高中数学选修2-3配北师版-课后习题word版-第一章　计数原理习题课-二项式定理的应用

1、习题课二项式定理的应用课后篇巩固提升A组1.(a+b)n二项展开式中与第r-1项系数相等的项是()A.第(n-r)项B.第(n-r+1)项C.第(n-r+2)项D.第(n-r+3)项解析:因为第(r-1)项的系数为Cnr-2=Cnn-r+2,所以第(n-r+3)项与第(r-1)项的系数相等.答案:D2.使3x+1xxn(nN+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7解析:由二项式的通项公式得Tr+1=Cnr3n-rxn-52r,若展开式中含有常数项,则n-52r=0,即n=52r,所以n最小值为5.答案:B3.设函数f(x)=x-1x6,x0时,ff(x)表达式的展开式中

2、常数项为()A.-20B.20C.-15D.15解析:当x0时,f(x)=-x0,则ff(x)=-x+1x6=x-1x6.Tr+1=C6r(x)6-r-1xr=(-1)rC6rx6-r2x-r2=(-1)rC6rx3-r.令3-r=0,得r=3,此时T4=(-1)3C63=-20.答案:A4.已知21010+a(0a11)能被11整除,则实数a的值为.解析:根据题意,由于21010+a=2(11-1)10+a,由于21010+a(0aC20r+1319-r2r+1,C20r320-r2rC20r-1321-r2r-1,所以3(r+1)2(20-r),2(21-r)3r,即375r(n+2)2n

3、-1(nN+,n2).证明因为nN+,且n2,所以3n=(2+1)n展开后至少有4项.(2+1)n=2n+Cn12n-1+Cnn-12+12n+n2n-1+2n+12n+n2n-1=(n+2)2n-1,故3n(n+2)2n-1(nN+,n2).9.求证:1+2+22+25n-1(nN+)能被31整除.证明1+2+22+25n-1=25n-12-1=25n-1=32n-1=(31+1)n-1=Cn031n+Cn131n-1+Cnn-131+Cnn-1=31(Cn031n-1+Cn131n-2+Cnn-1),显然Cn031n-1+Cn131n-2+Cnn-1为整数,原式能被31整除.B组1.若(x

4、+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy0,则x的取值范围是()A.-,15B.45,+C.-,-45D.(1,+)解析:二项式(x+y)9的展开式的通项是Tr+1=C9rx9-ryr.依题意,有C91x9-1yC92x9-2y2,x+y=1,xy0,由此得x8(1-x)-4x7(1-x)20,x(1-x)1,即x的取值范围为(1,+).答案:D2.2 0152 015除以8的余数为()A.1B.3C.5D.7解析:2 0152 015=(2 016-1)2 015=2 0162 015+C2 01512 0162 014(-1)1+C2 0152 015(-1

5、)2 015,倒数两项和为2 0152 016-1,其除以8的余数为7,因此2 0152 015除以8的余数是7.答案:D3.x8=a0+a1(x-1)+a8(x-1)8,则a7=.解析:x8=1+(x-1)8=C80+C81(x-1)+C87(x-1)7+C88(x-1)8,a7=C87=8.答案:84.(2x-1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为.解析:因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10 x10,令x=1,得a0+a1+a2+a10=1,再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+a10,两式相减,可得a1+a3+a9=1-3102.答案:1-31025.设1x+

6、x23的展开式的常数项为a,则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为.解析:Tr+1=C3rxr-3x2r=C3rx3r-3,令r=1,得a=3,直线y=3x与曲线y=x2的交点坐标为(0,0)和(3,9),直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积S=03 (3x-x2)dx=32x2-13x303=92.答案:926.若(2x+3)4=a0+a1x+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为.解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+3)4,(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2

7、+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+3)4(-2+3)4=1.答案:17.求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明32n+3-24n+37=39n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(Cn+108n+1+Cn+118n+Cn+1n8+1)-24n+37=364(Cn+108n-1+Cn+118n-2+Cn+1n-1)+24Cn+1n-24n+40=643(Cn+108n-1+Cn+118n-2+Cn+1n-1)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除.8.已知在二项式(axm+bxn)12中,a0,b0,mn0且2m+n=0.(1)如果在它的展开式中,系数最大的项是常数项,则它是第几项?(2)在(1)的条件下,求ab的取值范围.解:(1)设Tk+1=C12k(axm)12-k(bxn)k=C12ka12-kbkxm(12-k)+nk为常