人教A版高中数学必修五2.4等比数列课件（共两课时）

1、2.4 等比数列第1课时操作题1. 请同学们写出下面数列: (1) 一种细菌进行分裂繁殖, 1 个细菌一次分裂成 2个, 且每分钟分裂一次, 写出 1 个这种细菌经过 1, 2, 3, 4, , 分钟后的细菌个数; (2) 一个容器中盛有10升某种溶液, 每次倒出容器中溶液的一半, 写出每次倒出后容器中剩余溶液数量; (3) 银行的复利计息方式是: 把前一期的利息加入本金计算下一期的利息. 现存入本金10000元, 年利率为1.98%, 写出 5 年内各年末的本利和.(1) 2, 4, 8, 16, (2) 5,(3) 100001.0198, 100001.01982,100001.0198

2、3, 100001.01984, 100001.01985. 问题1. 刚才写出的数列是等差数列吗? 如果不是, 那么它们有什么共同的特征? 根据它们的共同特征你想把它们叫做什么数列?(1) 2, 4, 8, 16, (2) 5,(3) 100001.0198, 100001.01982,100001.01983, 100001.01984, 100001.01985.特征: 各数列中, 每一项与它前一项的比值是一个相等的数.(1) 中的比值是 2,(2) 中的比值是(3) 中的比值是1.0198.每一项等于前一项乘以 2.每一项等于前一项乘以每一项等于前一项乘以 1.0198. 定义: 一般

3、地, 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示 (q0), 即则数列 an 为等比数列, 常数 q 是公比.判断几个数是否成等比数列, 看其是否满足 判断以通项表示的数列是否是等比数列, 看其是否满足(常数).(4) 不是等比数列, (2) 是等比数列,(3) 是等比数列, 问题 2. 下列各数列是否是等比数列? 如果是, 公比是多少? (1) (2) (3) 7, 7, 7, 7, (4) 0, 1, 4, 16, (1) 是等比数列, 公比 q =等比数列的任一项都不能为 0.a

4、2=a1q,【等比数列的通项公式】 操作题2. 已知等比数列an的首项为 a1, 公比为 q,写出这个数列的 a2, a3, a4, a5, 并由此归纳出 an.a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,a5=a4q=a1q4,猜：an=a1qn-1.等比数列的通项公式:an=a1qn-1 等比数列 an=a1qn-1 的图象是函数 y = a1qx-1 的图象上 x 取正整数的点.等比数列的图像 例4. 已知anbn是项数相同的等比数列, 仿照下表中的例子填写表格. 从中你能得出什么结论? 证明你的结论.自选 2自选 1是-52n-1例anbn是否等比数列anbnbnan2n(-3)n

5、(-6)n是-3(-1)n是结论: 如果 an bn 是项数相同的等比数列, 那么anbn 也是等比数列.证明如下:设an的公比为 p, bn的公比为 q, p, q 为常数,则= pq(常数),anbn是等比数列. 问题3. 如果an是等比数列, c 为常数, 且c0,那么can是否是等比数列, 能证明你的结论吗?= q (常数).结论: 一个等比数列的各项都乘以同一个不为 0 的常数,所得的数列仍是等比数列. 问题4. 三个数 2, 3 是否成等比数列? 如果 a, G, b 这三个数成等比数列, G 是多少?若 a, G, b 成等比数列, 则 G2=ab,两比值相等, 三个数成等比数列

6、.等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G, 使 a, G, b 成等比数列, 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,G2=ab,等差中项: 如果三个数 a, A, b 成等差数列, 则中间一个数 A 叫做 a 与 b 的等差中项,或 2A=a+b. 例3. 一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是12和18, 求它的第 1 项与第 2 项.由等比数列通项公式得,解:解关于 a1 与 q 的方程组:a3=a1q2=12,a4=a1q3=18, 得将 q 的值代入式得则 a2= a1q= 8.这个数列的等 1 项是 第 2 项是 8.练习: (课本53页) 3. 已知an是一个无穷

7、等比数列, 公比为 q: (1) 将an中的前 k 项去掉, 剩余各项组成一个新数列, 这个新数列是等比数列吗? 如果是, 它的首项与公比分别是多少? (2) 取出数列an中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等比数列吗? 如果是, 它的首项与公比分别是多少? (3) 在数列an中, 每隔10项取出一项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等比数列吗? 如果是, 它的公比是多少? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗?练习: (课本53页) 3. 已知an是一个无穷等比数列, 公比为 q: (1) 将an中的前 k 项去掉, 剩余各项组成一个新数列, 这个新数列是等比数列吗? 如果是,

8、它的首项与公比分别是多少?答:其首项是原数列的 ak+1, 公比是原数列的公比 q.an 中去掉前 k 项后分别是a1+k,a2+k,a3+k,an+k, =q,(常数).an 中去掉前 k 项后所得数列是等比数列,练习: (课本53页) 3. 已知an是一个无穷等比数列, 公比为 q: 答:取出 an 中的所有奇数项得a1, a3, a5, , a2n-1, =q2,(常数).取出 an 中的所有奇数项所得的数列也是等比数列, 其首项为 a1, 公比为 p2. (2) 取出数列an中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等比数列吗? 如果是, 它的首项与公比分别是多少?练习: (课

9、本53页) 3. 已知an是一个无穷等比数列, 公比为 q: (3) 在数列an中, 每隔10项取出一项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等比数列吗? 如果是, 它的公比是多少? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗?答:在 an 中每隔 10 项取出一项得a11,=q11,(常数).= an 中每隔 10 项取出一项所得的数列也是等比数列, 其首项为 a11, 公比为 q11.a22,a33,a10n+n, 练习: (课本53页) 3. 已知an是一个无穷等比数列, 公比为 q: (3) 在数列an中, 每隔10项取出一项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等比数列吗? 如果是, 它的公比是多

10、少? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗?猜想:在等比数列 an 中每隔 k 项取出一项,所得的数列也是等比数列, 其首项为 ak+1, 公比为qk+1.【课时小结】1. 等比数列 一个数列从第 2 项起的每一项与它前一项的比等于同一个常数 q, 则这个数列就叫做等比数列, 常数 q 叫做等比数列的公比, 即a2=a1q, a3=a2q, a4=a3q, , an+1=anq.是判定等比数列的条件.【课时小结】2. 等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G, 使 a, G, b 成等比数列, 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项, 即G2=ab.习题 2.4A 组第 3、6、7 题.习

11、题 2.4A 组 3. 已知an是各项均为正数的等比数列, 是等比数列吗? 为什么?解:(常数), 是等比数列. 6. 已知 a, b 是互异的正数, A 是 a, b 的等差中项, G 是 a, b 的等比中项, A 与 G 有无确定的大小关系?解:由题设得a0, b0, ab,一定有 AG.即得7. 求下列各组数的等比中项: (1) (2) a4+a2b2 与 b4+a2b2 (a0, b0).解:(1)=2.(2)=ab(a2+b2).2.4 等比数列第2课时学习要点 1. 等比数列的通项公式是怎样的? 它是什么类型的函数? 2. 由通项公式与等比中项能推出等比数列中的哪些项的关系?3.

12、 怎样用等比数列知识解决某些实际问题?a2=a1q,【等比数列的通项公式】 操作题2. 已知等比数列an的首项为 a1, 公比为 q,写出这个数列的 a2, a3, a4, a5, 并由此归纳出 an.a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,a5=a4q=a1q4,an=a1qn-1.等比数列的通项公式:an=a1qn-1 等比数列 an=a1qn-1 的图象是函数 y = a1qx-1 的图象上 x 取正整数的点.练习 (补充). 一个等比数列的第 9 项是 公比是 求它的第 1 项;第 4 题.(课本53页)习题 2.4B组第 1 题.解:由等比数列通项公式得即解得 a1=2916

13、,这个数列的第 1 项是 2916. (补充). 一个等比数列的第 9 项是 公比是 求它的第 1 项;4. 已知an是等比数列.(1) a52=a3a7 是否成立? a52=a1a9 成立吗? 为什么?(2) an2=an-1an+1 (n1) 是否成立? 你据此能得到什么结论? an2=an-kan+k (nk0) 是否成立? 你又能得到什么结论?解:(1) a52 = (a1q4)2= a12q8,a3a7 = (a1q2)(a1q6)= a12q8,a1a9 = a1(a1q8)= a12q8, a52 = a3a7 = a1a9 成立.(课本53页)4. 已知an是等比数列.(1)

14、a52=a3a7 是否成立? a52=a1a9 成立吗? 为什么?(2) an2=an-1an+1 (n1) 是否成立? 你据此能得到什么结论? an2=an-kan+k (nk0) 是否成立? 你又能得到什么结论?解:(2) an2 = (a1qn-1)2= a12q2n-2,an-1an+1 = (a1qn-2)(a1qn)= a12q2n-2, an2 = an-1an+1 成立.(课本53页)4. 已知an是等比数列.(1) a52=a3a7 是否成立? a52=a1a9 成立吗? 为什么?(2) an2=an-1an+1 (n1) 是否成立? 你据此能得到什么结论? an2=an-k

15、an+k (nk0) 是否成立? 你又能得到什么结论?解: an2 = (a1qn-1)2= a12q2n-2,an-kan+k = (a1qn-k-1)(a1qn+k-1)= a12q2n-2, an2 = an-kan+k 成立.(课本53页)结论:an 是 an-k 和 an+k (nk0)的等比中项.在等比数列an中,an2 = an-1an+1 = an-2an+2 = an-3an+3 = = an-kan+k (1) 如果某项的序号是另外两项序号和的一半, 那么这一项的平方等于另两项的积.2p=m+n, ap2 = aman. (2) 如果有两项的序号之和等于另两项的序号之和,

16、那么这两项的积等于另两项的积.p+q = m+n, apaq = aman.B 组1. 已知等比数列an的公比为 q, 求证:证明:= q(m-1)-(n-1)= qm-n. 例1. 某种放射性物质不断变化为其他物质, 每经过一年剩留的这种物质是原来的 84%. 这种物质的半衰期为多长 (精确到 1 年)?解:经过 n 年后, 这种物质的剩留量是原来的(84%)n= 0.84n.公式可知, 各年剩留量成等比数列, 其中a1=0.84, q=0.84,若设原来这种物质的质量为1,由等比数列通项要使 an=0.5, 即得0.84n = 0.5.两边取常用对数得nlg0.84 = lg0.5,4.答

17、: 这种物质的半衰期大约是 4 年.练习课本5253页第 2、5 题. 2. 在利用电子邮件传播病毒的例子中, 如果第一轮感染的计算机数是80台, 并且从第一轮起, 以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机, 到第 5 轮可以感染多少台计算机?解:这是一个首项为80, 公比为20的等比数列模型,其通项公式为 an= a1qn-1.则 a5=80204=12800000.答: 到第 5 轮可以感染12800000台计算机. 5. 某人买了一辆价值 13.5万元的新车. 专家预测这种车每年按10%的速度折旧. (1) 用一个式子表示 n (nN*)年后这辆车的价值. (2) 如果他打算

18、用满 4 年时卖掉这辆车, 他大概能得到多少钱?解:(1)每年按10%的速度折旧,则第 n 年后车子的价值为:an=13.5(1-10%)n=13.50.9n.(2)这人用满 4 年, 车子的价值只有a4=13.50.948.8574.答: 这人大概能得到8.8574万元.【课时小结】1. 等比数列的通项公式an=a1qn-1.通项公式是关于正整数 n 的指数函数类型.【课时小结】2. 等比数列中的相等项an 是 an-k 和 an+k (nk0)的等比中项, 即an2 = an-1an+1 = an-2an+2 = an-kan+k.2p=m+n, ap2 = aman.p+q = m+n,

19、 apaq = aman.或【课时小结】3. 等比数列的应用(1) 判断问题是否可建立等比数列模型;(2) 建立等比数列模型, 设定相关量;(3) 用等比数列知识进行相关运算;(4) 用运算结果解释实际问题.习题 2.4A 组第 1、2、4、5、8 题.B 组第 2 题.解:1. 在等比数列an中, (1) a4=27, q= -3, 求 a7; (2) a2=18, a4=8, 求 a1 与 q; (3) a5=4, a7=6, 求 a9; (4) a5-a1=15, a4-a2=6, 求 a3.习题2.4A 组(1)a7=a4q3=27(-3)3= -729.解:1. 在等比数列an中,

20、(1) a4=27, q= -3, 求 a7; (2) a2=18, a4=8, 求 a1 与 q; (3) a5=4, a7=6, 求 a9; (4) a5-a1=15, a4-a2=6, 求 a3.习题2.4A 组(2)得解方程组得或解:1. 在等比数列an中, (1) a4=27, q= -3, 求 a7; (2) a2=18, a4=8, 求 a1 与 q; (3) a5=4, a7=6, 求 a9; (4) a5-a1=15, a4-a2=6, 求 a3.习题2.4A 组(3) a7=a5q2,6=4q2,解得则 a9=a7q2= 9.解:1. 在等比数列an中, (1) a4=27

21、, q= -3, 求 a7; (2) a2=18, a4=8, 求 a1 与 q; (3) a5=4, a7=6, 求 a9; (4) a5-a1=15, a4-a2=6, 求 a3.习题2.4A 组(4)由 a5-a1=15, a4-a2=6 得方程组解方程组得或则 a3=122=4;或 a3= -16 = -4. 2. 某地为了保持水土资源, 实行退耕还林, 如果2000年退耕 8 万公顷, 以后每年增加10%, 那么2005年需退耕多少公顷? (结果保留到个位)解:在2000年以后的第 n 年退耕数为an=8(1+10%)n= 81.1n,2005年即是2000年后的第5年,即 a5=8

22、1.1512.8841(万公顷)=128841公顷.答: 2005年需退耕128841公顷. 4. 如果能将一张厚度为 0.05 mm 的报纸对折, 再对折, 再对折, , 对折 50 次后, 报纸的厚度是多少? 你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗? (地球与月球之间平均距离约为3.84105 km)解:每次对折后, 厚度是原来的 2 倍,后的厚度成等比数列, 其公比 q=2,即每次对折an=0.12n-1,即 a1=0.1, 则对折一次后的厚度为首项,对折50次后的厚度为a50=0.124956294995342131.2 (mm) 5.63107 km 这个厚度远远超过了地

23、球与月球之间的平均距离,从理论上讲, 可以在地球与月球之间建一座桥.(地球到月球的平均距离: 3.8105 km)可这座桥有多大呢? 4. 如果能将一张厚度为 0.05 mm 的报纸对折, 再对折, 再对折, , 对折 50 次后, 报纸的厚度是多少? 你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗? (地球与月球之间平均距离约为3.84105 km)解:一张全开报纸按1200900=1080000(mm2)算,每对折一次, 面积为原来的二分之一,则50次对折后的面积为=1.910-9(mm2)一根粗的头发约为0.002mm2,0.002(1.910-9)1052630. 要一百多万座这样

24、的桥才有一根头发丝大, 谁能走这桥呀! 5. 某城市今年空气质量为 “良” 的天数共为105天,力争 2 年后使空气质量为 “良” 的天数达到240天. 这个城市空气质量为 “良” 的天数的年平均增长率为多少? (精确到小数点后 2 位)解:设年均增长率为 q, 今年空气质量为 “良”的天数为 a1, 则一年后空气质量为 “良” 的天数为 a2=a1(1+q),答: 年平均增长率大约是0.51.2 年后空气质量为 “良” 的天数为 a3=a1(1+q)2.而 a1=105, a3=240.即 240=105(1+q)2.解得 q0.51. 8. (1) 在 9 与 243 中间插入两个数, 使它