人教A版高中数学选修1-1第二章3.4生活中的优化问题举例达标过关训练

1、 3.4生活中的优化问题举例一、选择题1.已知某厂生产x件产品成本为C25 000200 xeq f(1,40)x2，要使平均成本最低，则应生产产品()A.1 000 件 B.1 200 件C.1 500 件 D.1 800 件解析：平均成本为eq f(C,x)eq f(25 000,x)200eq f(x,40)，令f(x)eq f(25 000,x)eq f(x,40)200，则f(x)eq f(25 000,x2)eq f(1,40)，令f(x)0，得x1 000或x1 000(舍去).当x1 000时，f(x)1 000时，f(x)0.故当x1 000时，f(x)取得最小值.答案：A2

2、.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yeq f(1,3)x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.13万件 B.11万件C.9万件 D.7万件解析：yx281，当x9时，y0，当0 x0.函数yeq f(1,3)x381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增.x9是函数的极大值点.又函数在(0，)上只有一个极大值点，在x9处取得最大值.答案：C3.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A.900 元

3、B.840 元C.818 元 D.816 元解析：设箱底一边的长度为x m，总造价为y元，依题意得y123eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(16,x)2)1516，y72eq blc(rc)(avs4alco1(1f(16,x2).令y0，得x4或x4(舍去)，因为只有一个极值点，所以也是最值点，故当x4时，y有最小值816.答案：D4.若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()A.2r2 B.r2C.4r2 D.eq f(1,2)r2解析：设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，如图.Rrcos ，l2rsin .S侧2Rl2rcos 2rsin 4r2sin cos

4、 .S侧4r2(cos2sin2)4r2cos 2.令S侧0，得2eq f(,2)，eq f(,4).当eq f(,4)，即Req f(r(2),2)r时，S侧有最大值2r2.答案：A5.(2019湖北孝感期末)某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式为yeq f(1,81 000)x3eq f(1,10)x18(00)，y2 eq r(f(1 600,x)4x)280160，当且仅当eq f(1 600,x)4x，即x20时取等号.答案：207.用边长为120 cm的正方形铁皮做一无盖水箱，先在四角处分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊

5、接成水箱，则水箱的最大容积为 cm3.解析：设水箱的高为x(0 x60) cm，则水箱底面边长为(1202x)cm，水箱的容积V(1202x)2x(1202480 x4x2)x，V12x2960 x120120.令V0，得x20或x60(舍去).当0 x0；当20 x60时，V0，当x20时，V有最大值，且最大值为128 000 cm3.答案：128 0008.如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD中，A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，此矩形的面积的最大值是 .解析：设CDx，则点Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)，0)，Beq blc(rc)(avs4alco

6、1(f(x,2)，1f(x2,4)，矩形ABCD的面积Sf(x)xeq blc(rc)(avs4alco1(1f(x2,4)eq f(1,4)x3x，x(0,2).则f(x)eq f(3,4)x21.令f(x)0，得xeq f(2r(3),3)，此时f(x)有最大值eq f(4r(3),9).答案：eq f(4r(3),9)三、解答题9.(2019山西运城月考)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距640米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2eq r(x)x万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点

7、，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩，记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；(注意：(n1)x640)(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？解：(1)(n1)x640，即neq f(640,x)1，所以yf(x)256n(n1)(2eq r(x)xeq f(256640,x)640eq r(x)1 024(0 x640).(2)由(1)知，f(x)eq f(256640,x2)eq f(640,2r(x)eq f(640 xf(3,2)512,2x2)，令f(x)0，得xeq f(3,2)512，所以x64，当0 x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数

8、；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数.所以f(x)在x64处取得最小值，此时neq f(640,x)19.故需新建9个桥墩才能使y最小.10.(2019广东佛山月考)随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量y(单位：千盒)与销售价格x(单位：元/盒)满足关系式yeq f(a,x12)4(x16)2，其中12x16，a为常数，已知销售价格为14元/盒时，每月可售出21千盒.(1)求a的值；(2)假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元(只考虑销售出的便当盒数)，试确定销售价格x的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大(结果保留一位小数).解：(1)因为x14时，y21，代入关系式yeq f(a,x12)4(x16)2，得eq f(a,2)1621，解得a10.(2)由(1)可知，外卖便当每月的销售量yeq f(10,x12)4(x16)2，所以每月销售便当所获得的利润f(x)(x12)eq blcrc(avs4alco1(f(10,x12)4x162)104(x12)(x16)2，x(12,16)，所以f(x)4(x16)(3x40).令f(x)0，因为12x0，f(x)单调递增；当xeq blc(rc)(avs