2020-2021北京中考数学相似综合题

1、2020-2021北京中考数学相似综合题一、相似1.已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴正半轴相交于点C,过点A作AD丄x轴，垂足为D.若/AOB=60,ABIIx轴，AB=2，求a的值；若/AOB=90,点A的横坐标为-4,AC=4BC，求点B的坐标;延长AD、BO相交于点E,求证：DE=CO.抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且ABIIx轴,A与B是对称点，O是抛物线的顶点，OA=OB,TZAOB=60,AOB是等边三角形，TAB=2,AB丄0C,AC=BC=1,ZBOC=30,OC=“J,A（-1,、）,把A（-1,、）代入抛物线y=a

2、x2（a0）中得：a八；(2)解：如图2,过B作BE丄x轴于E,过A作AG丄BE，交BE延长线于点G,交y轴于F,AC-TAC=4BC,Af=4,AF=4FG,TA的横坐标为-4,B的横坐标为1,A(-4,16a),B(1,a),TZAOB=90,ZAOD+ZBOE=90,TZAOD+ZDAO=90,ZBOE=ZDAO,TZADO=ZOEB=90,ADO-OEB,AD_QL.厂n16s4.16a2=4,1a=-,ta0,1a=.；1B(1,.)；(3)解：如图3,由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B(m,am2)，则A(-mn,am2n2),AD=am?n2,过B作BF丄x轴

3、于F,DEIIBF,BOF-EOD,OB_OF_BF王OBm，,OB11ii,DE=am2n,TOC o 1-5 h zOB_1TOCIIAE,BCO-BAE,CO_OB_1m/:CO_1确定点B的坐标即可。(3)根据(2)可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B(m,am2)，则A(-mn,am2n2)，得出AD的长，再证明厶BOF-EOD,BCO-BAE，得对应边成比例，证得CO=am2n，就可证得DE=CO。2.如图，抛物线y=-X2+bx+c与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C,且OA=1,求抛物线对应的二次函数的表达式；点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且

4、与直线CD相切，求点P的坐标；在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得DCM-BQC?如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)解：二&二:.-；.，-.r1bC=0代入.!-.1+bxC，得f一9十陆十C=解得-抛物线对应二次函数的表达式为：I-L-设直线CD切OP于点E.连结PE、PA,作Vh点.茁叮矿八由一：得对称轴为直线x=1,:一-=:-7.为等腰直角三角形.7?弐.尸二匸.手为等腰三角形.设；厅声=-(4-嚥L在_小中，工二沐-.:-：.:-；:-_；：-(4-ms-1(-1)P十#TOC o 1-5 h z整理，得-汽：解得，丄-点P的坐标为或(3)解：存在点

5、M,使得一-.如图，连结J卩：C4A10-:为等腰直角三角形，-.由(2)可知，才二六-分两种情况.DMCD二当时，22二，解得.210斜二BQ-朗二4二一10加（1-）DMCD二当;时，厂上:，解得厂-.10_肓丿$j综上，点M的坐标为或【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由（1）中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D（1，4）,点C（0，3）,由题意可设点P（1，m）,计算易得DCF为等腰直角三角形，DEP为等腰三角形，在直角三角形PED和APQ中，用勾股定理可将PE、PA用含m的代数式表示出来，根据PA=PE可列方程求解；DMCbDCDk（3）由厶DCM-BQC

6、所得比例式分两种情况：或，根据所得比例式即可求解。13.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为（6，0）,点C坐标为（0,6）,点D是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,连接BD,点F是抛物线上的动点，当ZFBA=ZBDE时，求点F的坐标；（3）如图2,若点M是抛物线上的动点，过点M作MNIIx轴与抛物线交于点N,点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ,求点Q的坐标.X2+bx+c,得【答案】(1)解：把B(6,0),C(0,6)代入y=f-186b-f-c=0:c6

7、b=2-L解得，抛物线的解析式是y=-X2+2X+6，顶点D的坐标是(2,8)（2）解：如图1,过F作FG丄x轴于点G,丄X2+2X+6），贝9FG=(X,FBA=ZBDE,(6,0),DZFGB=ZBED=90,(2,8),二E(2,2+6/,口；1“二FBG-BDE,用丨止0),BE=4,DE=8,OB=6,BG=6-x,当点F在x轴上方时,4,x=-1或x=6(舍去)，此时F的坐标为（-1，-）,当点F在x轴下方时,&4x=-3或x=6(舍去)，此时f2的坐标为（-3,-）,综上可知F点的坐标为（-1,-）或（-3,（3）解：如图2,不妨M在对称轴的左侧，N在对称轴的左侧，MN和PQ交于

8、点K,由题意得点M,N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点P在x轴上点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，KP=KM=k，则Q（2，2k）,M坐标为（2-k，k）,-L-L点M在抛物线y=-x2+2x+6的图象上，k=-（2-k）2+2（2-k）+6解得、或k2=-、-满足条件的点Q有两个，Q（2,-丁，趴丘）或Q2（2,-丫-人/）.【解析】【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。（2）过F作FG丄x轴于点G,设出点F的坐标，表示出FG的长，再证明厶FBG-BDE,利用相似三角形的性质

9、建立关于x的方程，当点F在x轴上方时和当点F在x轴下方时，求出符合题意的x的值，求出点F的坐标。（3）由点M,N关于抛物线的对称轴对称，可得出点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设Q（2,2k）,M坐标为（2-k,k）,再由点M在抛物线上，列出关于k的方程，求解即可得出点Q的坐标。4.在矩形ABCD中，AB=8,AD=12,M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN丄PQ交射线BC于N点。（1）若点N在BC之间时，如图：求证：ZNPQ=ZPQN；请问汇是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明;(2)当厶PB

10、N与厶NCQ的面积相等时，求AP的值.【答案】(1)证明：T四边形ABCD是矩形，/A=ZADC=ZADQ=90,AB/CD,ZAPM=ZDQM,VM是AD边的中点，AM=DM,ZA=ZADQZAPM=ZDQM在厶APM和厶DQM中，总二卞,APM竺DQM(AAS),PM=QM,VMN丄PQ,MN是线段PQ的垂直平分线，PN=QN,ZNPQ=ZPQN二二是定值理由：如图，过点M作ME丄BC于点E,yZMEN=ZMEB=ZAME=90,四边形ABEM是矩形，ZMEN=ZMAP,AB=EM,MN丄PQ,ZPMN=90,ZPMN=ZAME,ZPMN-ZPME=ZAME-ZPME,ZEMN=ZAMP,

11、AMP-EMN,TOC o 1-5 h zAMPkAMPh1；,2：:，,VAD=12,M是AD边的中点，AM=.AD=6,PM6：:AB=8,；即-；解：分点N在BC之间和点N在BC延长线上两种情况(i)当点N在BC之间时，如图，作BF丄PN于点F,CG丄QN于点G，再分别作RtAPBN和RtANCQ的中线BS、CT,ZBFS=ZCGT=90,BS=.PN,CT=.QN,VPN=QN,Spdn=SNCQ,BF=CG,BS=CT跖二CT在RtABFS和RtACGT中，,RtABFS竺RtACGT(HL),ZBSF=ZCTG,11ZBNP=.ZBSF=.ZCTG=ZCQN,ZBNP=CQN匕嘶=

12、NCQ在厶PBN和厶NCQ中，:八E,.PBN竺NCQ(AAS),ABN=CQ,BP=CN,TAP=AB-BP=8-CN，又:CN=BC-BN=12-CQ,AAP=CQ4又:CQ=CD+DQ,DQ=AP,AAP=4+AP(舍去)，A此种情况不成立；(ii)当点N在BC延长线上时，如图，作BF丄PN于点F,CG丄QN于点G,再分别作同理可得，PBNNCQ,APB=NC,BN=CQ,TAP=DQ,TAP+8=DQ+CD=CQ=BC+CN=12+BP,AAP-BP=4，TAP+BP=AB=8，+得：2AP=12,AAP=6.【解析】【分析】(1)由矩形的性质用角角边易证厶APM竺DQM,可得PM=Q

13、M,已知MN丄PQ,由线段的垂直平分线的定义可得MN是线段PQ的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线的性质可得PN=QN,由等边对等角可得/NPQ=ZPQN；过点M作ME丄BC于点E,由矩形的性质跟据有两个角对应相等的两个三角形相似易证AMPhPh二AMP-EMN,可得比例式厂,结合已知条件易求得：:为定值；(2)根据MN丄PQ交射线BC于N点可知分两种情况：当点N在BC之间时，如图，作BF丄PN于点F,CG丄QN于点G,再分别作RtAPBN和RtANCQ的中线BS、CT,通过证RtABFS竺RtACGT和厶PBN竺NCQ可求解；当点N在BC延长线上时，如图，作BF丄PN于点F,CG丄QN于点G

14、，再分别作RtAPBN和RtANCQ的中线BS、CT,通过证PBN竺NCQ可求解。5.如图1,在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,E、F分别是AB、BD的中点，连接EF,点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(0VtV4)s,解答下列问题：朋ffix岳用淫求证：BEF-DCB；当点Q在线段DF上运动时，若PQF的面积为0.6cm2,求t的值;（3）当t为何值时，APQF为等腰三角形？试说明理由.【答案】（1）解：T四边形ABCD是矩形，2丁/ADIIB

15、C，.二八=八在E14ABD中，E01Or-别是上-靑的中点，1PF=-AD=4,肝=DF=.LEFIIAD,”EFIIBC，.5.TU._空一（2）解：如图1,过点Q作圧一兰于；，QMIIBE，.斜_QFTOC o 1-5 h z*：-rBERF”_5-J.7:r353Q繭二二祐-2t).5113.7S.二尹X朗二：M-0X-6T-M=0,6=_b.(舍)或.秒(3)解：当点Q在DF上时，如图2，J当点Q在BF上时，：丁此，如图3,.J.J用二尺时，如图4,2t-5拧20用二刃时，如图5,兀19综上所述，t=1或3或或秒时，PQF是等腰三角形【解析】【分析】（1）根据题中的已知条件可得BEF

16、和厶DCB中的两角对应相等，从而可证BEF-DCB；（2）过点Q作QM丄EF于M，先根据相似三角形的预备定理可证QMF-BEF；再由QMF-BEF可用含t的代数式表示出QM的长；最后代入三角形的面积公式即可求出t的值。（3）由题意应分两种情况：（1）当点Q在DF上时，因为ZPFQ为钝角，所以只有PF=QF。（2）当点Q在BF上时，因为没有指明腰和底，所以有PF=QF；PQ=FQ；PQ=PF三种情况，因此所求的t值有四种结果。6.已知如图1,抛物线y=-x2-x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C,点D的坐标是（0,-1），连接BC、AC.J.J图i图图3（1）求出直线

17、AD的解析式；（2）如图2,若在直线AC上方的抛物线上有一点卩，当厶ADF的面积最大时，有一线段MN=I（点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；（3）如图3，将DBC绕点D逆时针旋转a（0VaV180），记旋转中的DBC为DBC，若直线BC与直线AC交于点P,直线BC与直线DC交于点0，当厶CPQ是等腰三角形时，求CP的值.【答案】（1）解：t抛物线y=-X2-x+3与x轴交于A和B两点，.j.j二0=-X2-x+3，二x=2或x=-4，A（-4，0），B（2，0），TD（0，-1），1直线AD解析式为

18、y=-x-1过点F作FH丄x轴，交AD于H，设F(m,-m2-m+3),H(m,-m-1),TOC o 1-5 h z.j.j1.j1FH=-m2-m+3-(-m-1)=-m2-m+4,.jm2-m+8=-(m+1.j1.j二S=S+S=-FHx|x-xl=2FH=2(-m2-m+4)=-ADFAFHDFH1D入人丨厶门厶11121112f)2+,2当m=-时，S“df最大，216F(-,)如图2,作点A关于直线BD的对称点亠,把亠沿平行直线BD方向平移到A2,且AA2八,连接A2F,交直线BD于点N,把点N沿直线BD向左平移得点M,此时四边形AMNF的周长最小.TOB=2,OD=1,tanZ

19、OBD=.,TAB=6,叭FAK=,AA=2AK=,在RtAABK中，AH=,A】H=,5OH=OA-AH=,过a2作a2p丄a2h.二厶A1A2P=ZABK,二a2P=2,A1P=1,A(-，-)221GvF(-,)107.a2f的解析式为y=-x-TB(2,0),D(0,-1),.直线BD解析式为y=-.x-1,联立得，x=-，.N点的横坐标为：-(3)解：TC(0,3),B(2,0),D(0,-1)CD=4,BC=,0B=2,BC边上的高为DH,11根据等面积法得，BCxDH=-CDxOB,CDXOB_X2典仍DH=：=,TA(-4,0),C(0,3),OA=4,OC=3,OA4.tan

20、ZACD=,当pc=pq时，简图如图1,过点P作PG丄CD,过点D作DH丄PQ,4vtanZACD=设CG=3a，则QG=3a,PG=4a,PQ=PC=5a,DQ=CD-CQ=4-6avPGQ-DHQ,PGPQ二-.,岛5a13a=-,10.PC=5a=；当PC=CQ时，简图如图2,2过点P作PG丄CD,4vtanZACD=设CG=3a,则PG=4a,.CQ=PC=5a,QG=CQ-CG=2a,PQ=2a,DQ=CD-CQ=4-5aPGQ-DHQ,卜、:66同的方法得出，PC=4-，设CG=3a,则PG=4a，从而得出CQ,QG,PQ,DQ的长，由PGQ-DHQ,同的方法得出，PC的长；当QC

21、=PQ时，简图如图1过点Q作QG丄PC，过点C作CN丄PQ,设CG=3a，则QG=4a,PQ=CQ=5a,PG=3a，PC=6aDQ=CD-CQ=4-5a，利用等面积法得，CNxPQ=PCxQG，CN=a，TCQN-DQHJI同的方法得出PC=当PC=CQ时，简图如图4，/A/DK过点P作PG丄CD,过H作HD丄PQ,设CG=3a,则PG=4a,CQ=PC=5a,QD=4+5a,PQ=4-J,QPG-QDH,同方法得出.CP=-10丘釦云7-24丿（A/73S65综上所述，PC的值为：.；4-,=【解析】【分析】(1)根据抛物线与x轴交点的坐标特点，把y=0代入抛物线的解析式，得出一个关于x的

22、一元二次方程，求解得出x的值，进而得出A,B两点的坐标；然后由A,D两点的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式；过点F作FH丄x轴，交AD于H,根据函数图像上点的坐标特点，及平行于y轴的直1线上的点的坐标特点，设出F,H的坐标，从而得出FH的长度，S“df=S“fh+Sadfh=-FHx|xDE-xA|=2FH,列出关于m的函数解析式，再根据二次函数的性质，由顶点式得出当m=-时，S“df最大，从而得出F点的坐标；如图2，作点A关于直线BD的对称点A】，把A】沿平行直线BD方向平移到A2，且AA2=J，连接A2F，交直线BD于点N,把点N沿直线BD向左平移一推得点M,此时四边形AMNF的周长

23、最小，进而求出点A1，A2坐标，即可确定出A2F的解析式和直线BD解析式联立方程组即可确定出N点的横坐标；根据C,B,D三点的坐标，得出CD,BC,OB的长，BC边上的高为DH，根据等面积法得11BCxDH=CDxOB，从而得出DH的长，根据A,C两点的坐标，得出OA,OC的长，根据正切函数的定义得出tanzACD=4:3；然后分四种情况讨论：当PC=PQ时，过点P作PG丄CD，过点D作DH丄PQ,由tanzACD=4:3，设CG=3a，则QG=3a，PG=4a，PQ=PC=5a,从而由DQ=CD-CQ得出DQ的长，根据PGQ-DHQ,得出PG:DH=PQ:DQ,从而求出a的值，进而求出PC的

24、值；当PC=CQ时，简图如图2,过点P作PG丄CD,tanzACD=4:3,设CG=3a，则PG=4a,从而得出CQ,QG,PQ,DQ的长，由厶PGQ-DHQ,同的方法得出，PC的长；当QC=PQ时，过点Q作QG丄PC,过点C作CN丄PQ,设CG=3a，则QG=4a,PQ=CQ=5a，从而得出PG,PC,DQ的长，利用等面积法得，CNxPQ=PCxQG，从而得出CN,由厶CQN-DQH同的方法得出PC的长；当PC=CQ时，过点P作PG丄CD,过H作HD丄PQ,设CG=3a，则PG=4a,CQ=PC=5a,从而得出QD,PQ的长，由QPG-QDH,同方法得出.CP的长。7.如图，已知二次函数y=

25、ax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4)，与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;（2）判断ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NMIIAC，交AB于点皿，当厶AMN面积最大时，求此时点N的坐标.【答案】（1）解：TA（0，4）,二c=4，把点C坐标（8,0）代入解析式，得：a=（2）解：令y=0，则解得，x1=8，x2=-2，A点B的坐标为（-2,0）,由已知可得，在RtAA

26、OB中，AB2=BO2+AO2=22+42=20，在RtAAOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又TBC=OB+OC=2+8=10,在厶ABC中AB一2+AC一2=20+80=102=BC2，二ABC是直角三角形；（3）解：由勾股定理先求出AC,AC=,在x轴负半轴，当AC=AN时，NO=CO=8,.此时N（-8,0）；在x轴负半轴，当AC=NC时，NC=AC=叮,TCO=8,.NO=I-8,.此时N（8-VL0）；在x轴正半轴，当AN=CN时，设CN=x，贝yAN=x,ON=8-x,在RtAAON中，=，解得：x=5,.ON=3,.此时N（3,0）；在x轴正半轴，当AC=NC时，

27、AC=NC=逼,.ON=叮+8,.此时N（、+8,0）；综上所述：满足条件的N点坐标是（-8,0）、（8-叮，0）、（3,0）、（8+吋-,0）；（4）解：设点N的坐标为（n,0）,则BN=n+2,过M点作MD丄x轴于点D,BMBM册MD二MDII0A,:.BMD-BAO,:MNIAC,/.,OA,J/OA=4,BC=10,BN=n+2,MD=（n+2）,vS=ssAMNABNBMN11J2-”BN0A-BNMD=-X（n+：）X4-X-_（n2）X（n十2）(n_3)+5,V&时，ABC与氐EFG有重叠部分.分两种情况：当t3时，如图（4）,E*.SIC45AABC与厶EFG有重叠部分为EM

28、N,设AC与EF、EG分别交于点M、N,过点N作直线NP丄EF于P,交DG于Q,则ZEPN=ZCQN=90,TNC=CG,NC=DG-DC=3、-t,在RtANQC中，NQ=sinZNCQxNC=sin60 x(3：-t)=9-Z-jPN=PQ-NQ=3-ZPMN=ZNCQ=60,sinZPMN=；,MN=He：在矩形DEFG中，EFIIDG,ZMEN=ZCGN,/ZMNE=ZCNG,ZCNG=ZCGN,.ZEMN=ZMNE,.EM=MN,.EM=MN=t-,.代EMN二EMPN二少7、.=t-J,x当3t时，如图（5）,團（J）ABC与厶EFG重叠部分为四边形PQNM,设AB与EF、EG分别

29、交于点P、Q,AC与EF、EG分别交于点M、N,则ZEPQ=90,TCG=3飞厂-t,2J一r于S=1dEMNTEP=DB=t-3,ZPEQ=30,-J.j在RtAEPQ中，PQ=tanZPEQxEP=tan30 x(t-3)=11、：讥-人B厂J十.沐epq=1EPPQ=】(t-3)二&-，殛也如+?*EMN-EPQ：)-(综上所述，y与t的函数关系式：y=【解析】【分析】(1)证厶ABC-EDC,由相似三角形的性质可求出CD的值，即可求t；(2)利用勾股定理求出DG的值，则由三角函数可ZEGD=30，进而可证得乙CNG=ZEGD，贝NC=CG=DG-BC，可求出答案；(3)根据重叠部分可确

30、定x的取值范围，再由三角形的面积公式可求出函数解析式.9.如图，四边形ABCD内接于OO，AB是O0的直径，AC和BD相交于点E,且DC2=(2)分别延长AB，DC交于点P,若PB=OB,CD=，求OO的半径.【答案】（1）证明：TDC2=CECA,DCCA二二：-，TZDCE=ZACD，CDEACAD，ZCDE=ZCAD，又TZCBD=ZCAD，ZCDE=ZCBD，CD=CB.(2)解：连结OC(如图)，设OO的半径为r，由（1）知CD=CB,弧CD=弧CB,1ZCDB=ZCBD=ZCAB=ZCAD=.ZBAD,ZBOC=2ZCAB,ZBOC=ZBAD,OCIIAD,PCK，.,TPB=OB

31、,PB=OB=OA=r,PO=2r,PC_PO_01Q：=2,TCD=2X,PC=4,PD=PC+CD=6,又TZPCB=ZCDB+ZCBD,ZPAD=ZPACB+ZCAD,ZPCB=ZPAD,TZCPB=ZAPD,PCBAPAD,PC_Pb,r即；、，解得：r=4.即OO的半径为4.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等可得CDEACAD,再由相似三角形的性质：对应角相等，等量代换可得ZCDE=ZCBD,根据等腰三角形的性质即可得证.（2）连结OC，设OO的半径为r,根据圆周角定理可得ZBOC=ZBAD，由平行线的判定得PCOCIIAD,根据平行线所截线段成比例

32、可得=2，从而求得PC、PD长，再根据相似PC_Pb三角形的判定可得PCBAPAD,由相似三角形的性质可得.：,从而求得半径.10.已知：A、B两点在直线丨的同一侧，线段AO,BM均是直线丨的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线丨向右平移，在平移过程中，始终保持ZABP=90不变，BP边与直线l相交于点P.A.当P与0重合时(如图2所示)，设点C是AO的中点，连接BC.求证：四边形OCBM是正方形；ABOk请利用如图1所示的情形，求证:二：；若A0=2，且当M0=2P0时，请直接写出AB和PB的长.【答案】(1)解：T2BM=A0，2C0=A0，BM=CO，TAOIIBM，.

33、四边形OCBM是平行四边形，TZBMO=90,.OCBM是矩形，TZABP=90，C是AO的中点，.OC=BC，.矩形OCBM是正方形(2)解：连接AP、OB，TZABP=ZAOP=90，.A、B、O、P四点共圆，由圆周角定理可知：ZAPB=ZAOB,TAOIIBM，ZAOB=ZOBM，ZAPB=ZOBM，APB-OBM，AB_Ok.-3一门:(3)解：当点P在O的左侧时，如图所示,过点B作BD丄AO于点D,易证PEO-BED,POOE.匸-,易证：四边形DBMO是矩形,.BD=MO,OD=BM,.MO=2PO=BD,OE_1.,:AO=2BM=2*,.BM=-J,.OE=,DE=,易证ADB

34、-ABE,.AB2=ADAE,AD=DO=DM=、，-,56AE=AD+DE=AB=,M、：门由勾股定理可知：BE=,易证：PEO-PBM,BEQM2二，.PB=/；当点P在O的右侧时，如图所示,过点B作BD丄0A于点D,TMO=2PO,点P是OM的中点，设PM=x,BD=2x,TZAOM=ZABP=90,A、0、P、B四点共圆，四边形AOPB是圆内接四边形，.ZBPM=ZA,ABD-PBM,AD_Ph,又易证四边形ODBM是矩形，A0=2BM,AD=BM=*,y6r二解得：x八,BD=2x=2订由勾股定理可知：AB=3”：，BM=3【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四

35、边形得出四边形OCBM是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出OCBM是矩形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出结论；（2）连接AP、0B,根据ZABP=ZAOP=90,判断出A、B、0、P四点共圆，由圆周角定理可知：ZAPB=ZAOB,根据二直线平行内错角相等得出ZAOB=ZOBM,根据等量代换得ABOh二出ZAPB=ZOBM，从而判断出APB-OBM，根据相似三角形对应边成比例得出人;（3）当点P在0的左侧时，如图所示，过点B作BD丄A0于点D,易证PEO-BED,PO_0E根据相似三角形对应边成比例得出，易证：四边形

36、DBMO是矩形，根据矩形的性质得出BD=MO,OD=BM，故M0=2P0=BD,进而得出BM,OE,DE的长，易证ADB-ABE,根据相似三角形对应边成比例得出AB2=ADAE,从而得出AE,AB的长，由勾股定理可得BF的长，易证：PEO-PBM,根据相似三角形对应边成比例得出BE:PB=OM:PM=2:3，根据比例式得出PB的长；当点P在0的右侧时，如图所示，过点B作BD丄0A于点D,设PM=x,BD=2x，由ZA0M=ZABP=90，得出四边形AOPB是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得出ZBPM=ZA,从而判断出ABD-PBM,根据相似三角形对应边成比例得出AD:BD=PM:BM,根

37、据比例式得出x的值，进而得出BD,AB,BP的长。.J11.抛物线y=ax2+bx+3(aHO)经过点A(-1,0),B(,0)，且与y轴相交于点C.求这条抛物线的表达式；求/ACB的度数；设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE丄AC，当厶DCE与厶AOC相似时，求点D的坐标.【答案】(1)解：当x=0，y=3，C(0,3)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-).将c(0，3)代入得：-a=3，解得a=2，抛物线的解析式为y=-2x2+x+3(2)解：过点B作BM丄AC，垂足为M,过点M作MN丄OA,垂足为N。vOC=3，AO=1，tanZCAO=3，