新教材苏教版高中数学必修第二册全册书各章节知识点考点重点难点解题规律归纳总结

1、苏教版高中数学必修第二册知识点总结第9章平面向量.-2-9.1向量概念.-2-9.2向量运算.-6-9.3向量基本定理及坐标表示.-20-9.4向量应用.-30-第10章三角恒等变换.-33-10.1两角和与差的三角函数.-33-10.2二倍角的三角函数.-43-10.3几个三角恒等式.-47-第11章解三角形.-52-11.1余弦定理.-52-11.2正弦定理.-55-11.3余弦定理、正弦定理的应用.-63-第12章复数.-68-12.1复数的概念.-68-12.2复数的运算.-72-12.3复数的几何意义.-78-12.4复数的三角形式*.-81-第13章立体几何初步.-86-13.1基

2、本立体图形.-86-13.2基本图形位置关系.-96-13.3空间图形的表面积和体积.-123-第14章统计.-130-14.1获取数据的基本途径及相关概念.-130-14.2抽样.-132-14.3统计图表.-140-14.4用样本估计总体.-148-第15章概率.-160-15.1随机事件和样本空间.-160-15.2随机事件的概率.-163-15.3互斥事件和独立事件.-168-第9章平面向量9.1向量概念知识点1向量的定义及表示定义既有大小又有方向的量叫作向量(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表表示示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点

3、的向量记为AB；方法模向量AB的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB|(2)字母表示：用小写字母a，b，c来表示1定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特征？只描述其中一个方面可以吗？提示向量不仅有大小而且有方向，其中大小描述了向量的代数特征，方向描述了向量的几何特征，两者缺一不可，故不能只描述其中一个方面知识点2向量的有关概念及其表示名称零向量单位向量平行向量相等向量相反向量定义长度为0的向量长度等于1个单位长度的向量方向相同或相反的非零向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相反的向量表示方法记作0a与b平行(或共线)，记作aba与b相等，记作aba的相反向量记作a(2

4、)已知A，B为平面上不同两点，那么向量AB和向量BA相等吗？它们共线吗？(2)因为向量AB和向量BA方向不同，所以二者不相等又表示它们的有向线段2(1)零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线吗？(3)向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？提示(1)零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量共线在同一直线上，所以两向量共线与CB是平行向量；(3)在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则向量DE与CD是平行向量，则直线AB与直线CD平行；(5)若非零向量AB与BA是模相等的平行向量(6)非零向量AB与CB方向相反，是平行(3)正确由三角形中位线性质知，DEBC，向量D

5、E与BA的模相等，方向相反，二者是平行向量(6)正确非零向量AB(3)不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合重点题型类型1向量的概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由(1)任何两个单位向量都是平行向量；(2)零向量的方向是任意的；(4)对于向量a、b、c，若ab，且bc，则ac；解(1)错误因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反；(2)正确任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；向量；(4)错误b为零向量时，有ab且bc，但a与c的方向可以任意变化，它

6、们不一定是平行向量；(5)错误A、B、C、D四点也可能在同一条直线上；1在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)2涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量3对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量(1)作出向量AB，BC，CD，AD；(2)求|AD|依据向量的几何特征和代数特征，分别作出向量AB，BC，CD，AD；进而求出|AD|.类型2向量的表示【例2】一辆汽车从A点出发，向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50行驶

7、了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D解(1)如图(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线，即ABCD又|AB|CD|，|AD|BC|200(千米)边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与AC平行且长度为在四边形ABCD中，ABCD，四边形ABCD为平行四边形，用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度模，选择合适的比例关系作出向量.类型3共线向量【例3】(对接教材P6例2)如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各22的向量个数有_个8如图所

8、示，满足与AC平行且长度为22的向量有AF，FA，EC，CE，GH，HG，共IJJI1(变条件)在本例中，与向量AC同向且长度为22的向量有多少个？解与向量AC同向且长度为22的向量占与向量AC平行且长度为22的向2(变条件)在本例中，与向量AO相等的向量有多少个？解题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量AO方向相同的向8个量中的一半，共4个量与其相等，共有8个1寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线2寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的

9、向量如图，已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OAa，ABb，则向量OB叫作a与b的和，记作ab，即abOAABOB9.2向量运算9.2.1向量的加减法第1课时向量的加法知识点1向量的加法(1)向量加法的定义求两个向量和的运算叫作向量的加法(2)向量加法的运算法则三角形法则：如图，已知两个不共线的非零向量a，b，作OAa，OCb，以OA，OC为邻边作OABC，则以O为起点的对角线表示的向量OBab，这个法则叫作向量这个法则称为向量加法的三角形法则平行四边形法则：加法的平行四边形法则向量的三角形法则和平行四边形法则是否对任意两个向量的加法都适用？提示向量的三角形法则对任意两个向量的加法都可以适

10、用；向量的平行四边形法则仅适用两个不共线的非零向量知识点2向量加法的运算律(1)交换律：abba(2)结合律：(ab)ca(bc)(3)a00aa(4)a(a)(a)a0重点题型类型1向量加法的三角形法则和平行四边形法则【例1】如图，已知向量a，b，c，求作和向量abc如图，首先在平面内任取一点O，作向量OAa，接着作向量ABc，则得向量OBac，然后作向量BCb，则向量OCabc为所求解法一：可先作ac，再作(ac)b，即为abc(用到向量加法运算律)(1)在平面内任取一点O，作OAa，OBb；(2)作平行四边形AOBC，则OCab；(3)再作向量ODc；(4)作CODE，则OEOCcabc

11、则OE即为所法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作如图，求向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：区别：1三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；2三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用【例2】(1)在正六边形ABCDEF中，ABa，AFb，则AC_，AD_，AE_(2)ABDFCDBCFA_于不共线的两个向量求和.联系：1当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；2三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.类型2向量的加法运算(1)2ab2a2ba2b(2)0(1)如图，连接FC交AD于点O，连

12、接OB，由平面几何知识得四边形ABOF，四边形ABCO均为平行四边形根据向量的平行四边形法则，有AOABAFab在平行四边形ABCO中，ACABAOaab2ab，AD2AO2a而FEAOab，由三角形法则得AEAFFEbaba2b(2)ABDFCDBCFAABBCCDDFFA02b1解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成02运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点类型3向量加法在实际问题中的应用【例3】(对接教材P11例2)已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10(2)

13、如图所示，设MA表示水流的速度，MN表示小船实际过河的速度km/h(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)结合实际问题画出草图，借助三角形的边角关系求解.解(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0km/h，此时小船是静止的设MCMA，|MA|MB|10，CMN30MAMBMN，在MNB中，|BN|MN|MB|10，BMN60，而CMN30，四边形MANB为菱形则AMN60，AMN为等边三角形CMB30，所以小船

14、要由M直达码头N，其航向应为北偏西30解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题转化为数学问题正确画出示意图用向量表示实际量向量运算回扣实际问题作出解答.第2课时向量的减法知识点向量的减法(1)向量减法的定义若bxa，则向量x叫作a与b的差，记为ab，求两个向量差的运算，叫作向量的减法如图所示，以O为起点，作向量OAa，OBb，则BAab，即当向量a，(2)向量的减法法则b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是ab向量的加法三角形法则和减法三角形法则有什么不同？类比实数的减法，aba(b)是否一定恒成立？提示向量的加法三角形法则对任意两个向量首尾相接，第一个向量的起点指向第

15、二个向量的终点的向量就是它们的和向量；向量的减法三角形法则，对任意两个向量同起点，由减向量的终点指向被减向量的终点的向量就是它们的差向量；类比实数的减法，aba(b)一定恒成立重点题型类型1向量减法的几何作图【例1】(对接教材P12例3)如图，已知向量a，b，c，求作向量abc如图所示，以A为起点分别作向量AB和AC，使ABa，ACb，连接CB，得向量CB，再以C为起点作向量CD，使CDc，连接DB，得向量DB则向量DB解法一：先作ab，再作(ab)c即可即为所求作的向量abc(1)作ABb和BCc；(2)作OAa，则OCabcNQPQNMMP；(ABCD)(ACBD)(2)如图所示，四边形A

16、CDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且ABa，ACb，AEc，试用向量a，b，c表示向量CD，BC，BD法二：先作b，c，再作a(b)(c)，如图求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.类型2向量减法法则的应用【例2】(1)化简下列式子：解(1)原式NQQP(NMMP)NPNP0(ABCD)(ACBD)ABCDACBDABDCCABD(ABBD)(DCCA)ADDA0(2)因为四边形ACDE是平行四边形，所以CDAEc；BCACABba，故BDBCC

17、Dbac解如图，设ABa，(1)向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点(2)用几个基本向量表示其他向量的技巧观察待表示的向量位置；寻找相应的平行四边形或三角形；运用法则找关系，化简得结果类型3|ab|与a，b之间的关系【例3】已知|a|6，|b|8，且|ab|ab|，求|ab|结合向量加、减的运算法则，你能发现向量a，b间存在怎样的位置关系？如何借助该关系求得|ab|.ADb，以AB，AD为邻边作ABCD则ACab，DBab，所以|AC|DB|在RtDAB中，|AB|6，|AD|8，因为|a

18、b|ab|，又四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形故ADAB由勾股定理得|DB|AB|2|AD|2628210，所以|ab|101以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量ABa，ADb，则两条对角线表示的向量为ACab，DBab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住2若|ab|ab|，则以a，b为邻边的平行四边形是矩形9.2.2向量的数乘知识点1向量的数乘定义一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|a|；(2)若a0，则当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反实数与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘特别地，当0时，

19、0a0；当a0时，00向量的数乘a的几何意义：当0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小1a0，一定能得到0吗？提示不一定a0，则0或a0知识点2向量数乘的运算律设a，b为向量，为实数，则(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算知识点3向量共线定理一般地，对于两个向量a(a0)，b，设a为非零向量，如果有一个实数，使b6a；(2)23a2b3ab62a73a2babab2(2)原式2372a6(1)如果ABe1e2，BC2e18e2，CD3(e1e2)，求证：A，B，D三点共与AD或BD共线？

20、1欲证A，B，D三点共线，能否证明ABba，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba2向量共线定理中，为什么规定a0提示当a0时，显然b与a共线，此时若b0，则存在无数实数，使ba；若b0，则不存在实数使得ba重点题型类型1向量数乘的基本运算【例1】计算：(1)6(3a2b)9(2ab)；217137(3)6(abc)4(a2bc)2(2ac)解(1)原式18a12b18a9b3b2171313117172ab3a2b12a2b12a0(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c6a2b向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”

21、，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.类型2向量的共线问题【例2】已知非零向量e1，e2不共线线(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值2若ke1e2与e1ke2共线，则两向量间存在怎样的等量关系？解(1)证明：ABe1e2，BDBCCD2e18e23e13e25(e1e2)5AB，AB，BD共线，且有公共点B，A，B，D三点共线(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k12若A，B，C三点共线，则向量AB，AC，BC在同一直线上，因此必定存在点，D是把OB分成21的一个内分点，DC

22、和OA交于E，设OAa，OBb(2)ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1k0，k10，1证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据实数，使得其中两个向量之间存在线性关系而向量共线定理是实现线性关系的依据类型3向量的表示【例3】如图所示，已知OAB中，点C是以A为对称中心的B点的对称(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OEOA，求实数的值2OAOBOC，即OC2OAOB2ab，DCOCODOC3OB解(1)依题意，A是BC中点，2252ab3b2a3b(2)若OEOA，则CEOEOCa(2ab)(

23、2)abCE与DC共线，存在实数k，使CEkDC，(2)abk2a3b，解得554用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想(1)定义：已知两个非零向量a，b，作OAa，OBb，则AOB称为向量a9.2.3向量的数量积知识点1向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos叫作向量a和b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos规定：零向量与任一向量的数量积为01(1)两个向量的数量积是向量吗？(

24、2)数量积的大小和符号与哪些量有关？提示(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量(2)数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定知识点2两个向量的夹角与b的夹角设a，b是两个非零向量，如图，OA表示向量a，OB表示向量b，过点A作OB所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a在向量b上的投影向量(2)范围：0180(3)当0时，a与b同向；当180时，a与b反向(4)当90时，则称向量a与b垂直，记作abab(5)两个非零向量a和b的夹角，可以由cos|a|b|求得知识点3投影向量(1)(2)b所以

25、OA1(|a|cos)|b|，abOA1b投影向量与向量数量积的关系：向量a和向量b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积知识点4向量的数量积的运算律及性质(1)向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数abba；(a)ba(b)(ab)ab；(ab)cacbc(2)数量积的性质：aa|a|2或|a|aa；|ab|a|b|，当且仅当向量a，b为共线向量时取“”号；abab0(向量a，b均为非零向量)2向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？解(1)ab|a|b|cos1202323a，OBb，AOB60【例2】已知向量OA，且|a|b|4求|ab|，提示向量线性

26、运算结果是向量，而数量积运算结果是数量重点题型类型1向量数量积的运算【例1】(对接教材P20例1)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b)1(2)a2b2|a|2|b|2495(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos1203|b|281527341求平面向量数量积的步骤：求a与b的夹角，0，；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“”连结，而不能用“”连结，也不能省去2较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简类型2求向量

27、的模|ab|，|3ab|1解ab|a|b|cosAOB4428，|ab|ab2a22abb216161643，|ab|ab2a22abb21616164，|3ab|3ab29a26abb291648164131求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用aa|a|2，bab2勿忘记开方(2一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，ab)(ab)a2b2等类型3求向量的夹角【例3】已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角ab|由两组向量分别垂直可得出|a|，b|同ab的关系，由此可借助公式cos|a|b|求a与b的夹角.解由已知，

28、得(a3b)(7a5b)0，即7a216ab15b20，(a4b)(7a2b)0，即7a230ab8b20，1两式相减，得2abb2，ab2b2，代入中任一式，得a2b2，设a，b的夹角为，121则cos|a|b|b|22，0180，60求a与b夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质ab计算cos|a|b|，最后借助0，求出的值|(2)在个别含有|a|，b|及ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos的值提醒：注意两向量的夹角0，9.3向量基本定理及坐标表示9.3.1平面向量基本定理知识点1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面

29、内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2(2)基底：两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？提示能依据是数乘向量和平行四边形法则知识点2平面向量的正交分解由平面向量基本定理知，平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a1e12e2的形式我们称1e12e2为向量a的分解当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解重点题型类型1对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列说法正

30、确的是()A若实数1，2，使1e12e20，则120B空间任一向量a可以表示为a1e12e2，这里1，2为实数C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对A平面内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数1，2，向量1e12e2一定在平面内，故C不正确；而对平面内的任一向量a，实数1，2是唯一的，故D不正确考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来【例2】如图所示，在ABC中，点M是AB的中点，且

31、AN2NC，BN与CM相交于点E，设ABa，ACb，试用基底a，b表示向量AE类型2用基底表示向量11解法一：由已知，在ABC中，AMMB，且ANNC，已知BN与CM2交于点E，过N作AB的平行线，交CM于D，如图所示所以NDNEMBEBEM3所以NE5NB，AEANNE3AC5NB3AC5(NAAB)3AC53ACAB5AB5AC5a5b法二：易得AN3AC3b，AM2AB2a，CNND2eqoac(,在)ACM中，CAAM3，DE2，2121212121211111由N，E，B三点共线知存在实数m，满足1AEmAN(1m)AB3mb(1m)a由C，E，M三点共线知存在实数n，满足AEnAM

32、(1n)AC2na(1n)b1m1n，111所以3mb(1m)a2na(1n)b21m1n，因为a，b为基底，所以3n4，5m3，解得521所以AE5a5b将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.类型3平面向量基本定理与向量共线定理的应用【例3】如图，在ABC中，点M是BC的中点，N在AC上且AN2NC，AM与BN交于点P，求APPM的值解设ABa，ACb，设APAM，(ab)同理设BPBN，BPa3b12则AM2(ab)，BNa3bA，P，M共线，AP

33、22ABAPPB，a2(ab)a3b，12a23b22a与b不共线，2，1，223AP5AM，BP5BN，435，5，43APPM411充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用2用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握9.3.2向量坐标表示与运算第1课时向量的坐标表示知识点1向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得axiyj我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a(x，y)1在平面直角坐标

34、系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a(1，1)，则向量a的位置确定了吗？(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则ABOBOA(x2，y2)(x1，提示对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定对于向量a，给定的坐标为a(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关知识点2向量线性运算的坐标表示(1)已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)y1)(x2x1，y2y1)，即一

35、个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标2设i，j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a(R)如何分别用基底i，j表示？提示ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j重点题型类型1平面向量的坐标表示【例1】(对接教材P28例1)在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图，|a|4，|b|3，且AOx45，OAB105，分别求向量a，b的坐标abb解设a(a1，2)，(b1，2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45，22所以a1|a

36、|cos454222，a2|a|sin454222可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120，所以b1|b|cos120322，故a(22，22)，b，AC，AB【例2】已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求AB，2AB1ACAC(3，1)，AC(3，2)，ABAC(0，1)，AB2AB2AC(6，2)2，12，1OAtAB，试问：【例3】已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP13333b2|b|sin12032233322求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.类型2平面向量的坐标运算2解A(4，6)，

37、B(7，5)，C(1，8)，139平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行类型3平面向量线性运算的坐标应用(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值若不能，说明理由OAtAB(13t，23t)，OP(1，2)，PB(33t，33t)，(2)因为OAPB，若OABP是平行四边形，则OA值范围为，3得23t13t，解得t(3，3)，解(1)AB以坐标轴上

38、点的坐标特征为切入点求解t的值；结合平行四边形的向量表达式建立参数t的表达式则P(13t，23t)2若P在x轴上，则23t0，所以t3；1若P在y轴上，则13t0，所以t333t1，所以此方程组无解；33t2，故四边形OABP不可能是平行四边形1(变条件)在本例条件下，若P在第三象限，求t的取值范围13t0，223t0，解由本例解知，若P在第三象限，则解得t3，所以t的取22(变条件)在本例条件下，t为何值时，P在函数yx的图象上？解由P点坐标(13t，23t)在yx上，121即t2时，P在yx的图象上已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参

39、数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程组或不等式组，求解即可.提醒：要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.第2课时向量数量积的坐标表示知识点1平面向量数量积的坐标运算若两个向量为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和知识点2向量的长度、夹角、垂直的坐标表示(1)向量的模：设a(x，y)，则a2x2y2，即|a|x2y2(2)向量的夹角公式：设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，它们的夹角为|a|b|x1x2y1y2x1x22y22y

40、2，则cosab12若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量AB的模？提示ABOBOA(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12y2y12特别地，若ab，则x1x2y1y20；反之，若x1x2y1y20，则ab重点题型类型1数量积的坐标运算【例1】已知a(1，3)，b(2，5)，c(2，1)，求：(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c解(1)ab123517(2)ab(3，8)，2ab(4，11)，(ab)(2ab)1288100(3)(ab)c17c(34，17)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满

41、足的等量关系，利用数量积的坐标运(1，4)(2，2)(1，6)，AC3(1)3615ABAC|323232，又|AB|126237，|AC|边上的高，求|AD与BC共线，D在直线BC上，即BDBC，存在实数，使BD0，ADBC解AB(5，1)(2，2)(3，3)，ABAC15574cosBAC743237(x2，y1)，BC(6，3)，BD解法一：设点D坐标为(x，y)，则AD算，列出方程组来进行求解.类型2向量的夹角【例2】已知A(2，2)，B(5，1)，C(1，4)，求BAC的余弦值|AB|AC|已知a，b的坐标求夹角时，应先求出ab及|a|，|b|，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角

42、的大小.类型3向量垂直的综合应用【例3】已知在ABC中，A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，AD为BC(x3，y2)，即(x3，y2)(6，3)，x36y23，x32(y2)，即x2y10又ADBC，即(x2，y1)(6，3)0，x1，|12225，即|AD|5|AD(6，3)，AB(1，3)所以BC垂直的一个向量AE(3，6)，所以|AE|35，AB15与BCAEAE和AE的夹角)，在AE上的投影向量AD(|AB|cos)(其中为AB向量AB|AEAEAE|15|AB|AB|cos5所以|AD垂直的一个向量AE，再求(2)求ABC中BC边上的高AD，可以先求出与BC(或AC)在AE上的

43、投影向量的模，就是高AD的大小出AB(1，2)，由可得即D点坐标为(1，1)，AD|AE|AE|6(x2)3(y1)0，即2xy30y1，法二：eqoac(,在)ABC中，A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，35向量的垂直问题主要借助于结论：abab0 x1x2y1y20，把几何问题转化为代数问题它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握(1)与向量a(x，y)垂直的一个向量可以设为b(y，x)；9.4向量应用知识点向量的应用(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(2)向量在物理中的应用速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用

44、向量求和的平行四边形法则和三角形法则物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积(3)向量在平面解析几何中的应用向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质重点题型类型1向量在物理中的应用【例1】(对接教材P38例1)如图所示，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60，求当整个系统处于平衡状态时，两根

45、绳子拉力的大小解如图，作平行四边形OACB，使AOC30，BOC60在OAC中，ACOBOC60，OAC90|OA|OC|cos303130021503(N)，|OB|OC|sin302300150(N)故与铅垂线成30角的绳子的拉力是1503N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150N1解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成2解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型类型2向量在平面几何中的应用【例2】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE解法一：设AD

46、a，ABb，则|a|b|，ab0，又DEDAAEa，AFABBFb，所以AFDEbaab故AFDE，即AFDEba222213b2112a24ab22|a|22|b|20，法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF(2，1)，DE(1，2)因为AFDE(2，1)(1，2)220，所以AFDE，即AFDExCAyCB，则xy的最大值为_AB上的点，且CP|CA|CB|3在RtABC中，由ABAC9，得ABACcosA9，又P为线段AB上的点，且CP3CA4CB，向量法证明平面几何问题的方法(1)向量的线性运算法选取基底把待证

47、问题用基底线性表示利用向量的线性运算或数量积找相应关系把向量问题几何化(2)向量的坐标运算法建立适当的坐标系把相关量坐标向量化利用向量的坐标运算找相应关系把向量问题几何化但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用类型3平面向量的综合应用4【例3】已知在RtABC中，C90，ABAC9，tanA3，P为线段4因为RtABC中，C90，tanA3，3所以cosA5，所以ABAC15，所以AB5，AC3，BC4xyxy故3412xyxy1334，即xy3，当且仅当342，即x2，y2时取等号利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，要先将线段看成向量，解题时通过

48、定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化，得以解决.第10章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数10.1.1两角和与差的余弦知识点两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C()：cos()coscossinsin(2)两角和的余弦公式C()：cos()coscossinsincos(9030)cos90cos30成立吗？提示不成立重点题型类型1两角和与差的余弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：(1)cos40cos70cos20cos50；(2)cos7sin15sin8cos8；(2)原式cos158sin15sin8cos8cos8cos15cos(6045)13(3)2c

49、os152sin153解(1)原式cos40cos70sin70sin40cos(7040)cos302cos15cos8cos60cos45sin60sin4526413(3)cos602，sin602，132cos152sin15cos60cos15sin60sin15cos(6015)cos24521两角和与差的余弦公式中，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体2在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用类型2已知三角函数值求角5310【例2】已知锐角，

50、满足sin5，cos10，求的值以同角三角函数的基本关系为切入点，求得cos，sin的值，在此基础上，借助cos的公式及的范围，求得的值.5310解因为，为锐角，且sin5，cos10，所以cos1sin2115，sin1cos252519101010，253105102故cos()coscossinsin5105102由02，02，得0cos1sin25cos1sin213，当0，所以为锐角，所以4已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；第三步：根据角的范围写出所求的角.类型3给值求

51、值问题453【例3】(对接教材P51例3)已知sin5，sin13，且2，2，求cos()43解sin5，2，35又sin13，2，123124516451(变条件)若将本题改为已知sin5，sin13，且2，02，求cos()5解sin13，02，124又sin5，且2，33cos()coscossinsin51351365；2当22时，cos1sin5，5135136556556513，sin1cos213cos1sin25162312455633cos()coscossinsin31245165616综上所述，cos()65或654316(2变条件)若将本例改为已知sin5，2，cos(

52、)65，2求sin43解sin5，且2，3又2，2，016又cos()65，sin()1cos26316565，coscos()coscos()sinsin()3164631251利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解2在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：()，()，(2)()，2()()，2()()等提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制sinxcosx，a2b2asinxbcosxa2b210.1.2两角和与差的正弦知识点两

53、角和与差的正弦公式(1)两角和的正弦公式：S()：sin()sincoscossin(2)两角差的正弦公式：S()：sin()sincoscossin(3)辅助角公式baa2b2令cosab，sin，则有asinxbcosxa2b2(cossinxa2b2a2b2bsincosx)a2b2sin(x)，其中tana，为辅助角重点题型类型1两角和与差的正弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：(1)sin163sin223sin253sin313；(2)2cos553sin5sin851从角和“形”入手，转化成两角和差的正弦求值.2注意角的差异与变换：55605，85905.解(1)原式sin1

54、63sin(90133)sin(90163)sin(180133)sin163cos133cos163sin1331sin(163133)sin302(2)原式2cos6053sin5sin905cos53sin53sin5cos5cos5cos51【例2】已知04，44，cos45，sin413，求cos(注意442，可通过求出4和4的正、余弦值来cos413，sin45，cos()sin21对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值2在

55、进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求类型2给值求值3335)的值33求cos.3解由04，44得33240，441234sin44cos4cos4sin4sin4135135653335312433【例3】(对接教材P54探究)已知函数f(x)2sinx62cosx，x2，解f(x)2sinx62cosx3sinxcosx2sinx6，2sinx61解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来

56、1当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.2当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.3角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.类型3形如asinxbcosx的函数的化简及应用求函数f(x)的值域等式asinxbcosxAsinx中A和一定存在吗？它们与a，b有什么关系？2x，53x661函数f(x)的值域为1，21(变结论)本例条件不变，将函数f(x)用余弦函数表示2cosxcos3sinxsin32cosx3解f(x)2sinx6，函数f(x)的单调递增区间为2，3；函数f(x

57、)的单调递减区间为3，解f(x)3sinxcosx2sinxcosx22sinxsin3cosxcos3得2k2x2k，与x取交集得x，3122(变结论)本例条件不变，求函数f(x)的单调区间2由2k2x62k2，得2k3x2k3，与2x取交集得22x3，23由2k2x62k2，5233232此类问题的求解思路如下：首先将函数fx化简为fxasinxbcosx的形式；,然后借助辅助角公式化fx为fxa2b2sinx的形式；最后，类比ysinx的性质，树立“x”的团体意识研究yfx的性质.10.1.3两角和与差的正切知识点两角和与差的正切公式T()：tan()T()：tan()tantan1ta

58、ntantantan1tantan公式T()有何结构特征和符号规律？提示(1)结构特征：公式T()的右侧为分式形式，其中分子为tan与tan的和或差，分母为1与tantan的差或和(2)符号规律：分子同，分母反【例1】已知tan()5，tan()3，求tan2，tan2，tan242，2，tan24可以用tan2表示出来.tantan重点题型类型1条件求值问题解tan2tan()()5341531tantan7，tan2tan()()tantan1tantan5311538，tan241tan21tan2417341117所以tan0，tan0又因为，2，2，所以，2，0，所以0(2)已知正、

59、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较【例2】已知tan，tan是方程x33x40的两根，且，2，2，2又因为tan()tantan1tantan14求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来繁杂的运算.类型2给值求角求利用根与系数的关系求tantan及tantan的值，进而求出tan的值，然后由的取值范围确定的值.解因为tan，tan是方程x233x40的两根，所以tantan330，tantan40，333，2所以31给值求

60、角的一般步骤(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角2选取函数时，应遵照以下原则(1)已知正切函数值，选正切函数；好类型3T()公式的变形及应用【例3】已知ABC中，tanBtanC3tanBtanC3，且3tanA3tanBtanAtanBeqoac(,1)，试判断ABC的形状当一个代数式中同时出现“tantan”及“tantan”两个团体时，我们可以联想哪些公式解题？解3tanA3tanBtanAtanB1，3(tanAtanB)tanAtanB1，tanAtanB331tanAtanB3，tan(AB)35又0AB，AB6，C63tanBtanC3t