万有引力定律的推导及完美之处

1、万有引力定律的推导及完美之处现在由开普勒第一定律来求行星所受的力的量值。既然轨道为椭圆，我们就可把轨道方程写为r-,cos1,ecos或PP把这关系式卩=,cosh2卩2(,)=_FPP代入比耐公式d2m，就得到d2F=mh22(,)=d2问Pmh22h2mPr2这表明行星所受力是引力，且与距离平方成反比。乍一看来，似乎不需要开普勒第三定律就已经能推出胡克的万有引力公式。其实不然h2mF二一我们并不能把Pr2化成k2mF二一一h2mF二一r2，因为式Pr2中的h和P对每一个行星来讲都具有不同的数值（r2=h1r,P为椭圆曲线正焦弦长度的一半），而式中的k2是一个与行星无关的常数。开普勒第一定律

2、开普勒第二定律开普勒第三定律行星绕太阳作椭圆运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。行星和太阳之间的连线，在相等的时间内所扫过的面积相等行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。h2mk2mFF为了能把Pr2化为r2，就得利用开普勒第三定律，由行星公转的周期T242Pa3h2T2虽然h和P都是和行星有关的常数，但根据开普勒第三定律中a3是与行星无关的常数，可h2以得到h2（或P）是一个与行星无关的常数（即跟行星质量无关，而是由太阳决定了行h2h2mk2mk2FF一星轨道的性质）。因而可以令P，我们就可以把Pr2化为r2，h2mk2mF一Pr2r2此式称为胡克的万有引力公式。虽然得到这样一个简洁的公

3、式，但是我们没法根据这个公式构建相应的实验且求出k2常数。这就说明胡克的万有引力公式没有实用性。为了让胡克的万有引力公式变得有实用性，我们还得从k2这个常数着手研究。h2k2（1）因为令P，同时因为k2T2a3为（与行星无关的）常数,T24兀2P4兀24兀2k那么a3h2k2为常数，即k2也为常数。因为k是与行星无关的常数，根据因果关系，那么k就是与太阳有关的常数，不可能是其它因素有关的常数，也不可能与r有关。因为力不可能离开物体单独存在，万有引力是两个物体（太阳和行星）产生的。有了上面的确定，我们知道在k2为常数的时候，ms（太阳的质量）、m（行星的质量）k2mF2）从也是常数。化、m为常数

4、msm也为常数。近而k2匕m，k2ms，也是常数。常数与常数的加减乘除也是常数。r2中我们不难发现要求出k2似乎很难，即使从牛顿第三定律也只能得FFpsk2mF-pr2k2mF-ssr2k2mk2mSir2FFp是行星受到太阳的万有引力，Fs是太阳受到m质量行星的万有引力，m为行星的质量,ms为太阳的质量，skk是跟太阳有关的常数，k是跟行k2mk2ms从r2F-出F但是我们仔细观察pr2和sk2mSFkr2两式，可以看出p的大小跟s常数的大小有关，sFF的大小跟k常数的大小有关。我们还可以从生活中得到一个常识：一个物体受到星有关的常数，r为行星到太阳的距离。mr2可以知道一个方程两个未知常数

5、，（即便m和s知道）也无法求解,也无法构建相应的实验来验证。的万有引力不仅跟该物体的质量大小有关还跟对其产生万有引力的物体的质量大小有关。换句话说，我们这个引力体系不能同时缺少m和件中的任意一个。即ks常数跟太阳的质量ms有关，k常数跟行星的质量m有关。显然易见，（1）（2）都证明了k是跟质量有关的常数。也说明（1）的逻辑是对的。那么我们不妨设ks2Gsms，k2Gm，（其中显然易见Gs、G为常数），然后有F，FpFpsGmm-ssGmmssr2，Gmm.ggr2sGmm&sr2故有r2此式称为牛顿万有引力公式。这样我们就得到一个未知常数一个方程，可以求解方程了。同时由力学平衡条件F=_F我们可以用实验来求出G常数。这就是牛顿万有引力公式的优越性（实用，可验证，具有对称美）。k2mGmmF，F-s从r2到r2这步，我想当年牛顿只不过这么想的（k2既然是个常数,那么给它一个常数G然后把k2写成Gms也是一样的，带有一个ms更有利于计算和实验。），根本就没有经过严格的证明。