2022年人教A版选修1-1教案：32立体几何中的向量方法第2课时

1、 3.2.2 空间角与距离的运算举例【学情分析】：教学对象是高二的同学,同学已经具备空间向量与立方体几何的相关学问 , 上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量,所以本节课是通过举例来求空间的距离和角；我们可以将空间中的有关距离和角的问题,转化为空间向量的数量积来解决；【教学目标】：（1）学问与技能：能用向量方法进行有关距离的运算；能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的运算问题 . （2）过程与方法： 在解决问题中,通过数形结合的思想方法,加深对相关学问的懂得；（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势,培育探究精神；【教学重点】：将空间角与距离的运算转化为向量的夹角

2、与模来运算 . 【教学难点】：将空间角与距离的运算转化为向量的夹角与模来运算 . 【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引1 两个向量的数量积如何运算？为探究新学问做准入2 向量的模与向量的数量积是什么关系？备. 3 向量的加法法就；二、探究与一、用空间向量解决立体几何问题的“ 三步曲”让同学通过回忆寻练习同学回忆用平面对量解决平面几何问题的“ 三步曲”,与老师共同得找将立体几何问题出用空间向量解决立体几何问题的“ 三步曲”：转化为向量问题的（1）建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的步骤；点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向

3、量运算,讨论点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算）（3）把向量的运算结果“ 翻译” 成相应的几何意义；二、例题（回到图形问题）例 1：如图 1：一个结晶体的外形为四棱柱,其中,以顶点 A 为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是 点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？60 ,那么以这个顶点为端解： 如图 1,设BADBAA 1DAA 160范,简单把握,可ABAA 1AD1,以让同学很好地体会 向 量 解 题 的 优化为向量问题AC 1ABADAA 1势；依据向量的加法法就,进行向量运算AA 12AC 12ABAD2 AB2 ADAA 122 ABAD

4、ABAA 1ADAA 1 1112cos60cos60cos606|AC 1|6AA1 D1BB1C1D 图1 C 回到图形问题这个晶体的对角线AC 1的长是棱长的6倍；提示同学不能缺少摸索：这一步；（1）此题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？分析 :BD 1BABCBB 1,B 1BC60转化为向量；其中ABCABB 1120（ 2）假如一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗. 分析 : x,BADBAA 1DAA 1这是例题 1 的推广,设AC 1a,ABADAA 1方法类似,同学进一步体会 . ABA

5、DAB就由AC1ABADAA 1AA 1ADAA 1AC12AB2AD2AA 122即a23x2232 xcosx31a6cos 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长；（ 3）此题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求 两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离）分析： 面面距离点面距离向量的模.回来图形让同学体会空间距解：过A 1 点作A 1 H平面AC于点H.就A 1H为所求相对两个面之间的距离由A 1ABA 1ADBAD且ABADAA 1离的转化；H在 AC 上.AC2ABBC2112cos603BCAC3cos 601 .及 时 进 行 类 比 训AA 1ACAA 1ABB

6、CAA 1ABAA 1cos 60cosA 1ACAA 1AC1sinA 1AC6|AA 1|AC|3A 1HAA 1sinA 1AC633所求的距离是6；3练,巩固所学方法练习 : 和技能；如图 2,空间四边形OABC各边以及 AC,BO的长都是 1,点 D,E 分别是边 OA, BC 的中点,连结 DE,运算 DE的长OD C A E 例 2 是关于角的有 关问题,引导同学 找到相应的向量进 行转化；图2B 例 2：如图 3,甲站在水库底面上的点A 处,乙站在水坝斜面上的点B处；从 A, B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和 BD分别为a 和 b,CD 的长为 c, AB 的长为 d；

7、求库底与水坝所成二面角的余弦值B 解： 如图ACa,BDC c,ABD 以下设计与例1 类A 图3d.似；b,CD化为向量问题依据向量的加法法就ABACCDDBDBCDDB进行向量运算CDDB2d2AB2ACCDACAB2CD2BD22ACa22 cb22ACDBa22 cb22 CADBb 2c2d22 CADBa2设向量 CA 与 DB 的夹角为,就是库底与水坝所成的二面角；因此2 abcosa22b2ac2d2.2d2.cosa2bc2d2.2ab2回到图形问题b2c库底与水坝所成二面角的余弦值为2 ab摸索：（ 1）此题中假如夹角可以测出,而AB未知,其他条件不变,可以运算出 AB的长

8、吗？分析：由AB2AC2CDDB2ACCDACDBCDDBAB2CD2BD22a2cb22 abcos 可算出 AB 的长；（2）假如已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长,并且以同一 顶点为端点的各棱间的夹角都相等,那么可以确定各棱之间夹角的余弦 值吗？分析：如图,设以顶点A 为端点的对角线长为d,三条棱长分别为a,b,c,各棱间夹角为. D1 C 1 A 1 B1 A 2A 1D ABACB C C2就dCC12a22 cb22 abbcaccoscosd2a2b2c22 abbcac （ 3）假如已知一个四棱柱的各棱长都等a,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么可以确定这个四棱

9、柱相邻两个夹角的余 弦值吗？分析： 二面角平面角向量的夹角回来图形A A 1 D 1 C 1 B1 C D E B F 解：如图, 在平面 AB1 内过 A1 作 A1EAB 于点 E,在平面 AC 内 作 CFAB 于 F ；就A 1ECFasin,AEBFacosBFcosa22 coscoscosEA 1,FCcosA 1 E,CFA 1 ECFA 1AAE CB|a2sin2|A 1 E|CFcosa2cosa2coscosa2a2sin2cos 1 cos可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值；练习：（ 1）如图 4,60 的二面角的棱上有A、B 两点,直线AC、 BD分别在这个二面

10、角的两个半平面内,且都垂直 8,求 CD的长；CD 图4A 2）三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面是边长为2 的正三角形,A1AB45 , A1AC60 ,求二面角B-A A1-C 的平面角的余弦值；A 1C1B1A CB图5三、小结1 用空间向量解决立体几何问题的“ 三步曲 ” ；反思归纳四、作业2 面面距离点面距离向量的模回来图形二面角平面角向量的夹角回来图形课本 P112 第 2、4 题；练习与测试：（基础题）1 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,就侧棱与底面所成的角为（）A 75B 60C45D30答： C；2如图,在棱长为 2 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,O 是底面

11、 ABCD 的中心,A1FD1DOB1BC1E、 F 分别是CC 、AD 的中点；那么异面直线OE 和FD 所成的角的余弦值等E于（）A10B15C4D2 3AC555答： B；3,把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起 ,当以 A、B、C、D 四点为顶点的棱锥体积最大时,直线 BD 和平面ABC 所成的角的大小为）A 90B 60C,45D 30答： C；4,已知 AB 是两条异面直线AC BD 的公垂线段,AB1,ACBD10,CD301,就AC BD所成的角为答：0 60 或0 120 ；（中等题）5,一条线段夹在一个直二面角的两个面内,它和两个面所成的角都是30 ,P 在棱CC上,且这条线段与这个二面角的棱所成的角为；答：4506,棱长为4 的正方体ABCDA B C D 中, O 是正方形A B C D 的中心,点D1 O C1 CC 14