北师大版九年级上册数学教学课件 第4章 图形的相似

1、经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.1 比例线段第四章 图形的相似第1课时 线段的比和成比例线段1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点）2理解成比例线段的概念；（重点）3掌握成比例线段的判定方法（难点）学习目标问题1 下面两张邮票有什么特点？有什么关系？导入新课情境引入问题2 多啦 A 梦的 2 寸照片和 4 寸照片，它的形状改变了吗？大小呢？下面图形有什么相同和不同的地方？讲授新课图形的放大与缩小一观察与思考相同点：形状相同不同点：大小不相同图形的放大 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.图形的缩小两个图形相似图形的缩小归纳： 你

2、见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？思考：线段的比和成比例线段 二 如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度分别是m , n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即ABCDmnAB:CD= m : n 或 如果把 表示成比值k,那么 =k，或AB=k CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.1.若线段AB6cm，CD4cm，则 .2.若线段AB8cm，CD2dm，则 .思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？有关？无关？求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同.注意：虽然两条线段的比要在单位统一的前

3、提下进行，但比值却是一个不带单位的正数.练一练4.五边形ABCDE与五边形ABCDE形状相同，AB5cm，AB3cm，ABAB .ABCDEABCDE533.已知线段AB8cm，AB2cm，ABAB的比为 ，ABAB的比值为 ，ABAB.4144练一练你能举出生活中使用线段的比的例子吗？做一做：设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD, EF, EH的长度分别是多少？AB CDGHEF计算 的值，你发现了什么？AB CDGHEF四条线段a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a , b ,c , d叫作成比例线段，简称

4、比例线段.归纳总结AB，EF，AD，EH是成比例线段，AB，AD，EF，EH也是成比例线段.注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！ 例1：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：（1）a4，b6，c5，d10；解：（1）线段a、b、c、d 不是成比例线段，典例精析（2）a2，b，c，d （2）线段a、b、c、d是成比例线段 注意: 1.若a:b=k , 说明a是b的 k 倍； 2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致； 3.两条线段的比值是一个没有单位的正数； 4.除了a=b外,a:bb:a, 互为倒数.1.判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？成

5、比例线段不成比例线段2.下列各组线段中成比例线段的是（）C练一练解：根据题意可知,AB=am, AE= a m,AD=1m . 由 ，得 即 开平方,得 例2：一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么a的值应当是多少？DAFECB当堂练习1.一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比为（ ） A.100:3 B.1:3 C.10:3 D.1000:32.甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例尺为（ ） A.5:1 B. 1:5 C.1:500000

6、D.500000:1AC解：根据题意可知, , AB = 15 , AC = 10 , BD = 6. 则 AD = AB BD =15 6= 9. 则3.已知 ，AB=15，AC=10，BD=6求AEABCDE1.一条线段的长度是另一条线段的5倍，则这两条线段的比等于 .2.已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则线段d= .3.已知三个数2，4，6，添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数为 .4cm，3，1251拓展练习经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.1 成比例线段第四章 图形的相似第2课时 比例的性质1.理解并掌握比例的

7、基本性质和等比性质；（重点）2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点）学习目标导入新课观察与思考 如图的(1)和(2)都是故宫太和殿的照片，(2)是由(1)缩小得到的.（1）（2）PQPQ 在照片(1)中任意取四个点P，Q，A ， B在照片(2)找出对应的两个点P，Q，A , B 量出线段PQ，PQ，AB， AB的长度.计算它们的长度的比值.AABB讲授新课比例的基本性质一合作探究问题1：如果四个数a , b, c, d成比例，即 那么ad = bc吗？反过来如果ad = bc,那么a , b, c , d四个数成比例吗？如果四个数a,b,c,d成比例，即那么a

8、d=bc吗？在等式两边同时乘以bd,得ad=bc由此可得到比例的基本性质：如果 ，那么 ad=bc.由此可得到比例的基本性质：如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 .如果ad=bc,那么等式 还成立吗？在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式中，分母不能为0.典例精析 例1：根据下列条件，求 a : b 的值：（1） 4a=5b ；（2）（2） ，8a=7b，解 （1） 4a=5b，例2：已知 ，求 的值.解：解法1：由比例的基本性质，得2（a+3b）=72b.a=4b， = 4.解法2：由 ，得 .,，那么、各等于多少？2已知1已知：线段a、b、c满足关系式且b4，那

9、么ac_，练一练16问题2：已知a , b, c, d, e, f 六个数，如果 （b+d+f0）,那么 成立吗？为什么？ 设 ,则 a = kb, c = kd , e= kf . 所以等比性质二由此可得到比例的又一性质：例3：在ABC与DEF中，已知 ，且ABC的周长为18cm,求DEF得周长.解： 4(AB + BC + CA)=3(DE + EF + FD). 即 AB+BC+CA = (DE+EF+FD) ， 又 ABC的周长为18cm， 即 AB+BC+CA=18cm. DEF的周长为24cm.例4：若a，b，c都是不等于零的数，且 ，求k的值.得 ，则k2；当abc0时，则有ab

10、c.此时 综上所述，k的值是2或1.解：当abc0时，由 ，1.(1)已知 ，那么 = ， = . (3)如果 ，那么 . (2)如果 那么 .当堂练习2.已知四个数a，b，c，d成比例.（1）若a=-3，b=9，c=2，求d；（2）若a=-3，b= ，c=2，求d.比例的性质如果 那么 ad = bc基本性质等比性质如果ad = bc（a , b, c, d）都不等于0，那么课堂小结经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.2 平行线分线段成比例第四章 图形的相似1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论;（重点）2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）学

11、习目标观察与猜想下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AD,BE1,CF互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？abcDE=EF导入新课DFE讲授新课平行线分线段成比例（基本事实）一 如图，小方格的边长都是1，直线 abc，分别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.合作探究A1A2A3B1B2B3mnabc图A1A2A3B1B2B3mnabc (1) 计算 ，你有什么发现？(2) 将 b 向下平移到如图的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结 论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？ A1A2A3B1B2B3mna

12、bc图(3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线， 用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？ 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：若ab c ，则 ， ， 归纳： A1A2A3B1B2B3bca1. 如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？ 想一想： 如图，已知l1l2l3，下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D.D练一练ACEBDFl2l1l3 如图，直线ab c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，平行线分线段成比例定理的推论二A1A2A3B1B2B3

13、bcmna观察与思考把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.A1A2A3bcmB1B2B3na 直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A1(B1)A2A3B2B3( )A1A2A3bcmB1B2B3na 直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A2(B2)A1A3B1B3( ) 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.A1(B1)A2A3B2B3A2

14、(B2)A1A3B1B3 归纳： 如图，DEBC， ，则 ；FGBC， ，则 . 练一练ABCEDFG例1 如图，在ABC中， EFBC.(1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ABCEF典例精析解：解得 AF = 4.(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多 少？ ABCEF解：解得 AC = . FC = ACAF = . 如图，DEBC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC= ；FGBC，AF=4.5，则AG= .ABCEDFG练一练7.56例2：如图：在ABC中,点D、E、F分别在

15、边AB、AC、BC上，且DE/BC、EF/AB.若AD=2BD. (1)求证： (2)求 的值.ABCDEF解：DE/BC，EF/AB又AD=2BD1.如图，已知l1l2l3，下列比例式中错误的是()A. B.C. D.D当堂练习2. 如图，在 ABC 中，EFBC，AE=2cm，BE=6cm， BC = 4 cm，EF 长 ( )AA. 1cm B. cm C. 3cm D. 2cmABCEFABCED2.填空题:如图:DEBC,已知:则 .3.在ABC中，ED/AB，若 ，则4. 如图，已知菱形 ABCD 内接于AEF，AE=5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长. 解： 四边形 AB

16、CD 为菱形，BCADEFCDAB， 设菱形的边长为 x cm，则CD = AD = x cm，DF = (4x) cm， 解得 x = 菱形的边长为 cm.5.如图，AB=AC，ADBC于点D,M是AD的中点，CM交AB于点P,DN CP.（1）若AB=6cm，求AP的长；（2）若PM=1cm,求PC的长.拓展提升解：(1)AB=AC，ADBC于点D,M是AD的中点,DB=DC,AM=MD.DN CP,又AB=6cm，AP=2cm.（2）若PM=1cm,求PC的长.DN CP,又PM=1cm，PC=2ND=4PM=4cm.解：由（1）知AP=PN=NB,课堂小结两条直线被一组平行线所截，所得

17、的对应线段成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例基本事实平行线分线段成比例经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.3 相似多边形第四章 图形的相似1.了解相似多边形和相似比的概念.2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形.（重点）3.掌握相似多边形的性质,能根据相似比进行相关的计算.（难点）学习目标导入新课观察与思考想一想:下面几组图形有什么相同点和不同点?（1） （2） （3） （4） 放大镜下的图形和原来的图形有什么相同与不同吗？放大镜下的角与原图形中角是什么关系?相似多边形与相似比一A1B1C1D1E1F1ABCDEF 多

18、边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A1B1C1D1E1F1 是投射到银幕上的.观察与思考讲授新课问题1 这两个多边形相似吗？问题2 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？问题3 在这两个多边形中，夹相等内角的两边否成比例？A1B1C1D1E1F1ABCDEF各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似比：相似多边形的特征：相似多边形的定义：要点归纳相似多边形用符号“”表示，读作“相似于” 任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？a1a2a3an分析：已知等边三角形

19、的每个角都为60, 三边都相等. 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.议一议同理，任意两个正方形都相似.归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.a1a2a3an思考：任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？例1 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角，的大小和EH的长度 x.典例精析DABC1821788324GEFHx118在四边形ABCD中，360(7883118)81.C83，AE118.解： 四边形 ABCD 和 EFGH 相似， 它们的对 应角相等由此可得DABC1821788324GEFHx118 四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边成比例，由此可得

20、解得 x 28 cm.，即 .DABC1821788324GEFHx118 如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b， c，d 的长度532cd7.5ba69练一练解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.所以未知边a，b，c，d的长度分别为3，4.5，4，6. ， ， ， ，例2：如图，在四边形ABCD中，ADBC，EFBC，EF将四边形ABCD分成两个相似四边形AEFD和EBCF.若AD=3，BC=4，求AE:EB的值.解：四边形AEFD四边形EBCF, .EF2=ADBC=34=12,EF= .四边形AEFD四边形EBCF,AE:EB=AD:EF

21、=3: = :2.ABCDEF当堂练习1. 下列图形中能够确定相似的是 ( )A.两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形ABDF2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得 甲、乙两地的距离是 5cm，则甲、乙两地的实际 距离是 ( )A. 3000 m B. 3500 m C. 5000 m D. 7500 mD3. 如图所示的两个四边形是否相似？答案：不相似.4. 观察下面的图形 (a)(g)，其中哪些是与图形 (1)、 (2) 或 (3) 相似的？5. 填空：(1) 如图是两个相似的四边 形，则x

22、= ，y = ， = ；(2) 如图是两个相似的矩形， x= .65806125803xy图35302015x图2.5 1.5 9022.5 6. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF，若矩形ABCD 与矩形 EABF 相似，AB = 1 (1) 求BC长；ABCDEF解： E 是 AD 的中点， .又矩形 ABCD 与矩形 EABF相似，AB=1， ， AB2 = AEBC， .解得(2) 求矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比.ABCDEF解：矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比为：相似图形形状相同的图形叫做相似图形 相似图形的大小不一定相同相似多边形对应边的比叫做相似比

23、对应角相等，对应边成比例课堂小结相似多边形相似多边形经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.4 探索三角形相似的条件第四章 图形的相似第1课时 利用两角判定三角形相似1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件.2.掌握相似三角形的判定定理1.（重点）3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）学习目标问题1：这两个三角形有什么关系？观察与思考全等三角形导入新课 那这样变化一下呢？相似三角形相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.对应角？对应边？问题2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？全等是一种特殊的相似定义 判定方法

24、全等三角形相似三角形三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似 角边角ASA角角边AAS边边边SSS边角边SAS斜边、直角边HL问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？需要三个等量条件思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？ 学校举办活动，需要三个内角分别为90，60，30的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？导入新课情境引入？讲授新课问题一 度量 AB，BC，AC，AB，BC，AC 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？CABABC两角分别相等的两个三角形相似一合作探究

25、 与同伴合作，一人画 ABC，另一人画 ABC，使A=A，B=B，探究下列问题：这两个三角形是相似的证明：在 ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，截取 AD=AB，过点 D 作 DE / BC，交 AC 于点 E，则有ADE ABC，ADE =B.B=B，ADE=B.又 AD=AB，A=A，ADE ABC，ABC ABC.CAABBCDE问题二 试证明ABCABC.由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似. A=A，B=B， ABC ABC.符号语言：CABABC归纳：例1：如图，D,E分别是ABC的边AB,AC上的点，DEBC, AB=7，AD=5，D

26、E=10，求BC的长.解：DEBC, ADE=B，AED=C. ADEABC (两角分别相等的两个三角形相似). BC=14.BADEC典例精析 如图，ABC中，DEBC，EFAB，求证：ADEEFC. AEFBCD证明: DEBC，EFAB，AEDC，AFEC. ADEEFC. 练一练证明：BAC= 1+ DAC，DAE= 3+ DAC，1=3， BAC=DAE. C=1802DOC ，E=1803AOE，DOC =AOE（对顶角相等）， C= E. ABCADE.例2：如图，1=2=3，求证：ABC ADEABCDE132O归纳总结 解： EDAB，EDA=90 . 又C=90 ，A=A，

27、 AED ABC.例3 如图，在 RtABC 中，C = 90，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，EDAB，垂足为D. 求AD的长.DABCE 由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.归纳总结当堂练习1. 如图，已知 ABDE，AFC E，则图中相 似三角形共有 ( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对C2. 如图，ABC中，AE 交 BC 于点 D，C=E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( )A.B.C.D.ACABDEABDC3. 如图，点 D 在 AB上，当 (或 = )时

28、， ACDABC； ACD ACB B ADB证明： 在 ABC中，A=40 ， B=80 ， C=180 AB=60 . 在DEF中，E=80 ， F=60 . B=E，C=F. ABC DEF.4. 如图，ABC 和 DEF 中，A=40，B=80，E=80 ，F=60 求证：ABC DEF. ACBFED证明： ABC 的高AD、BE交于点F， FEA=FDB=90，AFE =BFD (对顶角相等). FEA FDB，5. 如图，ABC 的高 AD、BE 交于点 F 求证： DCABEF利用两角判定三角形相似 定理：两角分别相等的两个三角形相似课堂小结相似三角形的判定定理1的运用 经典

29、专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用第四章 图形的相似4.4 探究三角形相似的条件第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似学习目标1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理2（难点）问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗?3355不相似观察与思考问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？3355相似导入新课讲授新课 利用刻度尺和量角器画 ABC和 ABC，使A=A， 量出 BC 及 BC 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？ABC 与 ABC 有何关系？

30、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似合作探究两个三角形相似改变 k 和A 的值的大小，是否有同样的结论？我们来证明一下前面得出的结论：如图，在ABC与ABC中，已知A= A，证明：在 ABC 的边 AB 上截取点D，使 AD = AB过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 E. DEBC， ADEABC.求证：ABCABC.BACDEBAC AE = AC . 又 A = A. ADE ABC， ABC ABC.BACDEBAC AD=AB，由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似符号语言： A=A，BACBAC ABC ABC .归纳： 对于ABC和

31、 ABC，如果 AB : AB= AC : AC. B= B，这两个三角形一定会相似吗？ 不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等. A B C思考： A B B C结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.典例精析例1 根据下列条件，判断 ABC 和 ABC 是否相似，并说明理由：A=120，AB=7 cm，AC=14 cm，A=120，AB=3 cm ，AC=6 cm解： 又 A = A， ABC ABC.1. 在 ABC 和 DEF 中，C =F=70，AC = 3.5 cm，BC = 2

32、.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：DEFABC.ACBFED证明： AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，又 C =F = 70， DEF ABC.练一练2. 如图，ABC 与 ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，DAB=CAE. 求证：ABC ADE.证明： ABC 与 ADE 是等腰三角形， AD =AE，AB = AC，又 DAB = CAE， DAB +BAE = CAE +BAE，即 DAE =BAC，ABC ADE.ABCDE解： AE=1.5，AC=2， 例2 如图，D，E分别是

33、 ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.ACBED又EAD=CAB， ADE ABC，提示：解题时要找准对应边.证明： CD 是边 AB 上的高， ADC =CDB =90.ADC CDB， ACD =B， ACB =ACD +BCD =B +BCD = 90.例3 如图，在 ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ACB=90ABCD 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.当堂练习1. 判断(1) 两个等边三角形相似 ( )(2) 两个直角三角形相似 ( )(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )(4) 有一个角

34、是50的两个等腰三角形相似 ( )2. 如图，D 是 ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 ABC DBA的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD BC D. AB2 = BD BCDABCD3. 如图 AEB 和 FEC (填 “相似” 或 “不相似”) . 54303645EAFCB12相似解析：当 ADP ACB 时，AP : AB =AD : AC ， AP : 12 =6 : 8 ，解得 AP = 9；当 ADP ABC 时，AD : AB =AP : AC ， 6 : 12 = AP : 8 ，解得

35、AP = 4. 当 AP 的长度为 4 或 9 时，ADP 和 ABC 相似4. 如图，已知 ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长 度为 时，ADP 和 ABC 相似.ABCD4 或 9 PP5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 B =ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长ABCD解：AB=6，BC=4，AC=5，CD= ， 又B=ACD， ABC DCA， ， 6. 如图，DAB =CAE，且 AB AD = AEAC，求证 ABC AED. ABCDE证明： AB AD = AEAC

36、， 又 DAB =CAE， DAB +BAE =CAE +BAE ，即DAE =BAC， ABC AED. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹角判定三角形相似课堂小结相似三角形的判定定理的运用 经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.4 探究三角形相似的条件第四章 图形的相似第3课时 利用三边判定三角形相似 1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理.2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进 行相关计算. (重点、难点)学习目标2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获 得证明三角形相似的启发吗？导入新课1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学

37、过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？ABCDE复习引入3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通 过三边来判定两个三角形相似呢？讲授新课三边成比例的两个三角形相似合作探究 画 ABC 和 ABC，使 ，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？ABCCBAABCCBA 通过测量不难发现A=A，B=B，C=C，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 ABC ABC. 下面我们用前面所学得定理证明该结论. CBA证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=AB， 过点 D 作 DEBC 交AC于点 E. DEBC ， ADE

38、ABC. DE=BC，EA=CA.ADEABC， ABC ABC.BCADE又 ，AD=AB， ， . 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似 ， ABC ABC.符号语言：归纳总结例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由ABC33.54DFE1.82.12.4典例精析解：在 ABC 中，AB BC CA，在 DEF中， DE EF FD. ABC DEF. ABC33.54DFE1.82.12.4 ， ， ， . 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短

39、边对应.归纳总结 已知 ABC 和 DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(3) AB=12， BC=15， AC24， DE16，EF20， DF30.(2) AB=4， BC =8， AC10， DE20，EF16， DF8；(1) AB =3， BC =4， AC6， DE6， EF8， DF9；是否否练一练例2 如图，在 RtABC 与 RtABC中，C =C = 90，且 求证： ABCABC. 证明：由已知条件得 AB = 2 AB，AC = 2 AC， BC 2 = AB 2AC 2 = ( 2 AB )2( 2 AC )2 = 4 AB 2 4 AC 2 = 4 ( AB 2A

40、C 2 ) = 4 BC 2 = ( 2 BC )2. ABCABC. (三边对应成比例的两个三角形相似) BC=2BC，BAC=DAE，BAC DAC = DAE DAC，即 BAD=CAE.BAD=20，CAE=20. ABC ADE (三边成 比例的两个三角形相似).例3 如图，在 ABC 和 ADE 中， BAD=20，求CAE的度数.ABCDE解：解：在 ABC 和 ADE 中， AB : CD = BC : DE = AC : AE， ABCADE，BAC=DAE，B=D，C=E.BACCAD =DAECAD ，BAD=CAE.故图中相等的角有BAC=DAE，B=D，C=E，BAD

41、=CAE. 如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.练一练ABCDE当堂练习1. 如图，若 ABC DEF，则 x 的值为 ( )ABCDEFA. 20 B. 27 C. 36 D. 45C2. 如图，在大小为44的正方形网格中，是相似三 角形的是 ( )A. 和 B. 和 C. 和 D. 和C3. 如图，APD=90，AP=PB=BC=CD，下列结论 正确的是 ( ) A. PABPCA B. PABPDA C. ABCDBA D. ABCDCA ACBPDC AB : BC = BD : AB = AD : AC

42、，ABCDBA，故选C.解析：设AP=PB=BC=CD=1，APD=90，AB= ，AC= ，AD= .4. 根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似：AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，AB=12cm ，BC=18cm ，AC=21cm.答案：不相似.5. 如图，ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：ABCEFD ABCEFD.证明：ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，6. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB

43、 与 CD 平行吗？说出你 的理由.ACBD2814214231.5解：公路 AB 与 CD 平行. ABDBDC，ABD=BDC，ABDC.三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似课堂小结相似三角形的判定定理的运用 经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用*4.5 相似三角形判定定理的证明第四章 图形的相似学习目标1.会证明相似三角形判定定理；（重点）2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）导入新课问题：相似三角形的判定方法有哪些？ 两角对应相等，两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 三边对应成比例,两三角形相似.讲授新课证明相似三

44、角形的判定定理一 在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明定理1：两角分别相等的两个三角形相似.已知：如图，在 ABC 和ABC 中，A = A，B =B. 求证：ABC ABCABCABC1=B，2 =C， 过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则 DEBC, DFAC, 四边形 DFCE 是平行四边形 DE = CF. ABCABC证明：在 ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =AB，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则EDF12而 1 = B， DAE = BAC， 2= C， ADE ABC. A = A， ADE = B = B，A

45、D = AB， ADE A B C ABC ABC. ABCABCEDF12我们来证明一下前面得出的结论：如图，在ABC与ABC中，已知A= A，证明：在 ABC 的边 AB 上截取点D，使 AD = AB过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 E. DEBC， ADEABC.求证：ABCABC.BACDEBAC定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. AE = AC . 又 A = A. ADE ABC， ABC ABC.BACDEBAC AD=AB，定理3：三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在 ABC 和ABC 中， 求证：ABC ABC .ABCACEDB CBA证明:在线段

46、 AB (或延长线) 上截取 AD=AB， 过点 D 作 DEBC 交AC于点 E. DEBC ， ADE ABC. DE=BC，EA=CA.ADEABC， ABC ABC.BCADE又 ，AD=AB， ， . 相似三角形判定定理的运用 二例1：已知:如图,ABD=C，AD=2, AC=8，求AB. CDAB解： A= A , ABD=C, ABD ACB , AB : AC = AD : AB, AB2 = AD AC. AD = 2 , AC = 8, AB = 4.例2 如图，已知：ACB =ADC = 90，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，ACB 与ADC相似CABD解

47、析：ADC = 90，AD = 2，CD = ，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1) 当 RtABC RtACD 时，有 AC : AD AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3；CABD2(2) 当 RtACB RtCDA 时，有 AC : CD AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似CABD2 在 RtABC 和 RtABC 中，C=C=90，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) A=35，B=55： ；(2) AC=3，BC=4，AC=6，BC=8： ；(3) AB=10，AC=8，

48、AB=25，BC=15： .练一练相似相似相似1.如下图，在大小为44的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） 当堂练习2.已知：如图，在四边形ABCD中，B=ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长. 解: AB=6，BC=4，AC=5，CD = 又B =ACD, ABCDCA， AD=ABCD相似三角形判定定理的证明定理1：两角分别相等的两个三角形相似.定理的运用定理证明定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.定理3：三边成比例的两个三角形相似.课堂小结经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.6 利用相似三角形测高第四章 图形的相似1.通过测量旗杆

49、的高度的活动，并复习巩固相似三角形有关知识.（重点）2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）学习目标世界上最高的树 红杉导入新课乐山大佛 台北101大楼怎样测量这些非常高大物体的高度？利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题.利用相似三角形测量高度一讲授新课 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.怎样测出OA 的长？解：太阳光是平行的光线，因此

50、 BAO =EDF.又 AOB =DFE = 90，ABO DEF. ， =134 (m).因此金字塔的高度为134 m.表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 归纳：1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE， 测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即 可，则下面能用来求AB长的等 式是 ( ) A B C D C练一练2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时

51、，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是_米 8例2 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? 分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，CFK 是

52、观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域和都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了. 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上 ABl，CDl，ABCD. AEHCEK. ，即解得 EH=8.测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. 练一练：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整

53、自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.解析：人、树、标杆相互平行，添加辅助线，过点A作ANBD交ID于N，交EF于M，则可得AEMACN.AECDFBNAECDFBN解：过点A作ANBD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，ABF=EFD=CDF=90,ABEFCD, EMA=CNA.EAM=CAN,AEMACN , .AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m , , CN=3.6（m），CD=3.6+1.6=5.2（m）.故树的高度为5.2m.AFEBO还可以有其他测量

54、方法吗？OBEF=OAAFABOAEFOB =OA EFAF平面镜想一想：例3：为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，在距离树AB底部15m的E处放下镜子；该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？解：1=2,DCE=BAE=90,DCEBAE. ,解得 BA=18.75（m）.因此，树高约为18.75m.DBACE21测高方法三： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平

55、的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( )A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米 B试一试：利用三角形相似测高的模型：归纳总结1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得 教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高 度应为 ( ) A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米 当堂练习2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂

56、超出头顶 ( ) A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2mAA3. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看 到点光源的反射光线，并测得 AB10 cm，BC 20 cm，PCAC，且 PC24 cm，则点光源 S 到平 面镜的距离 SA 的长度为 .12 cm4.如图 ，利用标杆BE测量建筑物的高度。如果标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，楼高CD是多少？解： EBCDABEACDCD=10.5m.EBAC , CDAC1.2m12.4m1.6m5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬 纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB

57、的高度，他们通过调 整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米， 到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.ABCDGEFABCDGEF解：由题意可得：DEFDCA，DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，则 解得：AC = 10，故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (m).答：旗杆的高度为 11.5 m. 6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面 上，另一部分在建筑物的墙面

58、上小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影 长 CD 为 2 m同一时刻，小明又测得竖立于地面 长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m请帮助小明求出旗 杆的高度ABCDE解：如图：过点 D 作 DEBC，交 AB 于点 E， DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m， 在同一时刻物高与影长成正比例， EA : ED=1 : 1.2， AE = 8 m， AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)， 学校旗杆的高度为 10 m. ABCD利用相似三角形测高利用阳光下的影子课堂小结利用标杆利用镜子的反射经典 专业 用心精品课件本课件来

59、源于网络只供免费交流使用4.7 相似三角形的性质第四章 图形的相似第1课时 相似三角形中的对应线段之比1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点）2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题（难点）学习目标ACBA1C1B1问题1： ABC与A1B1C1相似吗？导入新课ACBA1C1B1相似三角形对应角相等、对应边成比例.ABC A1B1C1思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？高、角平分线、中线的长度，周长、面积等高角平分线中线量一量，猜一猜D1A1C1B1ACBD ABC A1B1C1, ,CD和C1D1分别是它们的高, 你知道 等于多少吗？ 如图，ABC ABC，相似

60、比为 k，它们对应高的比各是多少？讲授新课ABCABC合作探究相似三角形对应高的比等于相似比一ABC ABC，BB ，解：如图，分别作出 ABC 和 A B C 的高 AD 和 A D 则ADB =A D B=90. ABD A B D .ABCABCDD由此得到：相似三角形对应高的比等于相似比类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比 归纳总结ABC A1B1C1 ，BD和B1D1是它们的中线， 已知 ,B1D1 =4cm，则BD= cm.62.ABC A1B1C1, AD和A1D1是对应角平分 线，已知AD=8cm， A1D1=3cm ,则 ABC与 A1B1C1的对应高之比