新沪教版九年级下册数学（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（基础版）（家教、补习、复习用）

1、沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习 圆的基本概念和性质知识讲解（基础） 【学习目标】1知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1. 圆的定义 【高清：356996 ：概念、性质的要点回顾】(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作

2、“O”，读作“圆O”要点诠释： 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释： 定点为圆心，定长为半径；圆指的是圆周，而不是圆面；强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质 旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； 圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要

3、点诠释：圆有无数条对称轴； 因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1. 弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是O的直径，CD是O中任意一条弦，求证：ABCD.证明：连结OC、ODAB=AO+OB=CO+ODCD(

4、当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)直径AB是O中最长的弦.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：半圆是弧，而弧不一定是半圆；无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.【高清：356996 ：概念、性质的要点回顾】4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：等弧成立的前提条件是在同圆或

5、等圆中，不能忽视； 圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1如图所示，BD，CE是ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EFBD，CE是ABC的高，BCD和BCE都是直角三角形DF，EF分别为RtBCD和RtBCE斜边上的中线，DF=EF=BF=CFE，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（

6、）直径是弦，但弦不一定是直径； 半圆是弧，但弧不一定是半圆；半径相等且圆心不同的两个圆是等圆 ；一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】、是正确的，是不正确的.故选C.类型二、圆及有关概念2判断题(对的打，错的打，并说明理由)半圆是弧，但弧不一定是半圆；（ ）弦是直径；（ ）长度相等的两段弧是等弧；（ ）直径是圆中最长的弦. （ ）【答案】 .【解析】因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；直径是圆中最长的弦，正确.

7、【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.举一反三：【变式】下列说法中，结论错误的是（）A直径相等的两个圆是等圆B长度相等的两条弧是等弧C圆中最长的弦是直径D一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B3直角三角形的三个顶点在O上，则圆心O在 . 【答案】斜边的中点.【解析】根据圆的定义知圆心O到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中

8、线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等.4判断正误：有、，的长度为3cm,的长度为3cm，则与是等弧.【答案】错误.【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.举一反三：【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长.”试分析这个观点是否正确.甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.乙同学：此观点不正确，如果

9、两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，O中的优弧，中的劣弧，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.请你判断谁的说法正确？ 【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.类型三、圆的对称性5（2016呼伦贝尔校级一模）如图所示，三圆同心于O，AB=4cm，CDAB于O，则图中阴影部分的面积为cm2【思路点拨】根据圆的对称性可得图中阴影部分的面积正好是圆的面积的阴影部分的面积应等于圆面积的进而就可以求得【答案与解析】解：阴影部分的面积应等于=圆=（42）2=cm2【总结升华】圆是轴对称图形，两条互相垂直的直径是这个圆的对称轴注意把不同的部分转移到一个图形中作答

10、沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习圆的基本概念和性质巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2015春张掖校级月考）有下列四个说法：半径确定了，圆就确定了；直径是弦；弦是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆其中错误说法的个数是（）A1B2C3D42. （2016永州）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D

11、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理3.过圆上一点可以作出圆的最长的弦有（ ）条. A. 1 B. 2 C. 3 D. 44等于圆周的弧叫做（ ） A劣弧 B半圆 C优弧 D圆5.已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ）A.2 B.3 C.4 D.56.已知圆内一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ）A.2 B.3 C.4 D.57.如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）A.点P B.点Q C.点R D.点M8以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ）A1个 B2个 C3个

12、D无数个二、填空题9. （2016秋高邮市月考）如图，AB是O的直径，点C在O上，CDAB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是 10.过已知O上一定点P，可以画半径_条；弦_条；直径_条.11.圆是_ _对称图形.12. 在平面内到定点A的距离等于3的点组成的图形是 .13.已知O中最长的弦为16cm，则O的半径为_cm14. 在同圆或等圆中，能够互相_的弧叫做等弧15.一个圆的圆心决定这个圆的_，圆的半径决定这个圆的_三、解答题16某市承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图27-11所

13、示，那么运动员公寓应建立在何处？ 17如图，BD=OD，AOC=114，求AOD的度数18.已知MN=6cm，画出到M点的距离等于4cm的所有点，再画出到N点的距离等于5cm的所有点，指出既到点M的距离等于4cm，又到点N的距离等于5cm的点有几个？试说明你的结论.19已知：如图，C是O直径AB上一点，过C作弦DE，使DC=EC，AOD=60，求BOE的度数 【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；半圆是弧，但弧不一定是半

14、圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确其中错误说法的是两个故选：B2.【答案】B【解析】A、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，正确；B、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，故错误；C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确；D、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确，故选B3.【答案】A；【解析】圆的最长的弦是过该点的直径，只有一条.

15、4.【答案】C；【解析】等于圆周的弧是大于半圆弧，是优弧.5.【答案】B；【解析】如图，连结PO并延长交圆O于A、B两点，则PA、PB即为最短弦2、最长弦8，故该圆的半径可求. 6.【答案】D；7.【答案】B；【解析】观察网格图不难发现AQ=BQ=CQ，所以圆弧所在的圆心是点Q， 故选B. 8.【答案】A；【解析】以定点为圆心，定长为半径作圆，只能作一个，故选A.二、填空题9.【答案】10.【解析】连接OC，CD=4，OD=3，在RtODC中，OC=5，AB=2OC=10，10.【答案】1；无数；1；11.【答案】轴对称图形也是中心；12.【答案】以A为圆心3为半径的圆； 13.【答案】8；1

16、4.【答案】重合；15.【答案】位置，大小.三、解答题16. 【答案与解析】任意作连结A、B、C三点中的两点所成的线段的中垂线的交点.17【答案与解析】解：设B=x，BD=OD，DOB=B=x，ADO=DOB+B=2x，OA=OD，A=ADO=2x，AOC=A+B，2x+x=114，解得x=38，AOD=180OADADO=1804x=180438=2818. 【答案与解析】分别画以M为圆心、以4cm为半径的圆，画以N为圆心、以5cm为半径的圆，两圆交于A、B两点，则A、B两点即为所求的2个点.19【答案与解析】C是O直径AB上一点， DE是弦，DC=EC，由圆的对称性可得点D、E关于直线AB

17、对称，AOD=60，AOE=AOD=60，BOE =180-60=120.沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系-知识讲解（基础） 【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的

18、弦也相等3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中AEB、ADB、ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件

19、：顶点在圆上；角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形 （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1. （2016台湾

20、）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点若=150，A=65，D=60，则的度数为何？（）A25B40C50D55【思路点拨】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据A=65，D=60，求出1与2的度数，根据的度数确定出AOD度数，进而求出3的度数，即可确定出的度数【答案】B【解析】解：连接OB、OC，OA=OB=OC=OD，OAB、OBC、OCD，皆为等腰三角形，A=65，D=60，1=1802A=180265=50，2=1802D=180260=60，=150，AOD=150，3=AOD12=1505060=40，则=40故选B【总结升华

21、】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键举一反三：【变式】（2015秋沛县期中）如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB=CD求证：AC=BD【答案】证明：AB=CD，即，AC=BD类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】 判断圆周角必须同时满足两条：顶点在圆上；两边都和圆相交.【答案与解析】(a)1顶点在O内，两边与圆相交，所以1不是圆周角； (b)2顶点在圆外，两边与圆相交，所以2不是圆周角；(c)图中3、4、BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以3、4、BAD是圆周角(d)5顶点在圆上，一边与圆相

22、交，另一边与圆不相交，所以5不是圆周角；(e)6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知6不是圆周角.【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角【高清：356996 ：经典例题6-7】3. 如图所示，AB为O的直径，动点P在O的下半圆，定点Q在O的上半圆，设POA=x，PQB=y，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式. 【答案与解析】解法1：如图所示，AB为O的直径，AOP=xPOB=180-x=(180-x) 又 解法2：如图所示，连结AQ，则又AB是O的直径，AQB=90【总结升华】考查圆周角定理的应用.4如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=

23、AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？ 【思路点拨】连结AD，易证ADB=90，即AD是等腰三角形ABC的高再由三线合一的性质得出BD与CD的大小关系.【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接ADAB是O的直径ADB=90即ADBC又AC=AB，BD=CD.【总结升华】BD=CD，因为AB=AC，所以这个ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是BAC的平分线即可举一反三：【高清：356996 ：经典例题4-5】【变式】如图，已知O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60，的度数为100，则AEC等于（ ）A. 60 B. 100 C. 80 D. 130

24、【答案】C.沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1（2015奉贤区一模）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A相等弦所对的弧相等 B相等弦所对的圆心角相等C相等圆心角所对的弧相等D相等圆心角所对的弦相等2如图，弦AB，CD相交于E点，若BAC=27，BEC=64，则AOD等于( )A37B74C54D64 （第2题图） （第3题图）3如图，四边形ABCD内接于O，若BOD=138，则它的一个外角DCE等于( )A69B42C48D384如图，ABC内接于O，A=50，ABC=60，BD是O的直径，BD交

25、AC于点E，连结DC，则AEB等于( )A70B90C110D120 （第4题图） （第5题图） 5.如图所示，1，2，3的大小关系是（ ） A123 B312 C213 D3216（2016张家界）如图，AB是O的直径，BC是O的弦若OBC=60，则BAC的度数是（）A75B60 C45 D30二、填空题7. （2016嘉定区一模）在O中，已知=2，那么线段AB与2AC的大小关系是 （从“”或“=”或“”中选择）8. （2015秋苍南县校级期末）已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为 9如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，BDOC，则B的度数是 .ODABC（第1

26、0题图）B 10如图，ABC内接于O，ABBC，BAC30，AD为O的直径，AD2 eq r(3) ，则BD . 11如图，已知O的直径MN10，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP和O上，且POM45，则AB . （第12题图）12如图，已知A、B、C、D、E均在O上，且AC为直径，则A+B+C=_度 三、解答题13. 如图所示，AB，AC是O的弦，ADBC于D，交O于F，AE为O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由14如图所示，O半径为2，弦BD=2，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，求四边形ABCD的面积15如图，O中，直径AB=15cm，有一条长为9c

27、m的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CFCD交AB于F，DECD交AB于E(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由 【答案与解析】一、选择题1.【答案】A； 【解析】A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确故选A2.【答案】B；【解析】 ACD=64-27=37，AOD=2ACD=74. 3.【答案】A；【解析】 BAD=BOD=69，由圆内接四边形的外角等

28、于它的内对角得DCE=BAD=69. 4.【答案】C；【解析】因为A=50，ABC=60，BD是O的直径，所以D=A=50，DBC=40， ABD=60-40=20，ACD=ABD=20，AED=ACD+D=20+50=70， AEB=180-70=110.5.【答案】D； 【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.6.【答案】D【解析】AB是O的直径，ACB=90，又OBC=60，BAC=180ACBABC=30故选D二、填空题7.【答案】【解析】如图，=2，=，AC=BC，在ABC中，AC+BCAB，AB2AC，故答案为：8【答案】60；【解析】弦AB把圆周分成1：5的两部分，弦AB所对的圆心角

29、的度数=360=60故答案为609【答案】60； 10【答案】；11【答案】； 【解析】如图，设ABx，在RtAOD 中: x+（2x）5， x, 即 AB的长. 第11题 第12题12【答案】90 ； 【解析】如图，连结AB、BC，则CAD + EBD +ACE=CBD +EBD +ABE=ABC=90.三、解答题13.【答案与解析】BE=CF理由：AE为O的直径，ADBC， ABE=90=ADC， 又AEB=ACB，BAE=CAF， BE=CF14.【答案与解析】解：连接OA交BD于点F，连接OB，OA在直径上且点A是弧BD中点，OABD，BF=DF=在RtBOF中由勾股定理得OF2=OB

30、2BF2OF=1OA=2AF=1SABD=点E是AC中点AE=CE又ADE和CDE同高SCDE=SADEAE=EC，SCBE=SABESBCD=SCDE+SCBE=SADE+SABE=SABD=S四边形ABCD=SABD+SBCD=215.【答案与解析】 (1)如图，作OHCD于H，利用梯形中位线易证OF=OE，因为OA=OB，所以AF=BE，AF+EF=BE+EF，即AE=BF (2)四边形CDEF的面积是定值.连结OC，则，54(cm2)沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习垂径定理知识讲解（基础） 【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径

31、定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、

32、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB6 cm，OD4 cm，则DC的长为（ ）A5 cm B2.5 cm C2 cm D1 cm 【思路点拨】 欲求CD的长，只要求出O的半径r即可，可以连结OA，在RtAOD中，由勾股定理求出OA.【答案】D； 【解析】连OA，由垂径定理知，所以在RtAOD中，（cm）所以DCOCODOAOD541（cm）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的

33、垂线段的长度）构成的直角三角形。举一反三：【高清：356965 ：例4-例5】【变式】如图，O中，弦AB弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。 【答案】2（2015巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长【答案与解析】解：E为弧AC的中点，OEAC，AD=AC=4cm，OD=OEDE=（OE2）cm，OA=OE，在RtOAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，OD=OEDE=3cm【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距

34、（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形.举一反三：【高清：356965 ：例2-例3】【变式】已知：如图，割线AC与圆O交于点B、C，割线AD过圆心O. 若圆O的半径是5，且，AD=13. 求弦BC的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（ ） A5m B8m C7m D m【思路点拨】 解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题【答案】B；【解析】如图2，表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为的中点，CDAB于D，CD表示拱

35、高，O为的圆心，根据垂径定理的推论可知，C、D、O三点共线，且OC平分AB在RtAOD中，OA13，AD12，则OD2OA2AD213212225 OD5， CDOCOD1358，即拱高为8m【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4（2016惠安县模拟）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 【思路点拨】作ODAB于D，连接OA，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长【答案与解析】解：作ODAB于D，连接OAODAB，OA=2，OD=OA=1，在RtOAD中AD=，AB=2

36、AD=2故答案为：2【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由【答案】不需要采取紧急措施 设OA=R，在RtAOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18， R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324， 解得R=34(m). 连接OM，设DE=x，在RtMOE中，ME=16， 342=162+(34-x)2，

37、 x2-68x+256=0， 解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)， DE=4m3m， 不需采取紧急措施沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习 垂径定理巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.下列结论正确的是（） A经过圆心的直线是圆的对称轴 B直径是圆的对称轴 C与圆相交的直线是圆的对称轴 D与直径相交的直线是圆的对称轴2下列命题中错误的有( ) (1)弦的垂直平分线经过圆心 (2)平分弦的直径垂直于弦 (3)梯形的对角线互相平分 (4)圆的对称轴是直径 A1个 B2个 C3个 D4个3如图所示，AB是O的直径，CD是O的弦，ABCD于E，则图中不大于半圆的相等弧有

38、( ) Al对 B2对 C3对 D4对 第3题 第5题4（2016桐城市模拟）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）A0.5B1C2D45如图所示，矩形ABCD与O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（ ） A2 B4 C6 D86已知O的直径AB=12cm，P为OB中点，过P作弦CD与AB相交成30角，则弦CD的长为（ ）ABCD二、填空题7垂直于弦的直径的性质定理是_8（2016安顺）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= 9圆的半径为5cm，圆心到弦

39、AB的距离为4cm，则AB=_cm10如图，CD为O的直径，ABCD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=_cm 10题图 11题图 12题图11如图，O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=_cm，AOB=_12如图，AB为O的弦，AOB=90，AB=a，则OA=_，O点到AB的距离=_三、解答题13如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60米，拱高18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时是否要采取紧急措施? 14. 如图所示，AB是O的直径，弦CDAB于点P，CD10cm，AP:PB1:5，求O半径 15（2015绵阳模拟）如图

40、，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】图形的对称轴是直线，圆的对称轴是过圆心的直线，或直径所在的直线. 2.【答案】C；【解析】(1)正确；（2）“平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦”才是正确的，所以（2）不正确；（3）对角线互相平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以（3）不正确；（4）圆的对称轴是直径所在的直线，所以（4）不正确故选C. 3.【答案】C；【解析】；. 4.【答案】B.【解析】设半径为r，过O作OEAB交AB于点D，连接OA、OB，

41、则AD=AB=0.8=0.4米，设OA=r，则OD=rDE=r0.2，在RtOAD中，OA2=AD2+OD2，即r2=0.42+（r0.2）2，解得r=0.5米，故此输水管道的直径=2r=20.5=1米故选B5.【答案】C；【解析】过O作OHCD并延长，交AB于P，易得DH=5，而AM=2，MP=3，MN=2MP=23=6.6.【答案】A；【解析】作OHCD于H，连接OD,则OH=, OD=6,可求DH=,CD=2DH=. 二、填空题7【答案】垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧8.【答案】4【解析】如图，连接OC弦CDAB于点E，CD=6，CE=ED=CD=3在RtOEC中，OEC=

42、90，CE=3，OC=4，OE=，BE=OBOE=4故答案为49【答案】6； 10【答案】8；11【答案】； 12【答案】， ； 三、解答题13.【答案与解析】设圆弧所在圆的半径为R，则R2-(R-18)2=302， R=34 当拱顶高水面4米时，有， 不用采取紧急措施.14.【答案与解析】连结OC设APk，PB5k， AB为O直径， 半径且OPOAPA3kk2k ABCD于P， CP5在RtCOP中用勾股定理，有， 即， (取正根)， 半径 (cm)15.【答案与解析】（1）证明：连接AC，如图直径AB垂直于弦CD于点E，AC=AD，过圆心O的线CFAD，AF=DF，即CF是AD的中垂线，A

43、C=CD，AC=AD=CD即：ACD是等边三角形，FCD=30，在RtCOE中，点E为OB的中点；（2）解：在RtOCE中，AB=8，又BE=OE，OE=2， 沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习直线与圆、圆与圆的位置关系知识讲解（基础） 【学习目标】1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它

44、们解题【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1直线

45、和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离2直线与圆的位置关系的判定和性质直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径如果O的半径为r，圆心O到直线的距离

46、为d，那么要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.4切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，

47、它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接

48、圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB； (3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个

49、圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设O1的半径为r1，O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离 dr1+r2两圆外切 d=r1+r2两圆相交 r1-r2dr1+r2 (r1r2)两圆内切 d=r1-r2 (r1r2)两圆内含 dr1-r2 (r1r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相

50、离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【答案与解析】（1）当d=4 cm时，dr，点P在圆内；（2）当d=5 cm时，d=r，点P在圆上；（3）当d=6 cm时，dr，点P在圆外.【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.举一反三：【变式】点A在以O为圆心，3 为半径的

51、O内，则点A到圆心O的距离d的范围是_.【答案】0d3.类型二、直线与圆的位置关系2（2016湖州）如图，圆O是RtABC的外接圆，ACB=90，A=25，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则D的度数是（）A25B40C50D65【思路点拨】首先连接OC，由A=25，可求得BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OCCD，继而求得答案【答案】B【解析】解：连接OC，圆O是RtABC的外接圆，ACB=90，AB是直径，A=25，BOC=2A=50，CD是圆O的切线，OCCD，D=90BOC=40故选B【总结升华】此题考查了切线的性质以及圆周角的性质注意准确作出辅助线是解此题的关键举一反三：

52、【高清： 356966 ：经典例题1-2】【变式】如图，P点是AOB的平分线OC上一点，PEOA于E，以P为圆心，PE为半径作P .求证：P与OB相切。【答案】作PFOB于F，则可证明OEPOFP，所以PF=PE，即F在圆P上，故P与OB相切.3（2015盐城）如图，在ABC中，CAB=90，CBA=50，以AB为直径作O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA（1）求DOA的度数；（2）求证：直线ED与O相切【答案与解析】（1）解；DBA=50，DOA=2DBA=100，（2）证明：连接OE在EAO与EDO中，EAOEDO，EDO=EAO，BAC=90，EDO=90，DE与O相切【总结

53、升华】本题考查了切线的判定，连接OE构造全等三角形是解题的关键类型三、圆与圆的位置关系4(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( ) A外切 B内切 C相交 D相离 (2)已知O1与O2相切，O1的半径为3cm，O2的半径为2cm，则O1O2的长是( )A1cm B5cm C1cm或5cm D0.5cm或2.5cm【思路点拨】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：两圆外离dR+r；两圆外切dR+r；两圆相交R-rdR+r；两圆内切dR-r；两圆内含dR-r【答案】（1）C ； （2）C.【解析】(1)由于圆心距d7cm，R+r5+38(cm)，R-

54、r5-32(cm) R-rdR+r，故这两圆的位置关系是相交(2)两圆相切包括外切和内切，当O1与O2外切时，dO1O2R+r3+25(cm)；当O1与O2内切时，dO1O2R-r3-21(cm)【总结升华】考查圆与圆的5种位置关系.沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习直线与圆、圆与圆的位置关系巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （2016海南）如图，AB是O的直径，直线PA与O相切于点A，PO交O于点C，连接BC若P=40，则ABC的度数为（）A20B25C40D502如图，AB是O的直径，直线EC切O于B点，若DBC=，则( )AA= BA=90 CABD=

55、D 3设O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与O至少有一个公共点，则d应满足的条件是( )A.d=3 B. d3 C. d3 D.d34在RtABC中，C=90，AB=10，AC=6，以C为圆心作C和AB相切，则C的半径长为( )A.8 B.4 C.9.6 D.4.85已知O1和O2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是( )A.相交 B. 内切 C. 外切 D.内含6.（2015内江）如图，在O的内接四边形ABCD中，AB是直径，BCD=120，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则ADP的度数为（）A40B35C30D45二、填空题7锐角三角形的外心在三角形的_部，钝

56、角三角形的外心在三角形的_部，直角三角形的外心在_8若ABC中，C=90，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径为_9在ABO中，OA=OB=2cm，O的半径为1cm，当ABO= 时，直线AB与O相切10如图所示，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为_cm11.如图所示，已知直线AB是O的切线，A为切点，OB交O于点C，点D在O上，且OBA40，则ADC_ 第10题图 第11题图 第12题图12如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1 m的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是_.三、解答题13.

57、 （2016春德惠市校级月考）如图，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，且AD平分CAB过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F求证：EF与圆O相切14 AB是O的直径，BC切O于B，AC交O于D点，过D作O的切线DE交BC于E.求证：CE=BE. 15如图所示，AB是O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆的中点，PD切O于点D，连CD交AB于点E，求证：PDPE 【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】如图，AB是O的直径，直线PA与O相切于点A，PAO=90又P=40，POA=50，ABC=POA=25故选：B 2.【答案】A；【解析】AB是O的直径

58、，ADB=90，A+ABD=90， 又 直线EC切O于B点，+ABD=90，A=，故选A.3.【答案】C；【解析】直线l可能和圆相交或相切. 4.【答案】D；【解析】作CDAB于D，则CD为C的半径，BC=8，由面积相等，得ABCD=ACBC.CD=4.8.5.【答案】D；【解析】内切、外切分别对应d=Rr，d=Rr，它们起着分界作用.在O1和O2相对运动时依次产生外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，圆心距逐渐变小，而相内切和外切起着分界作用，所以先计算dr和dr，因为圆心距d=3Rr，所以“内含”.6.【答案】C；【解析】解：连接BD，DAB=180C=60，AB是直径，ADB=90，

59、ABD=90DAB=30，PD是切线，ADP=ABD=30，故选：C二、填空题7【答案】内，外，它的斜边中点处8【答案】26cm 9【答案】120【解析】如图，连接OC，O与直线AB相切于点C；OCAB；而OA=2，OC=1，A=30；而OA=OB，B=A=30，AOB=18060=120，故答案为12010【答案】8.【解析】因为AB切小O于C，连OA、OC，如图，由切线的性质知OCAB，又由垂径定理得ACBC，在RtAOC中，AO5，OC3 AB2AC8(cm)11【答案】25.【解析】OAAB，OBA40， BOA50， ADCBOA25.12【答案】(1+) m.【解析】由于三个圆两两

60、外切，所以圆心距等于半径之和，所以三个圆心为顶点的三角形是边长为1 m的等边三角形，最高点到地面距离是等边三角形的高加上一个直径.等边三角形的高是，故最高点到地面的距离是(1) m. 三、解答题13.【答案与解析】证明：连接OD，如右图所示，FOD=2BAD，AD平分CAB，EAF=2BAD，EAF=FOD，AEEF，AEF=90，EAF+EFA=90，DFO+DOF=90，ODF=90，ODEF，即EF与圆O相切14.【答案与解析】证法1:连结DB. AB是直径, ADB=90. BDC=90. BC、DE是切线， BE=ED. EBD=EDB. EBD+C=90，且EDB+EDC=90，