关于“解三角形的进一步讨论”的再思考

1、关于“解三角形的进一步讨论的再思考 HYPERLINK 童心【专题名称】 HYPERLINK 高中数学教与学【专 题 号】G312【复印期号】2021年12期【原文出处】? HYPERLINK 中国数学教育：高中版?(沈阳)2021年5期第89,44页【作者简介】童心，浙江省安吉县孝丰高级中学。【关 键 词】 HYPERLINK EEUU对于解三角形问题，三边(SSS)，两边夹角(SAS)，两角一边(AAS)的条件，三角形的解都是唯一确定的，利用正弦定理或余弦定理就可以解决了，而对两边和其中一边的对角(SSA)的三角形，解的个数往往是不确定的。在人教版?普通高中课程标准实验教科书数学5必修?的

2、第一章“解三角形的探究与发现“解三角形的进一步讨论一文中，编者首先通过引例提出问题，然后利用正弦定理和三角形中“大边对大角的理论依据，讨论了三角形解的情况，但笔者通过教学尝试发现，学生用此法来判断三角形解的个数，总是力不从心，感觉很抽象，故笔者通过思考研究，整理出了几种比拟直观易懂的讨论三角形解的情况的方法，现将其归纳如下，以期与同行交流与探讨。一、判断三角形解的个数方法探讨我们不妨以a、b、A，解三角形的问题为例来讨论。1.利用正弦定理，并结合三角形中“大边对大角的原那么这是教科书上的方法，笔者通过教学尝试发现，学生用此法来判断三角形解的个数，总是力不从心，感觉很抽象。特别地，当所给的角为非

3、特殊角时，此法将带来更大的计算困难。2.利用尺规作图，观察交点情况在a、b、A的情形下，我们可以先作角A，再作角A的邻边b，这样就确定了顶点C的位置，再作角A的对边a，即以C为圆心、a为半径画圆，观察圆弧与角C的对边c的交点情况，有几个交点就对应三角形有几个解。(1)如果的A是钝角或直角，那么必须ab才能有解，且只有一解。ab时，如图1所示。ab时，如图2所示。(2)如果的A是锐角，并且ab或a=b，这时也只有一个解，如图3所示。图3(3)如果的A是锐角，并且ab，这时要分下面三种情形来作图：当absinA时，有两个解，如图4下页所示；当a=bsinA时，只有一个解，如图5所示；当absinA

4、时，没有解，如图6所示。此法的最大优点在于不依赖学生的解三角形能力，同时通过图解简单直观，特别是当所给角为非特殊角时，同样能迅速求解。3.利用判别式及韦达定理判断一元二次方程的正根情况这是一个关于x的一元二次方程。显然，方程有几个正实数根，相应三角形就有几个解，故我们可以依据方程的正实数根的个数来判断三角形解的个数。此法把解三角形问题转化为判断一元二次方程的正根问题，而判断一元二次方程根的知识点学生在初中就已接触过。4.利用函数图象，观察交点情况在a、b、A的情形下，我们设边c为x，利用余弦定理得。假设f(x)=cosA(0，1)，那么函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，三角形只有一

5、解，如图11所示；假设f(x)=cosA(-1，0)，那么函数f(x)与g(x)的图象没有交点，三角形无解，如图12所示。此法要求学生具有较高的分析函数图象及性质的能力，比拟适合高年级段学生。二、判断三角形解的个数方法应用下面，笔者将上述四种方法应用于实例中，从而比拟各法的优劣。由于两函数图象有两个交点，所以相应三角形有两解。综合分析以上各种方法，可以发现：利用正弦定理，并结合三角形中“大边对大角原那么的方法较为常规，但是学生在用此法来判断三角形解的个数时，总是力不从心，感觉很抽象，特别地，当所给的角为非特殊角时，此法将带来更大的计算困难；利用尺规作图，观察交点情况的方法直观快捷，它的最大优点在于不依赖学生的解三角形能力，特别是当所给角为非特殊角时，同样能迅速求解；利用判别式及韦达定理判断一元二次方程正根情况的方法通俗易懂，它把解三角形问题转化为判断一元二次方程的正根问题，而判断一元二次方程根的知识点学生在初中就已接触过；利用函数图象，观察交点情况的方法形象直观，但需要学生具有较高的分析函数图象及性质的能力，比拟适合高年级段学生。面对判断三角形解的个数的问题，以上四种方法各有千秋，在具体教学过程中，可以根据学生的数学能力进行因材施教，使他们得到更好地开展！【参考文献】1况亦军.高中数学多功能题典M.上海：华东师范大学出版