应用随机过程答案1

1、XX2.(1)求参数为(p,b)的r分布的特征函数，其概率密度为厂bpp(x)=r(p)xp-1e-bxx0bo,p是正整数0 x0V.(2)求其期望和方差。(3)证明对具有相同参数b的r分布，关于参数p具有可加性。解(1)首先，我们知道r函数有下面的性质：r(p)=(p-1)!bpr()xpiebxdx根据特征函数的定义，有C)=eIx=Fe推p()dx=Fejtxg0=Jr()xpie(bjt)xdx=_()xpie-(jt)x012M所以f()是非负定的。最后，根据定理1.3.1(第10页)，p(x)=2n$8J81e-jtxdt=12n81+122exxe(8,8)G21XG2111)

2、nMG21G2nIBl=1(1,1,l,n7.设X,X，,X相互独立服从正态分布N(z,G2)。试求n维向量12n(X,X，,X)的分布，并求其均值向量和协方差矩阵，再求X=11Lxini=1的概率密度函数。解.由于X,X,L,X相互独立服从正态分布N(a,G2)n维向量(X,X，,X)的均值向量为p=(a,a,L,a)，协方差矩阵为12B=，(X,X，,X)的分布为N,B)。12nG2根据题意，X=1工X。令/=16,1,1)，in则pl=a，ni=1根据性质1.4.4(第14页)，XNQ,IBl)=Na,11.设X,X和X相互独立，且都服从NG,l）。试求随机变量Y=1231和Y=X+X2

3、13组成的随机向量Y=（Y,Y）的特征函数。解.令X=(X,X,X)，则XN123j一0,111丿12Y=(Y,Y)=(X+X,X+X)=(X,X,X12:=XA根据性质1.4.5+X121一11_110211A=10110=121011312A、)321第15页），=N0,根据定理1.4.1第13页），(1)r12jpt_tBt=exp一_ttIY2Y丿I212丿(t)=expY=exp(-t2-tt-t2)112212.设X,X和X相互独立，且都服从N（0,1）。试求123（1）随机向量（X,X,X）的特征函数123（2）设S=X,S=X+X,S=X+X+X,求随机向量（S,S,S）的特1

4、12123123123征函数。（3）Y=X-X和Y=X-X组成的随机向量（Y,Y）的特征函数。12123212跟上题的解法完全一样。2、2、15.设X,Y是相互独立同服从正态分布NG,l)的随机变量讨论U=X2+Y2和V=的独立性。Y解.我们知道，随机向量(X,Y)的概率密度函数为X,Yy)=1e2n根据U=X2+Y2，有U0。由V=X知X=YV，代入U=X2+Y2，Y得U=(YV+Y2=(+V22，所以Y由两个解，即:11+V221+V2类似的，1+V2U1+V2UV1+V2U1+V2F面我们求Jacobi行列式。容易验证:dXV1=dU2U1+V2dY11=，dU2U1+V2dX1UdV(

5、1+v2/2dY=-UVdV(+v2)/2所以，dXJ=d(X,Y)=dU1=d(U,V)=dUdX1dV=-(1)dY2(1+V2)dV类似地，=22=d(U,V)因此，随机向量(u,V)的概率密度函数为2、2、gU,V(u,v)=2nexpuvuv1+v2uv2n(+lV2門-1+v21+v2丿丿1+v221+v21+v2由上式可得U和V的概率密度函数:gU(u)=J8g(u,v)dv=J8U,VgV882n2丿dv2nexp2j2丿8(1+1v2)dv=exp2j2丿所以，(v)=J8g(u,v)du=J8U,V882n+v2expj2+v2gU,V2ndu=即U和V是独立的。(+lV2

6、Zbdu2n+v2exp2j2丿(u,v)=g(u)g(v)UV2、2、17.设二维随机变量X,Y的概率密度函数为y)=x0,y0其它试求eIx|y=y。p1王e-y-ydx8ey0y解.容易验证，Y的概率密度函数为xy8=ey0所以X在Y=y下的条件概率密度函数为（第24页）X|Yyeyeyy2、2、2、2、相应的条件数学期望等于2、2、2、2、EkXY=yLj8xp(xIy)dx=0X|YJ8eydx=y,0yy0=0习题二=0=0布的随机变量，是常数，twCs,X）。试求：（1）xQ的一个样本函数；（2）x（t）的一维概率密度函数；（3）X（t）的均值函数和协方差函数。解.（1）由于A,

7、BnCq2），取A=B=0，则XQ三0是一个样本函数。（2）由于XQ=（A,B）C0SOt:=（A,B）C。根据性质144（第14页）知，对任意t，X(t)N0,CN(0,a2)a2=0=0所以X（t）的一维概率密度函数为2na23）容易计算：m(t)=EX(t)=04设WQt0是参数为a2的Wiener过程，求下列过程的均值和相关函数：1)X(t)=W2(t),t0(2)xC)=tW-,t0=0=03)X(t)=c-1W(c2t),t04)x(t)=W(t)-tW(t),t0解(1)卩(t)=ExC)=eW2()=D(t)=a21xWts，有RX=E=E=E假设(s,t)=Ex(s)x(t)

8、=EW2(s)W2(t)(W(s)-W(0)2(W(t)-W(s)+W(s)2)(W(s)-W(0)2W(t)-W(s)2+2(W(t)-W(s)+W2(s)(W(s)-W(0)2(W(t)-W(s)2+2E(W(s)-W(0)2(W(t)-W(s)+E(W(s)-W(0)2W2(s)由于WQt0是Wiener过程，所以是独立增量过程，所以E(W(s)-W(0)2(W(t)-W(s)2=E(W(s)-W(0)2E(W(t)-W(s)2=a2sa2(t-s)E(W(s)-W(0)2(W(t)-W(s)=E(W(s)-W(0)2E(W(t)-W(s)=0E(W(s)-W(0)2W2(s)=EW4(

9、s)因为f()=e-寺，所以根据性质136(第9页)，有W(s)EW4()=f(4)(0)=3a4s2j4W(s)所以，R(s,t)=a2sa2(t-s)+3a4s2=a4(st-s2)+3a4s2=a4st+2a4s2x类似的，当st时，有R(s,t)=a4st+2a4t2X(2)卩Q=eIxC)=EtW-X/1=a2mins,t丨st丨（3）假设卩(t)=EXQ=eL-iWC=0Xts=0Rs,t=c-2ElWEX(s)X(t)=Ec-1W(c2s)c-1W(c2t)=c-2EW(c2s)W(c2t)c2s)(W(c2t)-W(c2s)+W(c2s)=c-2EW(c2s)-W(c20)(W

10、(c2t)-W(c2s)+c-2EW2(c2s)所以（4）=c-2Q2c2s=a2sR(s,t)=a2mins,tX卩(t)=EXQ=eW(t)-tWQ=0XR(s,t)=EX(s)X(t)=E(W(s)-sW(s)(W(t)-tW(t)=EW(s)W(t)-tEW(s)W(t)-sEW(s)W(t)+stEW(s)W(t)=(1-s-t+st)ElW(s)W(t)=(1-s-t+st)a2mins,t129.设某电报局接受的电报数nQ组成Poisson流，平均每小时接到3次电报。求：（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率；（2）下午第一个电报的到达时间的分布。解.（1）由于nQ是Po

11、isson流，满足pn（s+1）-N（s）=n=e-3t,t0n!所以一上午（8点到12点）没有接到电报的概率等于P（8+4）N（8）=0=%4e*=e-120!（2）类似的，用T表示下午第一个电报的到达时间。那么T的分布11为（定理2.6.3,第41页）F（t）=PTt=1PV（t）=0=1e-3tT1111210.设t0和t0分别为强度为九和九的独立的Poisson过1212程。令X(t)=N(t)-NC),t0,求xQt0的均值函数和相关函12数。解.容易知道，xt0的均值函数为卩(t)=Elx(t)=EIn(t)-N(t)=0X12XQt0的相关函数为R(s,t)=EIx(s)x(t)

12、=EI(N(s)-N(s)(N(t)-N(t)=EIN(s)N(t)-EIN(s)N(t)-EIN(s)N(t)+EIN(s)N(t)11122122根据定理2.6.1(第40页),有2st+入min11EnOn(t)=rC,t)=入11N1EIN(s)N(t)=22N2(s,t)=入2st+入22min1212因为NQt0和N()t0相互独立，所以12En(s)NC)=卩(shC)=入入st12N1N212E|N(s)N(t)=XXst21122入入st习题三1设随机过程x(t),teT定义为X(t)=acos6t+g),其中a,为常数,g服从(0,2n)上的均匀分布，(1)证明R(s,t)

13、=cos6C-s)X2(2)求X(t)解.(1)飞品机-1)+牛品仏+t)+2g)RCs,t)=EXCs)XCt)=EacosCos+g)acosCot+g)Xa2=cos一t)+J2ncos(B(s+1)+2r)1dr2202ncosoCs-t)22)后先，X(t)=acosCot+g)=acos6t)cos(g)-asinCot)sin(g)根据性质3.3.3(第57页)，X(t)=-aosinCoJcosg)-aocosCoJsinCg)=-asinCot+g)2.设X(t)均方可微，f(t)是普通的可微函数，则f(t)X(t)均方可微，且有f(t)X(t)=f(t)X(t)+f(t)X

14、(t)证明。根据随机变量可微的定义3.3.1(第54页)，只需证明TOC o 1-5 h zf(+At)X(+At)fC)X0C/、/f/)rasAC丿丿-f(t)X(t)+f(t)X(tyt0asAtt0At因为，f(t+At)X(t+At)-f(t)X(t)()-f(t)X(t)+f(t)X(t)Atf(t+At)X(t+At)-f(t)X(t+At)+f(t)X(t+At)-f(t)X(t)()-f(t)X(t)+f(t)X(t)Atf(t+At)X(t+At)-f(t)X(t+At)f(t)X(t+At)-f(t)X(t)-f(t)X(t)+-f(t)X(t)AtAtf(t+At)X(

15、t+At)-f(t)X(t+At)-f(t)X(t+At)+f(t)(X(t+At)-X(t)Atf(t)X(t+At)-f(t)X(t)-f(t)X(t)AtAtf(t+At)-f(t)-f(t)X(t+At)+f(t)X(t+At)-X(t)+f(t)X(t+At)-X(t)-X(t)At由于xQ均方可微，f(t)是普通的可微函数，所以f(+At)fC)、门X(+At)XC)、c当AC-f(t)t0,-X(t)t0当Att0AtAt另外，由定理3.3.1(第54页)，xQ均方可微推出xQ均方连续,所以X(+At)X(t)t0当Att0。综上所述，我们有f(t+At)X(t+At)f(t)X

16、(t)()当。丿丿f(t)X(t)+f(t)X(tyt0当Att0。At所以，根据定义，f(t)X(t)=f(t)X(t)+f(t)X(t)习题四11.设宽平稳过程&QtwCs)的自相关函数为R(t)=e-t,对满足Y随机微分方程X)+X(t)=YC)的宽平稳过程xQtwCs,g)，(1)求X的均值函数、自相关函数和功率谱密度；(2)求X和Y的互相关函数和互功率谱密度。解.由题意可知，A=-1,B=1,C=1,D=0，所以脉冲相应函数为hC)=CeAtB=e,t0m(t)=mJgh(t)dt=mJge-tdt=m(定理4.4.2，第83页)XY-gY0Y下面我们先求S6)，由维纳-辛钦公式(定

17、理4.3.1，第76页)知YS6)=J*Rd-肿dT=J*e-te-肿dT=-gY-g1+2另外，脉冲相应函数hQ的Fourier变换为H6)=Ph(t)e-jtdt=Pe-te-jetdt=_，-g01+2所以h6)2=1。根据定理4.4.2(第83页)，我们有1+2S6)=H6)2S6)=(2)XY+2所以，根据定理4.3.2(第76页)，R(T)=J*SGlitedx2n-gx2nJg(Tl-1+e22eiTdeX和Y的互功率谱密度为(定理4.4.3,第84页)SYX(o)=H(o)S6)=1_购-Y1+21+2X和Y的互相关函数为2222R(T)=(h*R)(T)=J*h(s)R(T-

18、s)dsYXY-*Y=J*h(s)R(T-s)ds=J*e-se-T-sds0Y022222222当T0时,22222222RYXe-se-G-s)dS+J*e-$eG-$)dS=Te-t0Te-3T+222222222当T0时,22222222RYX(T)=J*e-se(T-s)dseT22222222因此,我们有22222222R(T)=0eTT03)3)15.已知平稳过程(参数连续)的谱密度b其它S6)中2,0)X10其它S6)=工巳,(Q为正数)X2+2kkk=1k解.(1)根据定理4.3.2(第76页)2nC)-丄J2n8aed=b2nejTbb2jsin(bT)-asin(bT)n

19、TjbT一ejbT3)3)3)3)平均功率为R(0)-limR(T)-asinbTlim-limtt0tt0nTtt0absinQnbTabn3)3)3)3)2)R(T)-1x2nJ8S()ejTd-8X2na2ab2ejTd+2n2aab2ejTdb212njTj2aTejaT+ejaTej2aT)-b22j(sin(2aT)sin(aT)2njT3)3)3)3)(2cos(aT)l)sin(aT)nT3)3)3)3)R(0)-limR(T)-lim(2cos(aT)1)sin(aT)-limXXttOttOnT哝泌ar2(2cos(aT)1)-TTO兀Taab2n2XX2XXO=2卩k=1

20、k=1a2-82n-8(adTd=工1J+1k=12n-8R(0)=limRlima2kk=1ttOttO12ekTa2k-k=1kXX19.设xQgt0，Y(t)=X(t+h)-X(t)是平稳过程(即平稳过程具有平稳增量)，并求Y的谱函数。解.显然，EY(t)=EX(t+h)-X(t)=0R(T)=EY()Y(+T)=eTx(t+T+h)-X(t+T)X(t+h)-X(t)=Etx(t+T+h)X(t+h)-ex(t+T+h)X(t)-ex(t+T)X(t+h)+ex(t+T)X(t)=R(T)-RG+h)-RG-h)+R(T)=2RO-RG+h)-RCh)XXXX根据定义4.1.2(第71

21、页)，y是平稳过程。根据定理4.3.2(第76页)，XXXX-jtdt-jtdt-X-jtdtX=2AR(t-jtdt-AR=2(1-cos(h)S()k=-gk=-gk=-gk=-g22.设x,n=0,l,2,.是白噪声序列，试证明nY=丄lx+X+Xnmnn-ln-m+l是平稳时间序列，并求其相关函数及谱密度。解.由于x,n=0,1,2,l是白噪声序列，所以nex=0,n=0,1,2,nR(n,n+1)=EXX=j1=Xnn+l0l丰0由上面两式可得，EY=E丄x+x+xn-1n-m+1k=-gk=-gk=-gk=-gk=-gk=-gk=-gk=-g+l-m+1)+1)+Xn+l-m+1R

22、(n,n+l)=EYYYnn+l=E丄Dx+X+X丄X+X+mnn-ln-m+lmn+ln+l-lk=-gk=-gk=-gk=-gm2m-lm2根据定义4.1.2（第71页），Y是平稳过程。nk=-gk=-gk=-gk=-gk=-gk=-gk=-gk=-gS6)=区R(k)e-jkYm-ke-jkm226.设y是均方二次可导的平稳过程，X是均方连续的平稳过程，且满足：Y”C)+BYC)+w2YC)=XC)0试用X的谱函数表示Y的谱函数及X与Y的互谱函数解。令Y=Y。则1Y=Y，Y=-PY-2Y+X(t)110YY1Y=10一20Y0-Y11一卩Y+Y1所以01一2一p00B=1C=10-D=0

23、，h(t)=CeAtB=1001_20-卩一丿_1_t06)=Fh(t)e-jtdts6)=h6)2s6)，YXsXYas6总d一8X6)=h6)r6)=h6)rG)=h(o)J，qx2n30.设XC)=Acos6t+0)twCs,s),其中，是常数，A,0是相互独立的随机变量，且0服从区间G,2n)上的均匀分布，试研究X的均值函数的各态历经性。解.容易验证，m(t)=EX(t)=EAcos(ot+0)=EAEcos(ot+0)=0,XR(T)=EX(t)X(t+T)=EAcos(ot+0)Acos(o(t+T)+0)=EA2Ecos(ot+0)cos(o(t+T)+0)=EL2丄cosCdt

24、)2面我们验证均值遍历性(定理4.6.1，第93页)：limTs=1U4t0COS(BT)dTEA2-limTT84T20”TCOS(OT)dT容易验证，limEj2Tcos(BT)dTlimEsinCot)2t2T0Tfg2T0EA2(sin(2oT)-1)E=limlim=02TToTTdsin(dt)TfgEA2limj2TTcos(DT)dT=limTT84T20TT84T2=lim已TfgA2(Tsin4T2I00sin(DT)dT丿所以，EA2limTfg4T20EA2=lim+limt82Tt84T202TTcos(oT)dTlim4T2osin(oT)+lime2tsin(DT

25、)dT=00TfgTfg4T202Tsin(oT)dT所以均值具有遍历性。习题五2.x,n=1,2,是随机差分方程X=pX+1的解，其中p是已知常nnn-1n数,X=0，而,n=1,2,l是独立同分布的取可数值的随机变量。试0n证明X,n=1,2,l是马氏链。n证明.容易证得：PX=j|X=i,Xn+1nn=PX-pX=j-pi|Xn+1n=PI=j-pi|Xn+1nn=PI=j-pinn+1n+1=i，Xn-1n-1=i,Xn=in-1nn=i,Xnn-1=i,X=00,X1=i,X1011=in-1n-1，X1=i,X=0=010类似的，PXn+1=PX=PIn+1=j|Xn-pXn+1n

26、=j-pi=in=j-piin|Xn=in所以PXn+1=j|Xn即X,n=1,2,l是马氏链。n=i,X=i，,X=i,Xnn-1n-1110=0=PXn+1=j|X=inn3.有两个状态0和1的马氏链x,n=0,1,l，其状态转移概率矩阵为nP=pqqp其中p+q=1。试征:（1）n阶状态转移概率矩阵为1P(n)=1+(p-q1-(p-q21-(p一q1+(p一q(2)设px=1=a，求P(X=11X=1001证明：（1）首先，根据C-K方程（推论5.2.1,第105页）,P（n）=Pn,n=1,2,L。下面我们用数学归纳法证明式（1）成立。当n=1时，1+(p-q)1-(p-q)pq1-(p-q)1+(p-q)_qp_=P1P(1)=2假设当n=k时,1P(k)=1+(p-q)k1-(p-q)k21-(p一q1+(p一q丄成立，则当n=k+1时，根据C-K方程,1P(k+1)=P(k)