2022年交大附中高一数学期中试卷

1、交大附中高一期中试卷（2022.11）一. 填空题1. 集合 M x | 0 x 3 , N x | 0 x 2,就“a M ” 是“a N ”条件；2. 已知集合 U 1,2,3,4,集合 A 1,2 , B 2,3 ,就 A CU B CU A B ；3. 函数 f x x 1 1 的定义域为；2 x2x a4. 已知集合 A x | x a | 1, x R , B x | 1, x R ,且 A B ,就实数 a 的取值范畴x 1是；5. 已知 y f x , y gx 是两个定义在 R 上的二次函数,其 x 、 y 的取值如下表所示：x 1 2 3 4 f x 3 4 3 0 gx

2、0 1 0 3 就不等式 f gx 0 的解集为；6. 关于 x 的不等式 2kx 2 kx 3 0 的解集不为空集,就 k 的取值范畴为；8 7. 已知本张试卷的出卷人在公元 x 2 年时年龄为 x 8 岁,就出卷人的诞生年份是；（假设诞生当年的年龄为 1 岁）8. 如对任意 x R ,不等式 | x | ax 恒成立,就实数 a 的取值范畴是；2 9. 设常数 a 0 ,如 9x a a 1对一切正实数 x 成立,就 a 的取值范畴为；x x 2 2x 2 x 0 10. 设函数 f x x 2 x 0 ,如 f f a 2 ,就 a ；11. 如二次函数 y f x 对一切 x R 恒有

3、 x 2 2x 4 f x 2x 2 4x 5 成立,且 f 5 27 ,就f 11 ；12. 已知 f x a 2 5x 2 2x 2 ,如不等式 f x x 的解集为 A ,已知 0,1 A ,就 a 的取值范畴为；1 / 8 二. 挑选题13. 设 P 、 Q 为两个非空实数集,定义集合 P Q a b | a P,b Q ,如 P 0,2,5 , Q 1,2,6 ,就 P Q 中元素的个数是（）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 14. 不等式 1 x1 | x | 0 的解集是（）A. x | 0 x 1 B. x | x 0 且 x 1C. x | 1 x 1 D. x | x

4、 1且 x 115. 已知三个不等式 ab 0 , bc ad 0 ,c d 0 （其中 a 、 b 、 c 、 d 均为实数）,a b 用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是（）D. 3 bA. 0 B. 1 C. 2 16.设 a 0 , b 0 ,就以下不等式中不恒成立的是（）A. a b 1 a 1 4 b B. a 3 b3 2ab2C. a2 b 2 2 2a 2b D. | a b |a 三. 解答题17. 已 知 ABC 为直角三角形,记其两条直角边长分别为 a,b R ,记面积为 S ,周长为 C ,如三角形面积为定值,其周长

5、是否有最值,最大值仍是最小值,何时取到,为多少？（结果用 S 表示） . 18. 已知 a R ,如关于 x 的方程 x 2 x | a 1 | | a | 0 有实根,求 a 的取值范畴 . 4 2 / 8 19.阅读以下不等式的证法,再解决后面的问题. 证明：a b a b 1 1 2 2 2 a 1 2 a 2 2 b 1 2 b 2 2 证：令 A 2 a 1 2 a 2, B 2 b 1 2 b 2a b 1 1 a b 2 2 2a b 1 1 2 2 a b 1 1 a b 2 2 a b2 1 a 1 2 2 A2 b1 2 B2 1 a 2 2 2 A2 b2 2 B2 a

6、1 a2 b2 1 2 bAB AB A B A Bx2 y22 ；1 a 2 2 a22 2 b 1 2 b2 2 12 ,故 a1b1 a2b2 a1 2 2 2 2a2 b1 b2 .1 2 A2B（1）如 x , x , y , y 1 2 1 2R ,利用上述结论,证明：x 1 x y 2 1 y 2x1 y1（ 2）如 x1, x2 , y1, y2 , z1, z2R ,仿照上述证法并结合（1）的证法,证明： 10 年,期间会有约x 1 x y 2 1 y z 2 1 z 3 x y z 2 1 1 13 x2 y2 z23 .（提示：如 a,b,c R ,有3 ab3 c3ab

7、c ）3 20.公元 2222 年,有一种高危传染病在全球范畴内扩散,被感染者的埋伏期可以长达0.05 的概率传染给他人,一旦发病三天内即死亡,某城市总人口约 200 万人,专家分析其中约有 1000 名传染者,为了防止疾病连续扩散,疾病预防掌握中心现打算对全市人口进行血液检测以挑选出被感染者,由于检测试剂非常昂贵且数量有限,需要将血样混 合后一起检测以节省试剂,已知感染者的检测结果为阳性,末被感染者为阴性,另外检测结 果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性,同一检测结果的血样混合 后结果不发生转变 . （1） 如对全市人口进行平均分组,同一分组的血样将被混合到一起检测,如发

8、觉结果为阳性,就再在该分组内逐个检测排査,设每个组 x 个人,那么最坏情形下,需要进行多少次检测可以找到全部的被感染者？在当前方案下,如要使检测的次数尽可能少,每个分组的最优人数？（2） 在（ 1）的检测方案中,对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好,或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测,然后再进行逐一排査,仍旧考虑最坏的 情形,请问两次要如何分组,使检测总次数尽可能少？（3） 在（ 2）的检测方案中,进行了两次分组混合血样检测,仍旧考虑最坏情形,如再进行 如干次分组混合血样检测,是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案 . 3 / 8 21.函数 f x ax 21

9、 x c （ a,c 2 R）,满意 f 10 ,且 f x0 在 xR 时恒成立 . （1）求 a 、c 的值；（ 2）如 hx 3 x 4 2 bx b 2 1 ,解不等式 4f x hx 0 ；5 ？如存在,恳求出m 的（3） 是否存在实数 m ,使函数 gx f x mx 在区间 m,m 2上有最小值值,如不存在,请说明理由. 交大附中高一期中试卷参考答案一、填空题1、必要非充分2、 1,3 3、 1,2 2, 4、 a 25、x | x 1或x 36、 k 3 或 k 019、a 7、1989 年8、 1,1 10 、 2 ；5 12、 ,11、153 2 2, ；二. 挑选题13、

10、 B 14、 D 15、 D 16、 B 三. 解答题17、【解析】 S 1 ab , c 2 a 2 b2,周长 C a b 2 a2 b 2 ab2ab 2 2S 2 S,当且仅当 a b 2S时, C 取得最小值；a 1 4 ,又由于 a 1 4 a 1 4 ,所18、【解析】由于方程有解, 1 4 a 1 a 0 ,即 a 1 4 4 以 a 1a 1 ,此时 0 a 4 1 ；4 4 2 219、【解析】（1） x x y yx 12 x22 y12 y2x1 y1x 2 y21 2 1 2 即有 x 1 x y 2 1 y 2y 3 z 32 1 x1 y1x2 y22x y z

11、2 2 2（2）先证x3x3y3z3 2x y z 1 1 13 ,1 2 14 / 8 3 3 3 3 3 3设 A 3 x 1 x 2, B 3 y 1 y 2, C 3 z 1 z 2,就x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1 y1 z1 x 2 y2 z23 x 3 x 3 3 y 3 y 3 3 z 3 z 3 ABC ABC A B C A B C1 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 1 x3 A 1 3B y3 1 C z 1 3 1 x3 A 2 3 2 B y2 = 3 C z3 3 3 3 3 3 3 1 x 2 x 1 y1

12、 2 y 1 z1 2 z 1 1 1 1 1,所以3 A 3A 3 3 B 3B 3 3 C 3C 3 3x 3x 3y 3y 3 z 3z 3x y z x y z 3 ；1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2由 x , x , y , y , z , z 1 2 1 2 1 R ,23 3 3 3 x x y y z z 3 x 3 x 3 3 y 3 y 3 z 3 z 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 3 3 x y z 1 1 3 x 2 y2 z2,就 x 1 x y 2 1 y z 2 1 z 3 x y z 3 x2 y2 z2 3 ；620、【解析

13、】（1）设每组 x 个人,那么最坏情形下,需要进行 2 10 1000 x 次检测可以找到全部的被感x 6 62 10 2 10染者,由 y 1000 x 40000 5 ,当且仅当 1000 x 即 x 44.72 ,由x x 于 x 是正整数,取 x 44 ,得 y 89854.54 ,取 x 45 ,得 y 89444.44 ；因此,要使检测的次数尽可能少,每个分组的最优人数为 45 ；（2） 设第一次每组 x1 人,其次次每组 x 2 人,检测的总次数为2 10 1000 x1 1000 x 2 30000 3 2 ,当且仅当 2 10 1000 x1 1000 x , 即 2 6 6

14、x1 x2 x1 x2x 2 2 x , x 1 1 100 3 4 158.74 ,由于 x 为正整数,可得1 x 159 ,而 x 1 2 x1 12.6 ,取 x2 13 ,所以第一次每组 159 人,其次次每组 13 人；（3） 设进行 n 次这样的检验,可以达到最优,由6 2 101000 x 1 1000 x 2 n 163n 18 次,1000 x n n 12 1010 ,当且仅当x1 x2x 3 x n n 1 2022 ,由 n 18 , x18 19 2022 1.49 ,可取 x18 1 ,即进行这样的检验可得到总次数更少；21、【解析】（1）由 f 1 0 得 a c

15、 1 ,由于 2 f x 0 在 x R 时恒成立,所以a 0,解 1 4ac 0 4 5 / 8 得a c 1 ；4 （2） f x 1 x 2 1 x 1 , f x h x x 2 b 1 x b x 1 0 b x 4 2 4 2 2 2 1 1 当b 时,不等式的解集是 b, ；2 2 1 1当b 时,不等式的解集是 , b ；2 2 当 b 1 时,不等式解集是空集；2 （3） g x 1 x 2 1 m x 1 ,开口向上,对称轴为直线 x 2m 1 ,假设存在实数 m ,4 2 4 使函数 g x 在区间 m,m 2上有最小值-5 ；当 2m 1 m 时,即 m 1时, g x

16、 在 m,m 2 上是增函数,所以 g m 5 ,解得m 3 ；当 m 2m 1 m 2 ,即 1 m 1 时, g x 的最小值为 g 2m 1 5 ,无解；当 2m 1 m 2 , 即 m 1 时, g x 在 m,m 2 上是减函数,所以 g m 2 5 ,解得 m 1 2 2；综上,当 m 3 或 m 1 2 2 时,函数 g x在m,m 2上有最小值-5.6 / 8 20222022 学年交大附中高一（上）期中试卷综合评判考试范畴考点分布易错题难题1、集合的包含关系与推出关系集合2、集合的混合运算4 4、交集的运算13、元素与集合间的关系命题与条件1、子集包含关系推出条件关系4、肯定

17、值不等式与含参分式不等式的解法 6、一元二次不等式与二次函数的联系 8、含参肯定值不等式的恒成立问题 9、基本不等式的应用,恒成立问题 12、一元二次不等式的恒成立不等式14、不等式的解法4、 8,16, 21 19,20 15、不等式的性质16、不等式的性质,基本不等式 17、基本不等式的应用 19、不等式的证明,基本不等式,20、应用题,基本不等式的应用 21、不等式的解法 3、函数的定义域及其运算 5、复合函数,二次函数的图像与性质 6、一元二次函数与不等式之间的联系 7、求函数解析式函数10、分段函数的迭代7,10,11,18,21 12 11、一元二次函数的性质,函数与方程 12、一元二次函数的图像与性质 18、肯定值的几何意义 21、二次函数的最值,动轴动区间的分类争论综合评判1. 考点分布：集合：1、2、 4、13,共4 题；条件： 1,共 1 题7 / 8 不等式的性质与解法：4、6、8、 12、14、15、 16、19、21,共 9 题；基本不等式：9、 16、17、19、20,共 5 题；恒成立问题：8、 9、12、 16,共 4 题；函数三要素以及图像与性质：3、 5、6、7、10、11、