1.11-位移分量与应变分量-几何方程

1、第十节 位移分量与应变分量 几何方程 由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响， 物体内各点在空间的位置将发生变化， 就是产生位移。 这个移动过程，弹性体将可能同时发生两种位移变化。第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是 物体在空间做刚体运动引起的，因此称为 刚体位移 。第二种位移是弹性体形状的变化， 位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各 个点的相对位置，这是物体变形引起的位移，称为 变形位移 。一般来说，上述两种位移是同时出现的，当然对于弹性力学的研究，主要是讨论后一种位移，因 为变形位移与弹性体的应力有着直接的关系。根据连续性

2、假设， 弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。 那么弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至 M（x， y，z），这一过程也将是连续的 ,如图 11.1 所示图 10.1在数学上 ，x，y，z 必为 x， y， z的单值连续函数。设 MM= S为位移矢量，其三个分量 u，v，w 为位移 分量。则u=x （ x，y， z） -x=u （x，y，z）v=y （ x，y， z） -y=v （x，y，z）w=z （x，y，z）-z=w（x，y，z） 显然，位移分量 u，v，w 也是 x， y， z的单值连续函数。以后的分析将进一步假定位移函数具有三阶连续 导数。为进一步研究弹性体的变形情况，假

3、设从弹性体中分割出一个微分六面体单元，其六个面分别与三个 坐标轴垂直。对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之 间夹角的变化。弹性力学分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。对于微分平行六面体单元，设其变形前与x，y，z 座标轴平行的棱边分别为 MA ，MB ，MC ，变形后分别变为 MA ，MB，MC 。假设分别用 x y z表示 x，y，z 轴方向棱边的相对伸长度，即正应变； 分别用 xy yz zx表示 x和 y，y和 z，z和 x轴之间的夹角变化，即切应变。则对于小变形问题，为了简化分析，将微分单元体分别投影到Oxy， Oyz， Ozx 平面

4、来讨论。显然，单元体变形前各棱边是与坐标面平行的，变形后棱边将有相应的转动，但我们讨论的是小 变形问题，这种转动所带来的影响较小。特别是物体位移中不影响变形的计算，假设各点的位移仅为自身 的大小和形状的变化所确定，则这种微分线段的转动的误差是十分微小的，不会导致微分单元体的变形有 明显的变化。首先讨论 Oxy 面上投影的变形。设ma，mb分别为 MA，MB的投影， ma，mb分别为 MA ， MB ，即变形后的 MA，MB的投影。 微分单元体的棱边长为 dx，dy，dz，M 点的坐标为（ x， y，z）， u（ x，y， z）， v（ x, y, z）分别表示 M 点 x， y 方向的位移分量

5、。则A 点的位移为 u（x+dx，y，z），v（x+dx，y，z）,B点的位移为 u（x，y+dy，z），v（x，y+dy，z）。 按泰勒级数将 A，B 两点的位移展开，并且略去二阶以上的小量，则A， B 点的位移分别为因为所以同理可得由此可以得到弹性体内任意一点微分线段的相对伸长度，即 正应变。 显然微分线段伸长，则正应变 x, y, z 大于零，反之则小于零。 以下讨论切应变表达关系假设 yx为与 x 轴平行的微分线段 ma 向 y 轴转过的角度， xy为与 y 轴平行的 mb向 x 轴转过的角 度。则切应变因为x 方向上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数是高阶小量的结论。同理可得y

6、x和 xy可为正或为负，其正负号的几何意义为： yx大于零，表示位移 v随坐标 x 而增加， 的微分线段正向向 y 轴旋转。将上述两式代入切应变表达式，则同理可得切应变分量大于零，表示微分线段的夹角缩小，反之则增大。综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为上述公式称为几何方程，又称柯西方程。柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已知位移，由位移函数的偏导数即可求得 应变；但是如果已知应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相对复杂。 这个问题以后 作专门讨论。几何方程给出的应变通常称为工程应变。如果使用张量符号，则几何方程可以表达为则应变分量 ij 将满足二阶张量的座标变换

7、关系，应变张量分量与工程应变分量的关系可表示为第十一节 纯变形位移与刚性转动位移学习思路 : 应变分量通过位移的偏导数描述了一点的变形，对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间 夹角的改变做出定义。 但是这还不能完全描述弹性体的变形， 原因是没有考虑微分单元体的刚体转动。 通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。 刚体转动通过转动分量描述。 刚性转动位移的物理意义：如果弹性体内某点没有变形，则无限邻近它的任意一点的位移由两部 分组成，平动位移和转动位移。如果发生变形，位移中还包括纯变形位移。应变可以描述一点的变形，即对微分平行六面体单元棱边的伸长

8、以及棱边之间夹角的改变做出定义。 但是这还不足以完全描述弹性体的变形，原因是应变分析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微 分单元体位置的改变，即单元体的刚体转动。通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。 设 P 点无限邻近 O 点，P 点及其附近区域绕 O 作刚性转动，转过微小角度。设转动矢量为 ， OP 之间的距离矢量为 ，如图 12.1 所示图 11.1则引入拉普拉斯算符矢量10S =ui +vj +wk设 P 点的位移矢量为 S，有由于位移矢量可以表示为 S = 所以11M 点的坐标 位移为（ u+du，其中x, y, z为转动分量，是

9、坐标的函数，表示了弹性体内微分单元体的刚性转动。设 为（ x， y， z），位移（ u，v， w）。与 M 点邻近的 N 点，坐标为（ x+dx，y+dy，z+dz）， v+dv，w+dw）。则 MN 两点的相对位移为（ du， dv， dw）。因为位移为坐标的函数，所以12同理可得以上位移增量公式中，前三项为产生变形的纯变形位移，后两项是某点邻近区域的材料绕该点像 刚体一样转动的刚性转动位移。刚性转动位移的物理意义为， 如果弹性体中某点及邻近区域没有变形， 则无限邻近这一点的位移， 根据刚体动力学可知，是由两部分组成。分别是随这点的平动位移和绕这点的转动位移。对于弹性体中某 一点，一般还要发

10、生变形，因此位移中还包括纯变形位移。总的来讲，与 M 点无限邻近的 N 点的位移由三部分组成的：131 随同 M 点作平动位移。2 绕 M点作刚性转动在 N点产生的位移。3 由于 M 点及其邻近区域的变形在 N 点引起的位移。转动分量 x, y， z 对于微分单元体，描述的是刚性转动，但其对于整个弹性体来讲，仍属于 变形的一部分。三个转动分量和六个应变分量合在一起，不仅确定了微分单元体形状的变化，而且确定了 方位的变化。位移增量公式如果使用矩阵形式表示，可得显然，位移的增量是由两部分组成的，一部分是转动分量引起的刚体转动位移，另一部分是应变分量引起的变形位移增量。第十二节 应变的坐标变换与应变

11、张量上一节我们引入了应变分量，本节将讨论不同坐标系下一点的应变分量的关系。与坐标转轴时的应 力分量的变换一样，我们将建立应变分量转轴的变换公式，即已知 ij 在旧坐标系中的分量，求其在新坐 标系中的各分量 ij 。14根据几何方程，坐标平动将不会影响应变分量。因此只需坐标转动时的应变分量变换关系，设新坐标系 Oxyz 是旧坐标系 Oxyz 经过转动得到的，如图 13.1 所示图 12.1新旧坐标轴之间的夹角的方向余弦为如图所示，设变形前的 M 点，变形后移至 M点，设其位移矢量 MM = S，则15所以, 新坐标系的位移分量为，根据几何方程，根据复合函数的微分关系16同理推导可得其余五个应变分

12、量的变换公式，即3)表示新旧坐标系之间的夹角的如果以 nij( i，j=1，2， 方向余弦，并注意到应变张量表达式，则上述应变分量变换公式可以写作ij=nii njj ij 因此，如果将应变分量写作下列形式17则应变分量满足张量变换关系。与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量。由公式可知，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定，即一 点的应变状态就完全确定了。不难理解，坐标变换后各应变分量均发生改变，但它们作为一个整体，所描 述的一点的应变状态是不会改变的。第十三节 体积应变本节介绍物体变形后的单位体积变化，即体积应变。 讨论微分平行六面体单元，如图 14.1 所

13、示图 13.1 变形前，单元体的三条棱边分别为MA，MB，MC，长 dx，dy，dz，其体积为： V= dxdydz设M 点坐标为（ x， y，z），则 A，B，C点坐标分别为（ x+dx，y，z），（x，y+dy，z）和（x，y，z+dz）。18弹性体变形后，其三条棱边分别变为MA， MB ， MC 。其中若用 V 表示变形后的微分单元体体积，则将行列式展开并忽略二阶以上的高阶小量，则19若用 e 表示单位体积的变化即体积应变，则由上式可得VVV 显然体积应变 e 就是应变张量的第一不变量xyzJ1。因此 e 常写作uvweJ1xyz处处为零，体积应变 e 大于零表示微分单元体膨胀，小于零则

14、表示单元体受压缩。若弹性体内 e则物体变形后的体积是不变的。第十四节 主应变和应变不变量弹性体内任一点的六个应变分量，即应变张量随着坐标轴的旋转而改变。因此是否可以像应力张量一 样，对于某一个确定点，在某个坐标系下所有的切应变分量都为零，仅有正应变分量不等于。即能否找到 三个相互垂直的方向，在这三个方向上的微分线段在物体变形后只是各自改变长度，而其夹角仍为直 角。 答案是肯定的。n1, n2, n3。 的长度 , 则在任何应变状态下，至少可以找到三个这样的垂直方向，在该方向仅有正应变而切应变为零。 具有该性质的方向，称为应变主轴或应变主方向，该方向的应变称为 主应变。 设 ij 为物体内某点在

15、已知坐标系的应变张量，求其主应变1 ， 2， 3 及应变主轴方向设 MN 为 M 点的主轴之一，其变形前的方向余弦为l， m， n，主应变为 。令 d 表示 MNMN 相对伸长为 d ，如图 15.1 所示20图 14.1设M 点的位移为（ u，v，w），则 N点的位移为（ u+du，v+dv，w+dw）。因为 du=在 x 方向的变形位移分量 +刚性转动位移在 x 方向的分量= l d + 刚性转动位移在 x 方向的分量根据公式即 du 等于纯变形位移与刚性转动位移在 x 方向的分量之和。根据上述公式，可得21或者写作同理可得22上述公式是关于 l，m，n 的齐次线性方程组。对于 l，m，n

16、 的齐次线性方程组，其非零解的条件为其系数 行列式的值为零。即将上式展开，可得求解主应变得特征方程，其中23显然与应力不变量相同， J1，J2，J3 为应变不变量，分别称为第一，第二和第三应变不变量。 根据特征方程，可以求解得到三个主应变。将求解后的主应变代入公式，并注意到任意一点三个 方向余弦的平方和等于 1，则可解应变主轴的方向余弦。由应力张量和应变张量，应力不变量和应变不变量之间的公式的比较可知，主应变和应变主轴的 特性与主应力和应力主轴是类似的。第十五节 应变协调方程学习思路 : 变形协调方程的数学意义是：要使以三个位移分量为未知函数的六个几何方程不矛盾，则应变分 量必须满足的必要条件

17、。应变协调方程的物理意义可以从弹性体的变形连续性质作出解释。如果变形不满足一定的关系， 变形后的物体将出现缝隙或嵌入现象，不能重新组合成连续体。为使变形后的微分单元体连续，应变分量必须满足一定的关系，这一关系就是应变协调方程，又 称圣维南( Saint Venant )方程。假如弹性体是单连通域的 , 应变协调方程不仅是变形连续的必要条件，而且也是充分条件。 利用位移函数的微分沿任意路径重新积分可以确定的位移必然是单值位移的条件，可以证明应变 协调方程。对于多连通域问题，应变分量满足变形协调方程只是位移连续的必要条件，只有加上位移连续补 充条件作为充分条件。几何方程表明， 六个应变分量是通过三

18、个位移分量表示的， 因此六个应变分量将不可能是互不相关的， 应变分量之间必然存在某种联系。这个问题对于弹性力学分析是非常重要的。因为如果已知位移分量，容易通过几何方程的求导过 程获得应变分量；但是反之，如果已知应变分量，则几何方程的六个方程将仅面对三个未知的位移函数， 方程数显然超过未知函数的个数，方程组将可能是矛盾的。随意给出六个应变分量，不一定能求出对应的位移。例如：24例 1 设 应 变 分 量 为，求其位移解：25显然该应变分量没有对应的位移。 要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。 以下我们将着手建立这一条件。首先从几何方程中消去位移分量，把几何方程的第一式和第二式

19、分别对 x 和 y 求二阶偏导数，然后相加，并利用第四式，可得26然后四和六两式相加并减去第五式，若将几何方程的第四， 五，六式分别对 z，x，y 求一阶偏导数， 则将上式对 x 求一阶偏导数，则27分别轮换 x,y,z，则可得如下六个关系式，上述方程称为应变协调方程或者变形协调方程，又称圣维南(Saint Venant )方程 .变形协调方程的数学意义是：要使三个位移分量为未知函数的六个几何方程不相矛盾，则应变分量必须满 足的必要条件。应变协调方程的物理意义可以从弹性体的变形连续作出解释。假如物体分割成无数个微分六面体 单元，变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单

20、元体将不能重新组合成 连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的微分单元体仍能重新组合成连续体，应变分量必须满足一定的关系，这一关系就是 应变协调方程。假如弹性体是单连通域的 , 则应变分量满足应变协调方程不仅是变形连续的必要条件，而且也是充 分条件。为证明应变协调方程是变形体连续的必要和充分条件，我们可利用弹性体变形连续的物理意义， 反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数的性质。我们的目的就是证明：如果已知应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就一定可以通过 几何方程的积分求得单值连续的位移分量。28下面我们推导单连通域的变形协调关系。所谓的单连通域，是指该物体内任一条闭曲线可以收

21、缩到一点而不越出界外。设应变分量ij 单值连续，并有连续的二阶导数，则由轮换 x, y, z 计算，可得 dv， dw 和 d y， d z 如果能够通过积分，计算出上述位移和转动分量如果是单值连续的，则可得到弹性体的位移单值连续的条件。保证上述位移单值连续的条件是其积分与积分路径P0P 无关。其充分与必要条件为29根据上述公式的第三式，可得同理根据上述公式的第四和第八式，可得x对 y， z的偏导数。即30将计算 x对 y， z的偏导数回代到公式的第一式，则可以得到转动分量x 表达式。如使 x 单值连续，其必要与充分条件是或写作31同理讨论 y和 z的单值连续条件可得出类似的四个公式。 将单值

22、连续的 x, y和 z 代入位移计 算公式，则可得到单值连续的位移u， v， w。由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。 如果弹性体中的一条封闭曲线，若收缩至一点必须越出域外，则为 :多连通域物体一个多连通域物体，可用若干个截面将物体部分的截开，使之成为单连通域。如果所需的截面数为 n ，则物体为 n+1 连域。平面为有两个环形孔的物体，两个截面即可使其成为单连通域，所以为三连域。对于多连通域问题，应变满足变形协调方程并不能确保位移在分割后的单连通域内单值连续。因 为当位移分别从截面两侧趋近于截面上的某一点时，一般的说其将趋于不同的值。分别用 u+ ，v+ ，w+和 u-

23、， v-， w-表示截面两侧的位移，则多连通域的位移单值连续条件还需要32补充条件u+=u- ， v+=v- ， w+=w- 因此，对于多连通域问题，应变分量满足变形协调方程只是位移连续的必要条件，只有加上上述 补充条件后，条件才是充分的。第十六节 弹性应变能函数弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要发生变化。当外力缓慢地（ 不致引起物体产生加速运动 ） 加到物体上时，视作静力，便可略而不计系统的动能，同时也略去其他能量（ 如热能等）的消耗，则外力势能的变化就全部转化为应变能（ 一种势能 ）储存于物体的内部。我们给出单位体积应变能的表达式。为此，以x作用在微小单元 ABCD两对边为例来说明 （图 18.1） 。图 16.1由图可知，作用在 ABCD单元上的外33x dydzdu , xdydz 在 CB边单位应变力为 AD与 CB边的 x。而 xdydz 在 AD边单位应变上所做的功为 上所做的功为 x