带电细圆环以及薄圆盘的空间电场分布

1、带电细圆环以及薄圆盘的空间电场分布孝义市第五中学:蔺金林摘要:先介绍电位的两种计算方法，一种是用点电荷的电位分布来计算电位（参考点在无穷远时），一种是用电位与场强的积分关系式来计算电位.然后用两种不同的方法求出均匀带电薄圆盘轴线上的电位和电场.根据点电荷电势和电场的叠加原理，导出了均匀带电细圆环电势和电场的级数表达式，再用叠加法推广到均匀带电圆盘周围空间的电场分布（将均匀带电薄圆盘分割成同心的带电圆环,先求出任一带电圆环电位的空间分布,再进行叠加,由点电荷在空间激发电场的电位公式，用两种方法，一种是线电荷元分割法，一种是面电荷元分割法，求出均匀带电圆盘电位的空间分布）.关键词：均匀带电圆环；均

2、匀带电圆盘；电场；电位TheSpaceDistributionOfElectricFieldOfChargedThinRingAsWellAsThinDiscABSTRACT:Inthispaper,wefirstintroducetwocomputationalmethodsoftheelectricpotential,onekindisthatcalculatingtheelectricpotentialwiththepointchargespotentialdistribution(referencepointisininfinitedistance),anotheroneisthatc

3、alculatingtheelectricpotentialwiththeelectricpotentialandthefieldintensityintegralrelationship.Thenextractthespoolthreadontheevenchargedthindiscwithtwodifferentmethods.Accordingtotheprincipleofsuperpositionofelectricpotentialandtheelectricfieldofthepointcharges,derivetheprogressionexpressionoftheele

4、ctricpotentialandtheelectricfieldontheevenchargedthinring,againwewillusethemethodofsuperpositiontopromotethespacedistributionofelectricfield(Dividetheevenchargedthindisctomanyaconcentricchargedrings.Extractfirsttheelectricpotentialspatialdistributionnomatterwhereonachargedring.Againcarryonthesuperpo

5、sition.Fromtheformulaofelectricpotentialstirredupbyapointcharge,wededucethespacedistributionofauniformchargeddiscselectricpotentialwithtwomethods.Onekindisthelinechargemethod,onekindisthesurfacechargemethod).KEYWORDS:Evenchargedring；Evenchargeddisc；Electricfield；Electricpotential目录TOC o 1-5 h z引言1 H

6、YPERLINK l bookmark8 o Current Document 1电位的计算21.1电位的两种计算方法2均匀带电圆盘轴线上电位2 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 2均匀带电细圆环的电场5均匀带电细圆环的电势5均匀带电细圆环的电场6均匀带电细圆环电场、电势的讨论7 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 3均匀带电薄圆盘的电势8均匀带电薄圆盘的电势（线电荷元分割法）8均匀带电薄圆盘的电势（面电荷元分割法）11总结12参考文献13全国中小学教师论文大赛 引言各种带电体周围空间电场的解是电

7、磁学中经常碰到的问题,其中均匀带电细圆环以及薄圆盘电场的空间分布是一个非常棘手的问题.本文将先讨论均匀带电细圆环空间电场的解,再用叠加法推广到均匀带电圆盘的电场分布.对于均匀带电细圆环周围空间电场的解,近年来,已有文献在用积分方程表示电场解的同时,还用计算机对其进行了数值计算.然而,寻找更易于理解的数学表达式,常常是我们问及,也是我们非常关心的问题.本文先利用点电荷电势的公式及叠加原理导出均匀带电细圆环周围空间电势的级数解,再通过电势与电场的关系得出其电场强度的级数解.均匀细圆环的静电势,由于物理图象清晰,计算简单,在数学物理方法及电动力学教材中多有讨论.在此基础上,很自然地就会要讨论到均匀带

8、电薄圆盘的静电势问题.事实上，在Morse和Feshbach所著的MethodofTheoreticalPhysicsw书中就可以找到这个问题.目前,在一些教材中也有所讨论,或者把它列为习题2-6.但是,这个问题，形似简单，实际上涉及数学物理方法中的一些基本理论，在一些教材中似乎讨论的不够充分，而且不能简单地把无穷多个细圆环叠加起来，就能得到正确的结果.本文将做尽可能详细的分析，并用一种简单而又容易理解的叠加法（在球坐标系中）求出其正确的结果.在电磁学中，对均匀带电圆盘的电场的空间分布问题，一般的教材中只讨论均匀带电圆盘轴线上的分布，而对轴线以外场点的分布没有讨论，本文由电位的定义式，用两种方

9、法求出均匀带电圆盘电位的空间分布.1电位的计算电位的两种计算方法当电荷分布已知时，可用如下两种方法计算电位.1、用点电荷的电位公式UJE-dl-Q卜巴二Q(1.1.1)pp4k8rr24k8r0p0p计算电位式中r是场点p与点电荷Q的距离接下来我们对电位的计算就用此公式.p由场强的迭加原理不难证明电位的迭加原理：n个点电荷在某点产生的电位等于每个点电荷单独存在时在该点产生的电位的代数和把激发电场的电荷分为许多点电荷，利用点电荷的电位公式(1.1.1)及电位叠加原理便可求得场中各点的电位当电荷按体密度P连续分布时，可把带电区域分为无限多个无限小体元山,其对场点p贡献的元电位按式(1.1.1)为d

10、U=pdT(1.1.2)r是dt与场点p的距离整个带电区域在p点激发的电位为(1.1.3)U二丄出农4k8r0积分遍及整个带电体积类似地，当电荷按面密度连续分布于某曲面上时，电位公式为U二丄归s(1.1.4)4k8r0积分遍及整个带电曲面.应该注意式(1.1.1),因而式(1.1.3)及(1.1.4)只对参考点在无限远的情况成立.因此,当参考点不在无限远时，就不宜使用这种方法.2、用电位与场强的积分关系式计算电位使用这种方法时，首先应在欲求电位的点p与参考点p0间选择一条适当的曲线，并根据电荷分布求出线上各点场强.由于积分路径的任意性，可以根据具体情况选择一条最便于计算的曲线.均匀带电圆盘轴线

11、上电位均匀带电圆盘轴线上电位.已知圆盘半径为R，电荷面密度为o，参考点在无限远.如下图因参考点在无限远，故可用式（1.1.1）作积分（第一种方法）,用极坐标的方法把圆平面分成许多面元，坐标为r,申的面元的面积为图1.2.1均匀带电圆盘轴线上的场强(1.2.1)(1.2.2)(1.2.3)z图1.2.2均匀带电圆盘轴线上的分布（z表示与盘心的绝对距离）dS=rd申dr其电量为dq=cdS=crd申dr按式(1.1.1)它在轴线上一点p贡献的电位为grdpdrdU=一4ksr2+z20整个圆盘在p点贡献的电位为u=Lg哼dr4兀Jr2+z20=旦J2兀d訂R,rdr4兀.00Jr2+z2=&R2+

12、z2-z）280其中z是p点与圆盘的绝对距离（不论p点在圆盘的左侧还是右侧,z恒取正）电位沿圆盘轴线的分布如图（1.2.2）曲线所示,这是一条连续曲线（包括盘心O点在内）.这就说明，虽然场强在带电圆盘面发生突变（一面两侧的场强虽然数值相同，但反向相反，故为突变），但电位在面上却是连续的.也可用第二种方法求解，为此可选圆盘轴线为积分路径可按照点电荷场强公式，它在轴上一点P贡献的场强(大小)为Qrd甲drdE=一4K8120其中l是半扇形到点P的距离.由于电荷分布对称于圆盘轴线OP，故必存在与所取半扇形对称配置的另一半扇形,两者面积、电量分别相等虚线半扇形在P点贡献的场强如图中dE所示.dE与dE

13、大小相等，与轴线夹角亦等，两者的合场强必平行于轴线整个圆盘可分割为一对对这样的半扇形，故P点的总场强E亦平行于轴线因此只须对dE沿轴线的分量dE作z积分便可求出E由图可知十十Qrd串drcosaqrd串drzdE=dEcosa=z4兀8120Qzrdqdr4兀812l04兀8(r2+z2)302对变量r、申作二重积分得E-QzJ2兀dqpjRrdr-Qf1-z(1.2.4)4K8000(r2+z2)3228oIJr2+z2丿其中z为O与P间的绝对距离(不论P点在圆盘的右侧还是左侧，z恒取正)再对式(124)积分，即可求得式(123).图(2.1.1)均匀带电细圆环的电势式中C=丄2兀&0(2.

14、1.1)CXA2卜dOU=p2ox：1-BcosO=cxaH；+卜dO2-o1一BcosO兀V1一BcosOdO=CXA丿JdO1J1+BsinO,1odOoJ1一BcosOyj1+BsinOJ(2.1.2)2均匀带电细圆环的电场均匀带电细圆环的电势利用上一章介绍的点电荷电势的公式(1.1.1)及叠加原理导出均匀带电细圆环周围空间电势的级数解如图(2.1.1),设均匀带电细圆环半径为R,其电荷线密度为九.由对称性可知：其电势与电场必以z轴对称因此，只要求得xOz平面内电势与电场，则整个空间的电势与电场便可知.图中dl线段电荷在p点电势为：TOC o 1-5 h zdU=廻p4ksr0=1XRd

15、O4兀0%2+z2+R2-2xRcos0=CXAdO2J1一BcosO2xRx2+z2+R2将细圆环视为点电荷的集合，由电势叠加原理，在空间p点处电势为其中O=O-1.利用幕级数8TO131351357“2=1x+x2x3+x4xd0224246IC九aJ22+GB(cos0-sin0)+GB2+GB3(cos30-sin30)+0123GB4(cos40+sin40)+GB5(cos50-sins0)+45(2.1.3)GBn(cosn0+(-1)nsinn0)d0n式中：,g=7514864231厂_5312423642C(2n-1)(2n-3)31G即p点不应在环上.n2n(2n-2)4

16、2n为正整数.且Inn6688(2.1.4)这里：M_(n-1)(n-3)nn为正偶数.同样|B1.均匀带电细圆环的电场得到均匀带电细圆环周围空间电势的级数解后,再通过电势与电场的关系,可得出其电场强度的级数解.由电场强度与电势的关系:E=-VU(2.2.1)不难得到p点场强令E=Ei+Ek，有：xzdUc兀QA(1E=-p=-CX(2+2MGB2+MGB4+MGBn+-J-xQx2Qx2244nnCXA-22MGB+4MGB3+nMGBn-1+22244nnQx咚(B2-2A2)22MG+4MGB22R22442R1QUE=-pzQznMGBn-2nn+nMGBn-2+丿nnzA2兀2z=江

17、U+CXA3B(上)22MG+4MGB2+R2p2R221(2.2.2)(2.2.3)其中|B|1.2.3均匀带电细圆环电场、电势的讨论1、对于z轴上的点(x=0,B=0),式(2.1.4)、U=C九A兀=九兀Rp(2.2.2)、(2.2.3)分别变为:Q(2.3.1)2兀8z2+R24兀8R),U近似为式(2.1.4)第一项：pQ(2.3.2)U沁p4兀8(x2+z2)0 xQ(2.3.3)Eqx4耐(x2+z2)320zQEqz4兀8(x2+z2)320此时,p点电势相当于环上电荷置于圆心处时的点电荷的电势和电场.2、由式(2.1.4)可见,电势较大区域在圆环附近对于场强，此时由式(2.2

18、.3),E=0场强x方向沿圆环径向同样，当p点位于环附近时，B2=2A2场强由式(2.2.2)中第一项决定当p点距环越远时，场强将会迅速减小得知:均匀带电细圆环电场主要集中在圆环附近(2.3.4)全国中小学教师论文大赛0 3均匀带电薄圆盘的电势均匀带电薄圆盘的电势(线电荷元分割法)在电磁学中,对均匀带电圆盘的电场的空间分布问题,一般的教材中只讨论均匀带电圆盘轴线上的分布,而对轴线以外场点的分布没有讨论,本章由电位的定义式,用两种方法求出均匀带电圆盘电位的空间分布.AZPrr9oydla0p图3.1.1线电荷元分割法如图(3.1.1),将均匀带电薄圆盘分割成同心的带电圆环,先求出任一带电圆环电位

19、的空间分布,再进行叠加,即可求出均匀带电圆盘电位的空间分布.在前面得到均匀带电细圆环的电位分布，得到(2.1.4)式如下：兀135-37-5-3U=C九A2+2GB2+GB4+GB6+GB8+p222446468648TOC o 1-5 h zn_1n_33GB.nn一24n=C九A-2+2MGB2+MGB4+MGB6+MGB8+222446688MGBn十nnRx2+Z2+R22xRx2+Z2+R2式中只有A、B与坐标量有关，把上式对x积分，便可得到均匀带电圆盘在xOz平面全国中小学教师论文大赛 上的分布.但计算起来相当麻烦，（计算机可对它进行数值计算）为了便于计算，我们在球坐标系中计算.本

20、节先用线电荷元分割法来求解.已有文献对它进行了计算，但用这种方法把无穷多个细圆环叠加起来，不能得到正确的结果.从根本上说来，这是因为轴定理所处的体系，不仅要求具有轴对称性，而且对源（静电问题中的电荷，引力中的质量，等等）的分布也有一定的限制.源只能分布在作为系统内部界面的球面上.而在本问题中，作为静电势的源的电荷，分布在赤道面上的一个圆形区域内.因此，我们在球坐标系中计算，便可容易得到正确的结果.如图中所示，设均匀带电圆环带电量为dq，半径为p，在环上任取一小线元dl,dl到p点的距离为r,dl带申量为：虫dl-虫pdQ2p2p在p点激发电场的电位为:dV-1dqdqdQ-pdQ-(3.1.1

21、)4k8r2兀p8兀28r00式中r2=(rcos0)2+p2+(rsin0)2一2prsin0cos(a-Q)=r2+p2一2prsin0cos(a-Q)(3.1.2)将(3.1.2)代入(3.1.1)得:dV，=dq.dQ8兀280r2+p2-2prsin0cos(a-Q)V2性(3.1.3)8兀280oyjr2+p2-2prsin0cos(a-Q)由对称性可知，圆环在p点的电位V与p点的方位角a无关，即可取0.dQr2+p2-2prsin0cosQ(3.1.4)(3.1.5)dqJ2兀8兀280Q=兀一2dQ=-2d0cosQ=cos(兀一勿)=一cos勿=一1+2sin2屮(3.1.6

22、)将(3.1.6)(3.1.5)代入(3.1.4)式得：V，=J22却(3.1.7)8兀280一：Jr2+p2+2prsin04prsin0sin2屮为了计算简便，这里令4prsin0k2=p2+r2+2prsin0(3.1.8)将(3.1.8)代入(3.1.7)式得dqV，=_LJ；4兀28oJr2+p2+2prsin0-；J1-k2sin2屮(3.1.9)q.dq=2兀pdp=o2兀pdp兀R2将(3.1.10)代入(3.1.9)式积分得：v=_J-pdpJ：,2兀800Jr2+p2+2prsin0-；J1-k2sin2屮1-k2sin2v是屮的以兀为周期的偶函数，且k20则(3.1.10

23、)(3.1.11)J：-;(I-k2sin2屮=22/.=0fl-k2sin2屮C兀/17z13735=2一1+()2k2+()2k4+()2k62224246-兀2将(3.1.8)(3.1.12)代入(3.1.11)得JR些+(-)2(4rsin0)JR0r2+p2+2prsin020(13)+(3.1.12)oV=280(4rsin0)2JR0J(r2+p2+2prsin0)52p3dp(r2+p2+2prsin0)32(4rsin0)3JR0J(r2+p2+p4dp+2prsin0礼rzr-_r.ciR+rsin0+4R2+2Rrsin0+r2R2+2Rrsin0+r2一r一rsin0l

24、noV二280rsin0+rp2dp+()2(4rsin0)JR-20(r2+p2+2prsin0)32(4rsin0)2JR-0J(r2+p2+2prsin0)52p3dpp4dp(4rsin0)3JR+r2+p2+2prsin0)72(3.1.13)(3.2.1)(3.2.2)(3.2.3)讨论：当9=0时，p点便在轴线上，这时(3.1.13)式化为V=-(R2+r2一r)2&0即圆盘在轴线上与盘心相距为r处p点的电位，与电磁学中得出的结论相符合接下来用面电荷元分割法来求均匀带电圆盘的电势.均匀带电薄圆盘的电势(面电荷元分割法)如图(321),将坐标原点选在圆心O上,盘面在xOy平面内,z

25、轴沿圆盘轴线，设p点到圆心的距离为r，在盘内任取一小面积元ds車z图3.2.1面电荷兀分割法ds=dxdyds到圆心的距离为p，到空间任一点p的距离为”，电荷元带电量为:dq=gdxdy电荷元在p点激发电场的电位为：dV二丄色4兀rr0由图(3.2.1)可知r2=(rcos9)2+/2=(rcos9)2+p2+(rsin9)2一2prsin9cos(a)r=r2+p22prsin9cos(a0)将(3.2.1)(3.2.3)式代入(3.2.2)式得dV=dxdyr2+p2一2prsin0cos(a-Q)(3.2.4)将(3.2.4)式化为极坐标的形式：dV=pdpdQr2+p2一2prsin0

26、cos(a-Q)pdpdQr2+p2一2prsin0cos(a-Q)a_0贝Vv_GjpdpdQ令沁0sr2+p2-2prsin0cosQQ_兀一2dQ_-2dcosQ_cos(兀一)_-cos2_-1+2sin2屮根据对称性可知，圆盘电荷在p点产生的电位V与p点的方位角无关，为简单可取(3.2.5)(3.2.6)(3.2.7)(3.2.8)(3.2.9)(3.2.10)将(3.2.6)(3.2.7)代入(3.2.5)式得V_Gj-2pdp却4兀0sJr2+p22prsin0(-1+2sin2屮)_Gj-pdpd2兀0jr2+p2+2prsin0-4prsin0sin2令4prsin0k2_p2+r2+2prsin0将