 BC 于点 G，交 FN 于点 N， 设圆孔半径为r在 RtKBG 中，根据勾股定理，得2 2 2 2 2 2解得， r=16（cm）根据题意知，圆心O 在矩形 EFGH 的对角线上，则 = K

5、N AB=42cm ，OM =KM +r= CB=65cm QN =KN KQ=42 16=26（cm），KM =49（cm）， CN=QG QN =44 26=18（cm）， AM=BC PD KM =130 50 49=31（ cm），综上所述， CN，AM 的长分别是 18cm、31cm故填： 18cm、 31cm点评：本题以改造矩形桌面为载体，让学生在问题解决过程中，考查了矩形、直角三角形及圆等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了图形变换思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值4、（ 2013 四川宜宾）如图，AB 是O 的直径，弦 CD AB 于点 G，点 F

6、是 CD 上一点，且满足=，连接 AF 并延长交 O 于点 E，连接 AD、DE，若 CF=2，AF=3给出下列结论： ADF AED； FG=2； tan E=； S DEF =4其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理=，DG=CG，分析： 由 AB 是O 的直径，弦 CD AB，根据垂径定理可得：继而证得 ADF AED； 由=，CF=2，可求得 DF 的长，继而求得CG=DG=4，则可求得 FG=2； 由勾股定理可求得AG 的长，即可求得tan ADF 的值，继而求得tan E=； 首先求得 ADF 的面积，由相似三角形面积的比等于相似

7、比，即可求得ADE 的面积，继而求得SDEF =4解答：解： AB 是O 的直径，弦 CD AB，=，DG=CG， ADF = AED， FAD = DAE（公共角）， ADF AED；故 正确； =，CF=2， FD=6， CD=DF+CF=8， CG=DG=4， FG=CGCF=2；故 正确； AF=3，FG=2， AG=，=，在 RtAGD 中， tan ADG = tan E=；故 错误；=， DF =DG+FG=6， AD= SADF=DF ?AG= 6 =3 ADF AED，）2，=（=， SAED=7，； SDEF =SAED SADF=4故 正确故答案为： 点评：此题考查了相似

8、三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用5、(2013 年武汉 ) 如图，在平面直角坐标系中，ABC 是 O 的内接三角形， ABAC，点P 是 AB的中点，连接PA，PB， PC（1）如图，若 BPC60，求证： AC3AP；2425（2）如图，若 sinBPC，求 tanPAB的值解析：（1）证明：弧BC弧 BC， BAC BPC60 又 ABAC ， ABC 为等边三角形 ACB 60，点 P是弧 AB 的中点， ACP30，又 APC ABC 60， AC 3 AP（2）解：连接 AO 并延长交 PC 于

9、F，过点 E 作 EGAC 于 G，连接 OCABAC ， AF BC，BFCF点 P 是弧 AB 中点， ACP PCB， EG EF BPC FOC，sinFOCsin BPC=2425设 FC24a，则 OCOA 25a，OF7a，AF32aFCAC，224aCF在 RtAFC 中， AC 2AF 2+FC 2， AC 40aEG在 RtAGE 和 RtAFC 中， sinFAC AEEG24a， EG12a32a EG40aEF12a1tanPAB tanPCB=6、（ 2013?常州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A（6，0），点 B（0，6），动点 C 在以半径为 3 的O

10、上，连接 OC，过 O 点作 OD OC，OD 与 O 相交于点 D（其中点C、O、D 按逆时针方向排列） ，连接 AB（1）当 OC AB 时， BOC 的度数为 45或 135 ；（2）连接 AC，BC，当点 C 在O 上运动到什么位置时，ABC 的面积最大？并求出ABC 的面积的最大值（3）连接 AD ，当 OC AD 时， 求出点 C 的坐标； 直线 BC 是否为 O 的切线？请作出判断，并说明理由OP22CBA22OPCBAGABCPEOF2223718684考点：圆的综合题专题：综合题分析：（ 1）根据点 A 和点 B 坐标易得 OAB 为等腰直角三角形，则 OBA=45 ，由于O

11、C AB，所以当 C 点在 y 轴左侧时，有 BOC= OBA=45 ；当 C 点在 y 轴右侧时，有 BOC=180 OBA=135 ；（ 2）由 OAB 为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当O 点作 OE AB 于 E，OE 的反向点 C 到 AB 的距离最大时， ABC 的面积最大，过延长线交 O 于 C，CE 的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出此时 C 点到 AB 的距离的最大值为OE，然后计算 ABC 的面积；（ 3） 过 C 点作 CF x 轴于 F，易证 RtOCF RtAOD ，则=，即= ，解得 CF= ，再利用勾股定理计算出OF=，则可得到 C 点

12、坐标；，“ ， 由于 OC=3， OF= ，所以 COF=30 则可得到 BOC=60 ， AOD=60 ，然后根据 SAS”判断 BOC AOD ，所以 BCO= ADC=90 再根据切线的判定定理可确定直线 BC 为O 的切线解答：解：（ 1） 点 A（6，0），点 B（0，6）， OA=OB=6 ， OAB 为等腰直角三角形， OBA=45 ， OC AB ，当 C 点在 y 轴左侧时， BOC= OBA=45 ；当 C 点在 y 轴右侧时， BOC=180 OBA=135 ；（ 2） OAB 为等腰直角三角形， AB=OA=6，当点 C 到 AB 的距离最大时， ABC 的面积最大，过

13、 O 点作 OE AB 于 E，OE 的反向延长线交 O 于 C，如图，此时C 点到 AB 的距离的最大值为CE 的长， OAB 为等腰直角三角形， AB=OA=6， OE= AB=3， CE=OC+CE=3+3，ABC 的面积 = CE?AB=（3+3） 6=9+18当点 C 在O 上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，ABC 的面积最大，最大值为9+18，（ 3） 如图，过 C 点作 CF x 轴于 F， OC AD ， ADO= COD=90 DOA+ DAO=90 而 DOA+ COF=90， COF= DAO ， RtOCF RtAOD ，=，即= ，解得 CF= ，=，在 R

14、tOCF 中， OF= C 点坐标为（ ， ）；， ， 直线 BC 是 O 的切线理由如下：在 RtOCF 中， OC=3，OF= ， COF=30 OAD=30 ， BOC=60 AOD=60 在BOC 和AOD 中， BOC AOD （SAS）， BCO= ADC=90 OC BC ，直线 BC 为O 的切线点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算7、（ 2013?宜昌）半径为2cm 的与 O 边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，O 与 l 相切于点 F，DC 在 l 上（1）过点

15、 B 作的一条切线BE， E 为切点 填空：如图 1，当点 A 在 O 上时， EBA 的度数是 30； 如图 2，当 E，A，D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；（2）以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），M，N 分别是边 BC，AD 与O 的公共点，求扇形MON至边 BC 与 OF 重合时结束移动，的面积的范围考点：圆的综合题分析：（ 1） 根据切线的性质以及直角三角形的性质得出 EBA 的度数即可； 利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=，进而求OE =OA ?OB，出 OA 即可；，（ 2）设 MON=n 得出

16、 S 扇形MON= 22=n 进而利用函数增减性分析 当N，M， A 分别与 D，B，O 重合时， MN 最大， 当 MN=DC=2 时， MN 最小，分别求出即可解答：解：（ 1） 半径为 2cm 的与 O 边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同BE，E 为切点，侧，当点 A 在 O 上时，过点 B 作的一条切线 OB=4 ，EO=2， OEB=90， EBA 的度数是： 30； 如图 2，直线 l 与O 相切于点 F， OFD=90正方形 ADCB 中， ADC=90 OF AD ， OF=AD=2 ，四边形 OFDA 为平行四边形， OFD=90平行四边形 OFDA 为

17、矩形， DA AO，正方形 ABCD 中， DA AB ， O，A，B 三点在同一条直线上； EA OB， OEB= AOE ， EOA BOE ，=， OE2=OA ?OB， OA （2+OA ）=4， 1；解得： OA= 1 OA 0， OA=方法二：，在 RtOAE 中， cos EOA=在 RtEOB 中， cos EOB=，=，解得： OA= 1 OA 0， OA=， 1；方法三： OE EB，EA OB，由射影定理，得2 OA （2+OA ）=4，解得： OA= 1 OA 0， OA= 1；（ 2）如图 3，设 MON=n ，S 扇形MON= 22=n（cm2），S 随 n 的增大

18、而增大， MON 取最大值时， S 扇形MON最大，当 MON 取最小值时， S 扇形MON最小，过 O 点作 OK MN 于 K， MON=2 NOK ，MN=2NK ，在 RtONK 中， sin NOK=， NOK 随 NK 的增大而增大， MON 随 MN 的增大而增大，当 MN 最大时 MON 最大，当 MN 最小时 MON 最小， 当 N，M， A 分别与 D，B，O 重合时， MN 最大， MN=BD ， MON= BOD=90 ，S 扇形MON 最大=（cm2）， 当 MN=DC=2 时， MN 最小， ON=MN=OM ， NOM=60 ，S 扇形MON 最小=（cm2），S

19、 扇形 MON故答案为： 30点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形 MON 的面积的最大值与最小值是解题关键8、（ 2013?包头）如图，已知在ABP 中， C 是 BP 边上一点， PAC= PBA，O 是 ABC 的外接圆， AD 是O 的直径，且交BP 于点 E（1）求证： PA 是 O 的切线；（2）过点 C 作 CF AD ，垂足为点 F，延长 CF 交 AB 于点 G，若 AG ?AB=12 ，求 AC 的长；（3）在满足（ 2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求 O 的半径及 sin ACE 的值考点：圆的综合题3718

20、684分析：（ 1）根据圆周角定理得出 ACD=90 以及利用 PAC= PBA 得出 CAD+ PAC=90进而得出答案；（ 2）首先得出 CAG BAC ，进而得出 AC 2=AG?AB ，求出 AC 即可；（ 3）先求出 AF 的长，根据勾股定理得：AG=，即可得出 sin ADB=，利用 ACE= ACB= ADB ，求出即可解答：（ 1）证明：连接CD， AD 是O 的直径， ACD=90 ， CAD+ ADC=90 又 PAC= PBA， ADC= PBA， PAC= ADC ， CAD+ PAC=90， PA OA，而 AD 是O 的直径， PA 是O 的切线；（ 2）解：由（

21、1）知， PA AD ，又 CF AD ， CF PA， GCA= PAC，又 PAC= PBA， GCA= PBA，而 CAG= BAC ， CAG BAC ，=，即 AC 2=AG?AB， AG ?AB=12 ，2 AC=2；（ 3）解：设 AF=x ， AF：FD=1：2， FD=2x ， AD=AF+FD=3x ，在 RtACD 中， CF AD ， AC 2=AF ?AD ，即 3x2=12，解得； x=2， AF=2 ，AD=6 ， O 半径为 3，在 RtAFG 中， AF=2 ，GF=1，根据勾股定理得：AG=，由（ 2）知， AG?AB=12 ， AB=，连接 BD， AD

22、是O 的直径， ABD=90 ，在 RtABD 中， sin ADB=，AD=6 ， sin ADB=， ACE= ACB= ADB ， sin ACE=点评：此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出 AG 的长以及 AB 的长是解题关键9、（ 2013?荆门）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，点 M 是 BC 的中点， P是线段 MC 上的一个动点（不与M、C 重合），以 AB 为直径作 O，过点 P作 O 的切线，交 AD 于点F，切点为 E（1）求证： OF BE；（2）设 BP=x，AF=y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量x

23、的取值范围；（3）延长 DC、FP 交于点 G，连接 OE 并延长交直线DC 与 H（图 2），问是否存在点P，2）中 x 和 y 的值；使EFO EHG（E、F、 O 与 E、H、G 为对应点）？如果存在，试求（如果不存在，请说明理由 FQ +QP =PF考点：圆的综合题3718684分析：（ 1）首先证明 RtFAO RtFEO 进而得出 AOF= ABE，即可得出答案；（ 2）过 F 作 FQ BC 于 Q，利用勾股定理求出y 与 x 之间的函数关系，根据M 是BC 中点以及 BC=2 ，即可得出 BP 的取值范围；（ 3）首先得出当 EFO= EHG=2 EOF 时，即 EOF=30时

24、， RtEFORtEHG，求出 y=AF=OA ?tan30 =，即可得出答案解答：（ 1）证明：连接OEFE、FA 是O 的两条切线 FAO= FEO=90在 RtOAF 和 RtOEF 中， RtFAO RtFEO（HL）， AOF= EOF= AOE， AOF= ABE ， OF BE，（ 2）解：过 F 作 FQ BC 于 Q PQ=BP BQ=x yPF=EF+EP=FA+BP=x+y在 RtPFQ 中2 22 22+（x y）2=（x+y）2化简得：，（1x 2）；（ 3）存在这样的P 点，理由： EOF= AOF， EHG= EOA=2 EOF，当 EFO= EHG=2 EOF

25、时，即 EOF=30时， RtEFORtEHG，此时 RtAFO 中，y=AF=OA ?tan30 =当，时， EFO EHG点评：此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出FQ2+QP2=PF2 是解题关键10、（2013?莱芜）如图， O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交 O 于 C、D 两点，直径 AB CD，点 M 是直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点， AM 所在的直线交于 O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且PM=PN （1）当点 M 在O 内部，如图一，试判断PN 与O 的关系，并写出证明过程；（2）

26、当点 M 在O 外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理，由；（3）当点 M 在O 外部，如图三， AMO=15 求图中阴影部分的面积考点：圆的综合题分析：（ 1）根据切线的判定得出 PNO= PNM+ ONA= AMO+ ONA 进而求出即可；（ 2）根据已知得出 PNM+ ONA=90 ，进而得出 PNO=180 =90 可得出答案；90 即（ 3）首先根据外角的性质得出 AON=30 而利用扇形面积公式得出即可进解答：（ 1）PN 与O 相切证明：连接ON，wWw.xK b 1.c o M则 ONA= OAN ， PM=PN ， PNM= PMN AMO= PMN，

27、 PNM= AMO PNO= PNM+ ONA= AMO+ ONA=90 即 PN 与O 相切（ 2）成立证明：连接ON，90 ， 则 ONA= OAN ， PM=PN ， PNM= PMN 在 RtAOM 中， OMA+ OAM=90 ， PNM+ ONA=90 PNO=180 =90即 PN 与O 相切（ 3）解：连接 ON，由（ 2）可知 ONP=90 AMO=15 ，PM=PN ， PNM=15 OPN=30， PON=60 AON=30 作 NE OD，垂足为点 E，则 NE=ON ?sin60 =1=AON SCON=OC?OA+CO?NE1S 阴影 =SAOC+S 扇形= 1 1

28、+ =+点评：此题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识，熟练根据切线的判定得出对应角的度数是解题关键11、（2013?遂宁）如图，在 O 中，直径 AB CD，垂足为 E，点 M 在 OC 上， AM 的延长线交 O 于点 G，交过 C 的直线于 F， 1= 2，连结 CB 与 DG 交于点 N（1）求证： CF 是 O 的切线；（2）求证： ACM DCN；（3）若点 M 是 CO 的中点， O 的半径为 4，cos BOC=，求 BN 的长14考点：圆的综合题分析：（ 1）根据切线的判定定理得出 1+ BCO=90 ，即可得出答案；（ 2）利用已知得出 3= 2， 4= D，再利用相

29、似三角形的判定方法得出即可；（ 3）根据已知得出OE 的长，进而利用勾股定理得出EC，AC ，BC 的长，即可得出 CD，利用（ 2）中相似三角形的性质得出NB 的长即可， 1= 1+1 3=解答：（ 1）证明： BCO 中， BO=CO ， B= BCO，在 RtBCE 中， 2+ B=90 又 2， BCO=90，即 FCO=90 CF 是O 的切线；（ 2）证明： AB 是 O 直径， ACB= FCO=90， ACB BCO= FCO BCO，即 3= ， 2， 4= D， ACM DCN；（ 3）解： O 的半径为 4，即 AO=CO=BO=4 ，在 RtCOE 中， cos BOC

30、=，141 OE=CO ?cos BOC=4 =1，4由此可得： BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE=，AC=BC=2=2， AB 是O 直径， AB CD，由垂径定理得： CD=2CE=2 ACM DCN，=，点 M 是 CO 的中点， CM=AO= 4=2， CN=， BN=BC CN=2=点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识，根据已知得出 ACM DCN 是解题关键12、（2013 济宁）如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， P 是反比例函数y=（x0）图象上任意一点，以P 为圆心， PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B（1）

31、求证：线段AB 为P 的直径；（2）求 AOB 的面积；（3）如图 2，Q 是反比例函数y=（x0）图象上异于点P 的另一点，以Q 为圆心， QOC、 D为半径画圆与坐标轴分别交于点求证： DO?OC=BO ?OA 考点：反比例函数综合题分析：（ 1） AOB=90 ，由圆周角定理的推论，可以证明AB 是 P 的直径；（2）将 AOB 的面积用含点P 坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；（3）对于反比例函数上另外一点Q，Q 与坐标轴所形成的COD 的面积，依然不变，与AOB 的面积相等解答：（ 1）证明： AOB=90 且 AOB 是P 中弦 AB 所对的圆周角， AB 是P的直径（2）解：

32、设点 P 坐标为（ m， n）（m0， n0），点 P 是反比例函数y=（x0）图象上一点， mn=12如答图，过点P 作 PM x 轴于点 M，PN y 轴于点 N，则 OM=m ，ON=n由垂径定理可知，点M 为 OA 中点，点 N 为 OB 中点， OA=2OM=2m ，OB=2ON=2n ， SAOB=BO?OA= 2n 2m=2mn=2 12=24（3）证明：若点Q 为反比例函数y=（x0）图象上异于点P的另一点，参照（ 2），同理可得： SCOD=DO?CO=24，则有： SCOD=SAOB=24，即 BO?OA=DO ?CO， DO?OC=BO ?OA点评：本题考查了反比例函数的

33、图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义对本题而言，若反比例函数系数为4k；对于另外一点Q 所形成的k，则可以证明 P在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于Q，此结论依然成立13、（2013?攀枝花）如图， PA 为O 的切线， A 为切点，直线PO 交O 与点 E，F 过点A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D，交 O 与点 B，延长 BO 与 O 交与点 C，连接 AC， BF（1）求证： PB 与 O 相切；（2）试探究线段EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若 AC=12，tan F= ，求 cos ACB 的值考点：圆的综合

34、题分析：（ 1）连接 OA ，由 OP 垂直于 AB，利用垂径定理得到D 为 AB 的中点，即 OP 垂直平分 AB，可得出 AP=BP ，再由 OA=OB ，OP=OP，利用 SSS得出三角形 AOP 与三角形 BOP 全等，由 PA 为圆的切线，得到OA 垂直于 AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB 垂直于 BP，即 PB 为圆 O 的切线；（ 2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD 与三角形 OAP 相似，由相似得比例，列出关系式，由OA 为 EF 的一半，等量代换即可得证（ 3）连接 BE，构建直角 BEF在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设

35、BE=x ，BF=2x ，进而可得 EF=x；然后由面积法求得BD=x，所以根据垂径定理求得AB 的长度，在 RtABC 中，根据勾股定理易求BC 的长；最后由余弦三角函数的定义求解解答：（ 1）证明：连接OA ， PA 与圆 O 相切， PA OA，即 OAP=90， OP AB ， D 为 AB 中点，即 OP 垂直平分 AB ， PA=PB ，在OAP 和OBP 中， OAP OBP（ SSS ）， OAP= OBP=90 BP OB，则直线 PB 为圆 O 的切线；（ 2）答： EF2=4DO ?PO证明： OAP= ADO=90 ， AOD= POA ， OAD OPA ，=，即 O

36、A 2=OD?OP， EF 为圆的直径，即EF=2OA ， EF2=OD?OP，即 EF2=4OD ?OP；（ 3）解：连接 BE，则 FBE=90 tan F= ，= ，可设 BE=x， BF=2x ，则由勾股定理，得EF=x， BE?BF= BD=EF?BD，x又 AB EF， AB=2BD=x，x， RtABC 中， BC=AC 2+AB 2=BC 2，x）2， 122+（解得： x=4x）2=（， BC=4=20， cos ACB= 点评：此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键14、 (2013 年南京

37、 ) 如图， AD 是圆 O 的切线，切点为A，AB 是圆 O的弦。过点 B 作 BC/AD，交圆 O 于点 C，连接 AC，过点 C 作 CD/AB，交 AD 于点 D。连接 AO 并延长交 BC于点 M，交过点 C 的直线于点P，且BCP= ACD。(1) 判断直线 PC 与圆 O 的位置关系，并说明理由：(2) 若 AB=9，BC=6，求 PC 的长。解析： 解法一： (1) 直线 PC 与圆 O 相切。如图 ，连接 CO 并延长，交圆 AB/CD， BAC= ACD。 BAC= BNC， BNC= ACD。 BCP= ACD， BNC= BCP。 CN 是圆 O 的直径， CBN=90

38、 。 BNCBCN=90 ， BCPBCN=90 。 PCO=90 ，即 PC OC。又点 C 在圆 O 上， 直线 PC 与圆 O 相切。 (4 分)(2) AD 是圆 O 的切线， AD OA，即OAD=90 。 BC/AD， OMC =180OAD=90 ，即 OM BC。ADOMBO 于点 N，连接 BN。PABCDOMPNC MC=MB。 AB=AC。1在 RtAMC 中，由勾股定理，得AMC=90 ，AC=AB=9，MC= 2BC=3，AM= AC 2 MC 2= 92 32=6 2。设圆 O 的半径为 r。在 RtOMC 中，由勾股定理，得OMC=90 ，OM=AM AO=6 2

39、 r，MC=3，OC=r，27OM 2 MC 2=OC 2，即 (6 2 r)2 32=r 2。解得 r= 82。在 OMC 和OCP 中， OMC= OCP，MOC = COP，OMCM3= PC。 OMC OCP。 OC = PC，即27 PC= 7 。 (8 分)解法二： (1) 直线 PC 与圆 O 相切。如图，连接 OC。 AD 是圆 O 的切线， AD OA，即 OAD=90 。 BC/AD， OMC =180OAD=90 ，即 OM BC。 MC=MB。 AB=AC。 MAB= MAC。 BAC=2 MAC 。又 MOC =2 MAC， MOC = BAC。 AB/CD， BAC

40、= ACD。 MOC = ACD。又 BCP= ACD， MOC= BCP。 MOCOCM=90 ， BCPOCM =90 。(2) 在 RtAMC 中， PCO=90 ，即 PC OC。又 点 C 在圆 O 上， 直线 PC 与圆 O 相切。1AMC=90 ，AC=AB=9，MC= 2BC=3，由勾股定理，得AM= AC 2 MC 2= 92 32=6 2。设圆 O 的半径为 r。在 RtOMC 中，由勾股定理，得OMC=90 ，OM=AM AO=6 2 r，MC=3，OC=r，27OM 2 MC 2=OC 2，即 (6 2 r)2 32=r 2。解得 r= 82。在 OMC 和OCP 中，

41、 OMC= OCP，MOC = COP，OMCM OMC OCP， OC = PC，即3= PC。ABCDOMP27 PC= 7 。 (8 分)15、（2013?曲靖）如图， O 的直径 AB=10 ，C、D 是圆上的两点，且设过F连接 OC 交 AD 于点 G点 D 的切线 ED 交 AC 的延长线于点（1）求证： DF AF（2）求 OG 的长考点：切线的性质分析：，可得 CAD= DAB=30 ， ABD=60 从而可得，（ 1）连接 BD ，根据 AFD=90 ；（ 2）根据垂径定理可得OG 垂直平分 AD ，继而可判断OG 是 ABD 的中位线，在RtABD 中求出 BD，即可得出

42、OG解答：解：（ 1）连接 BD ， CAD= DAB=30 ABD=60 ， ADF= ABD=60 CAD+ ADF=90 ， DF AF（ 2）在 RtABD 中， BAD=30 AB=10 ， BD=5 ，=， OG 垂直平分 AD ， OG 是ABD 的中位线， OG= BD=点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理及垂径定理的知识，解答本题要求同学们熟练掌握各定理的内容及含30角的直角三角形的性质16、（2013?六盘水）（1）观察发现m 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小，如图（ 1）：若点 A、B 在直线 m 同侧，在直线做法如下：， ，P，线段的作点 B 关于直线 m 的对

43、称点 B 连接 AB 与直线 m 的交点就是所求的点AB 长度即为 AP+BP 的最小值如图（ 2）：在等边三角形ABC 中， AB=2 ，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小，做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为（2）实践运用如图（ 3）：已知 O 的直径 CD 为 2，的度数为 60，点 B 是的中点，在直径CD 上作出点 P，使 BP+AP 的值最小，则BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值为（ 3）拓展延伸AB、 BC 上作出

44、点 M，点 N，使如图（ 4）：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边PM+PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法考点：圆的综合题；轴对称-最短路线问题分析：（ 1）观察发现：利用作法得到CE 的长为 BP+PE 的最小值；由AB=2，点 E 是 AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE AB ， BCE= BCA=30 ，BE=1，再根据含30 度的直角三角形三边的关系得CE=；（ 2）实践运用：过B 点作弦 BE CD，连结 AE 交 CD 于 P 点，连结CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称，OB、OE、OA 、PB，根据垂径定理得到则 AE 的长就是 BP+AP

45、 的最小值；由于的度数为 60，点 B 是的中点得到 BOC=30 ， AOC=60 ，所以 AOE=60 +30 =90，于是可判断 OAE 为等腰直角三角形，则AE=OA=；（ 3）拓展延伸：分别作出点P 关于 AB 和 BC 的对称点 E 和 F，然后连结 EF，EF交 AB 于 M、交 BC 于 N解答：解：（ 1）观察发现如图（ 2），CE 的长为 BP+PE 的最小值，在等边三角形ABC 中， AB=2 ，点 E 是 AB 的中点 CE AB ， BCE= BCA=30 ，BE=1，； CE=故答案为BE=；（ 2）实践运用如图（ 3），过 B 点作弦 BE CD，连结 AE 交

46、CD 于 P点，连结OB、OE、OA 、PB， BE CD， CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称，的度数为 60 点 B 是的中点， ， BOC=30 AOC=60 EOC=30 AOE=60 +30 =90， OA=OE=1 ， AE=OA=， AE 的长就是 BP+AP 的最小值故答案为；（ 3）拓展延伸如图（ 4）点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称最短路径问题A（8，0），B（0，6），M17、（2013?衡阳压轴题）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点 O 及点 A

47、、B（1）求 M 的半径及圆心M 的坐标；（2）过点 B 作M 的切线 l，求直线 l 的解析式；（3） BOA 的平分线交 AB 于点 N，交 M 于点 E，求点 N 的坐标和线段OE 的长考点：圆的综合题专题：综合题分析：（ 1）根据圆周角定理 AOB=90 得 AB 为M 的直径，则可得到线段AB 的中点即点 M 的坐标，然后利用勾股定理计算出AB=10 ，则可确定 M 的半径为 5；（ 2）点 B 作M 的切线 l 交 x 轴于 C，根据切线的性质得角相等得到 BAO= CBO，然后根据相似三角形的判定方法有AB BC，利用等角的余RtABO RtBCO，所以=，可解得 OC= ，则 C 点坐标为（ ，0），最后运用待定系数法确定l的解析式；（ 3）作 ND x 轴，连结 AE，易得 NOD 为等腰直角三角形，所以ND=OD ， ON=ND，再利用 ND OB 得到 ADN AOB ，则 ND ：OB=AD ：AO