考研数学一真题及答案

1、2005年硕士研究生入学考试（数学一）试题及答案解析（1）曲线y的斜渐近线方程为yx.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）x2112x124【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=limxlimf(x)x21，x2x2xx2x1于是通解为yexdxlnxexdxdxC1x2lnxdxCblimf(x)axlim，xx2(2x1)4于是所求斜渐近线方程为y1x1.24（2）微分方程xy2yxlnx满足y(1)1的解为y1xlnx1x.939【分析】直接套用一阶线性微分方程yP(x)yQ(x)的通解公式：yeP(x)dxQ(x)e

2、P(x)dxdxC，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为y2ylnx，x22x21/136（3）设函数u(x,y,z)1xyz，单位向量n11,1,1，则【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量ncos,cos,cos的方向导数为：=1xlnx1xC1，39x2由y(1)1得C=0，故所求解为y1xlnx1x.939222612183u=3.n(1,2,3)3uucosucosucosnxyz因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为ux，uy，uz，于是所求方向导数为y6x3z9un(1,2,3)=1111113.3333333（4）设是由锥面zx2y2与半球面zR2x2y2围成

3、的空间区域，是的整个边界的外侧，则xdydzydzdxzdxdy2(12)R3.2【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】xdydzydzdxzdxdy3dxdydz=3R2d4sind2d2(12)R3.0002（5）设,均为3维列向量，记矩阵123A(,)，123B(,24,39)，123123123，123=(,)如果A1，那么B2.【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有B(,24,39)123123123111123149111于是有BA123122.149（

4、6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,2,X中任取一个数，记为Y,则PY2=13.48【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】PY2=PX1PY2X1+PX2PY2X2+PX3PY2X3+PX4PY2X4=1(0111)13.423448二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数f(x)limn1x3n，则f(x)在(,)内n当x1时，f(x)limx3(11)nx3.x3,x1.(A)处处可导.

5、(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.C【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当x1时，f(x)limn1x3n1；n当x1时，f(x)limn111；n1nx3nx3,x1,即f(x)1,1x1,可见f(x)仅在x=1时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，MN表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.A【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是

6、通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为F(x)xf(t)dtC，且F(x)f(x).0当F(x)为偶函数时，有F(x)F(x)，于是F(x)(1)F(x)，即f(x)f(x)，也即f(x)f(x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则xf(t)dt为偶函数，从而F(x)xf(t)dtC为偶函数，可见(A)为00正确选项.(A)uu.（B）uu.方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=1x2,排除(D);故应选(A).2y（9）设函数u(x,y)(xy)(xy)x(t)dt,其中函数具有二阶xy导数，具

7、有一阶导数，则必有2222x2y2x2y2(C)2u2u.(D)xyy22u2uxyx2.B【分析】先分别求出2u、2u、2u，再比较答案即可.x2y2xy【详解】因为u(xy)(xy)(xy)(xy)，x于是uy2ux2(xy)(xy)(xy)(xy)，(xy)(xy)(xy)(xy)，2uxy(xy)(xy)(xy)(xy)，2uy2(xy)(xy)(xy)(xy)，可见有uu，应选(B).22x2y2（10）设有三元方程xyzlnyexz1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程y1(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具

8、有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).D【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=xyzlnyexz1,分别求出三个偏导数F,F,F，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可zxy确定相应的隐函数.【详解】令F(x,y,z)=xyzlnyexz1,则Fyexzz，Fxz，Flnyexzx，xyz且F(0,1,1)2，F(0,1,1)1，F(0,1,1)0.由此可确定相应的隐函数xyzx=x(y,z)和y=y(

9、x,z).故应选(D).（11）设,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,，则，A()线性无关的充分必要条件是12112(A)0.(B)0.(C)0.(D)0.B1212【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令kkA()0，则11212kkk0，(kk)k0.112112221211222由于,线性无关，于是有12kk0,21k220.当0时，显然有k0,k0，此时，A()线性无关；反212112过来，若，A()线性无关，则必然有0(,否则，与11221A()=线性相关)，故应选(B).1211方法二：由于,A(),011211122

10、12112，0可见，A()线性无关的充要条件是11112220.故应选(B).（12）设A为n（n2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，则(A)交换A*的第1列与第2列得B*.(B)交换A*的第1行与第2行得B*.(C)交换A*的第1列与第2列得B*.(D)交换A*的第1行与第2行得B*.C【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵E（交换n阶单位矩阵的第1行与第212行所得），使得EAB，于是12B*(E12A)*A*E*12A*E12E121A*E，

11、即12A*EB*,可见应选(C).12（13）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1(n1)X(tn1)(D)(C)F(1,n1).DX2已知随机事件X0与XY1相互独立，则(A)a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4B【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】由题设，知a+b=0.5又事件X0与XY1相互独立，于是有PX0,XY1PX0PXY1，即a=(0.4a)(ab),由此可解得a=0.4,b=0.1,故应选(B).（1

12、4）设X,X,X(n2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样12n本均值，S2为样本方差，则(A)nXN(0,1)(B)nS22(n).(n1)X21Snii2【分析】利用正态总体抽样分布的性质和2分布、t分布及F分布的定义进行讨论即可.【详解】由正态总体抽样分布的性质知，X01nnXN(0,1)，可排除(A);又X0SnnXt(n1)，可排除(C);而S(n1)S212(n1)S22(n1)，不能断定(B)是正确选项.因为X22(1),X22(n1)，且X22(1)与X22(n1)相互nn1i1ii2i2X独立，于是ni2X212i1n1(n1)X12F(1,n1).故应选(D).n

13、X2ii22sincosd1r3dr22sincosd2r3dr三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设D(x,y)x2y22,x0,y0，1x2y2表示不超过1x2y2的最大整数.计算二重积分xy1x2y2dxdy.D【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令D(x,y)0 x2y21,x0,y0，1D(x,y)1x2y22,x0,y0.2则xy1x2y2dxdy=xydxdy2xydxdyDD1D20（16）（本题满分12分）001求幂级数(1)n1(1n11n(2n1)x2n的收敛区间与

14、和函数f(x).【分析】先求收敛半径，进而可确定收敛区间.而和函数可利用逐项求导得到.【详解】因为lim(n1)(2n1)1n(2n1)1，所以当x21时，原级n(n1)(2n1)n(2n1)1数绝对收敛，当x21时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（1,1）记S(x)x2n,x(1,1)，n1(1)n12n(2n1)则S(x)n1(1)n12n1x2n1,x(1,1)，S(x)(1)n1x2n2n111x2,x(1,1).由于S(0)0,S(0)0,所以S(x)xS(t)dtx0011t2dtarctanx,S(x)xS(t)dtxarctantdtxarctanxln(1x

15、2).1002(1)又n1n1x2nx21x2,x(1,1),从而f(x)2S(x)x21x2x22xarctanxln(1x2),x(1,1).1x2（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l与l分别是12曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分3(x2x)f(x)dx.0【分析】题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】由题设图形知，f(0)=0,f(0)2;f(3)=2,f(3)2,f(3)0.由分部积分，知(x302

16、x)f(x)dx3(x2x)df(x)(x2x)f(x)0303f(x)(2x1)dx0=3(2x1)df(x)(2x1)f(x)03023f(x)dx0于是f()f()f()1f()1.=162f(3)f(0)20.（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：（I）存在(0,1),使得f()1；（II）存在两个不同的点,(0,1)，使得f()f()1.【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（I）令F(x)f(x)1x，则F(x

17、)在0，1上连续，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在存在(0,1),使得F()0，即f()1.（II）在0,和,1上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点(0,),(,1)，使得f()f()f(0)，f()f(1)f()01111（19）（本题满分12分）设函数(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分(y)dx2xydy的值恒为同一常数.L2x2y4（I）证明：对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有2x2y40；C(y)dx2xydy（II）求函数(y)的表达式.【分析】证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭

18、曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求(y)的表达式，显然应用积分与路径无关即可.Y【详解】（I）2ll1CoXl3如图，将C分解为：Cll，另作一条曲线l围绕原点且与C相接，则1232x2y4l1l32x2y40.(y)dx2xydyC(y)dx2xydy2x2y4(y)dx2xydyl2l32x2y4，P,Q在单连通区域x0内具有一阶连续（II）设P(y),Q2x2y42xy偏导数，由（）知，曲线积分(y)dx2xydy在该区域内与路径无关，故L2x2y4当x0时，总有QP.xyx(2x2y4)2(2x2y4)2,Q2y(2x2y4)4x2xy4x2y2y5(

19、2x2y4)2.y(2x2y4)2P(y)(2x2y4)4(y)y32x2(y)(y)y44(y)y3比较、两式的右端，得(y)2y,435(y)y4(y)y2y.，可求出其特征值为2,0.110（II）这里A由得(y)y2c，将(y)代入得2y54cy32y5,所以c0，从而(y)y2.（20）（本题满分9分）已知二次型f(x,x,x)(1a)x2(1a)x22x22(1a)xx的秩为2.12312312（I）求a的值；（II）求正交变换xQy，把f(x,x,x)化成标准形；123（III）求方程f(x,x,x)=0的解.123【分析】（I）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而

20、可求a的值；（II）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；（III）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】（I）二次型对应矩阵为1a1a0A1a1a0，0021a1a0由二次型的秩为2，知A1a1a00，得a=0.002110123002解(2EA)x0，得特征向量为：1,0，01解(0EA)x0，得特征向量为：1.01,2221101213由于,已经正交，直接将,，单位化，得：12123101110,11300令Q12，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标3准形：f(x,x,x)=2y22y2.12312（III）由f(x,x,x)

21、=2y22y20，得y0,y0,yk（k为任意12312123常数）.从而所求解为：x=Qy=0kc，其中c为任意常数.（21）（本题满分9分）120c33k0已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B24612336k（k为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.【分析】AB=O,相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.【详解】由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且r(A)r(B)3.关，可作为其基础解系，故Ax=0的通解为：xk2k6,k,k为任意常3k（1）若k9,则r

22、(B)=2,于是r(A)1,显然r(A)1,故r(A)=1.可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2,矩阵B的第一、第三列线性无131212数.(2)若k=9，则r(B)=1,从而1r(A)2.若r(A)=2,则Ax=0的通解为：xk2,k为任意常数.31）2）111若r(A)=1,则Ax=0的同解方程组为：axbxcx0,不妨设12301f(x,y)0,bcaaa0,则其通解为xk11k20,k1,k2为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,0 x1,0y2x,其他.求：（I）(X,Y)的边缘概率密度f(x),f(y)；XY（II）Z2

23、XY的概率密度f(z).Z【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】（I）关于X的边缘概率密度f(x,y)dy=00,f(x)=X2xdy,0 x1,其他.=0,2x,0 x1,其他.关于Y的边缘概率密度f(x,y)dx=y20,f(y)=Y1dx,0y2,其他.=20,41,1z,0z2,故所求的概率密度为：f(z)20,y1,0y2,其他.（II）令F(z)PZzP2XYz，Z1）当z0时，F(z)P2XYz0；Z2）当0z2时，F(z)P2XYzZ=z1z2;43)当z2时，F(z)P

24、2XYz1.Z0,z0,即分布函数为：F(z)z1z2,0z2,Zz2.1Z其他.（23）（本题满分9分）设X,X,X(n2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均12n值，记YXX,i1,2,n.ii求：（I）Y的方差DY,i1,2,n；ii（II）Y与Y的协方差Cov(Y,Y).1n1n（I）DYD(XX)D(11)X1Xnn【分析】先将Y表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计i算即可；求Y与Y的协方差Cov(Y,Y)，本质上还是数学期望的计算，同样应1n1n注意利用数学期望的运算性质.【详解】由题设，知X,X,X(n2)相互独立，且12nEX0,DX1(i1,2,n

25、)，EX0.iiniiijjinn2)2DXn=(111ijiDXj=(n1)1(n1)n1.=0EX2XXDX(EX)2n2n2n2n（II）Cov(Y,Y)E(YEY)(YEY)1n11nn=E(YY)E(XX)(XX)1n1n=E(XXXXXXX2)1n1n=E(XX)2E(XX)EX21n12n11jj2=211.nnn2006年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析填空题：16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.【分析】本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.（1）limxln(1x)2.x01cosx00lim2.x2【详解】limx0 xln(1x)xx1c

26、osx1x021dx，（2）微分方程yy(1x)的通解是yCxex(x0).x【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为dy1yx两边积分得lnylnxxC，整理得1x2y21yCxex.（CeC1）（3）设是锥面zx2y2(0z1)的下侧，则xdydz2ydzdx3(z1)dxdy2.z1【分析】本题不是封闭曲面，首先想到加一曲面：1，取上侧，使构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面1（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】设：z1(x2y21)，取上侧，则1xdydz2ydzdx3(z1)dxdyxdydz2ydzdx3(z1)dxdyxdy

27、dz2ydzdx3(z1)dxdy.11xdydz2ydzdx3(z1)dxdy6dv6drdrdz2，而2111V00r3242522.（5）设矩阵A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BAB2E，则于是有BAE4，而AE1112，所以B2.xdydz2ydzdx3(z1)dxdy0.1所以xdydz2ydzdx3(z1)dxdy2.（4）点(2,1,0)到平面3x4y5z0的距离d2.【分析】本题直接利用点到平面距离公式dAx0By0Cz0DA2B2C2进行计算即可.其中(x,y,z)为点的坐标，AxByCzD0为平面方000程.【详解】d3241502112B2.【分析】将矩阵方程改写为AXB

28、或XAB或AXBC的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有B(AE)2E1（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则PmaxX,Y11.9,0 x3.【分析】利用X与Y的独立性及分布计算.【详解】由题设知，X与Y具有相同的概率密度1f(x)30,其他则PmaxX,Y1PX1,Y1PX1PY1PX11121.dx2039【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则PmaxX,Y1PX1,Y1阴S1S9.二、选择题：714小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数yf(

29、x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0，x为自变量x在点x处的增量，y与dy分别为f(x)在点x处对应的增量与微分，若x0，则00(A)0dyy.(B)0ydy.(C)ydy0.(D)dyy0.【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.（8）设f(x,y)为连续函数，则4d1f(rcos,rsin)rdr等于【详解】由f(x)0,f(x)0知，函数f(x)单调增加，曲线yf(x)凹向，作函数yf(x)的图形如右图所示，显然当x0时，ydyf(x)dxf(x)x0，故应选00().00（）22dx1x2f(x,y)dy.（B）22dx1x2f(x,y)dy.0 x00(C)22dy1y

30、2f(x,y)dx.(D)22dy1y2f(x,y)dx.0y00【分析】本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Y型域，则原式22dy1y2f(x,y)dx.0y（9）若级数a收敛，则级数(A)a收敛.（B）(1)na收敛.故选（）.nn1nnn1n1(C)aa收敛.(D)an1nn1n1na2n1收敛.【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】由a收敛知a收敛，所以级数anan1收敛，故应选().nn1n1n1n12nn或利用排除法：取a(1)n1，则可排除选项（），（）；n取a(1)n1，则可排除选项（）.

31、故（）项正确.n（10）设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且(x,y)0，已知(x,y)是y00f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若f(x,y)0，则f(x,y)0.x00y00(B)若f(x,y)0，则f(x,y)0.x00y00(C)若f(x,y)0，则f(x,y)0.x00y00(D)若f(x,y)0，则f(x,y)0.x00y00【分析】利用拉格朗日函数F(x,y,)f(x,y)(x,y)在(x,y,)（0000是对应x,y的参数的值）取到极值的必要条件即可.00【详解】作拉格朗日函数F(x,y,)f(x,y)(x,y)，并记对应x,y的00

32、参数的值为，则0F(x,y,)0f(x,y)(x,y)0，即xx000000 x00Fy(x0,y0,0)0fy(x0,y0)0y(x0,y0)0消去，得0f(x,y)(x,y)f(x,y)(x,y)0,x00y00y00 x00.整理得f(x,y)x001(x,y)y00f(x,y)(x,y).（因为(x,y)0），y00 x00y若f(x,y)0，则f(x,y)0.故选（）.x00y00（11）设,均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是12s(B)若,12(C)若,12(C)若,12(D)若,12,线性相关，则A,A,s12,线性相关，则A,A,s12,线性无关，则A,A,s12,

33、线性无关，则A,A,s12,A线性相关.s,A线性无关.s,A线性相关.s,A线性无关.sC【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记B(,12,)，则(A,A,A)AB.s12s所以，若向量组,12,线性相关，则r(B)s，从而r(AB)r(B)s，向s量组A,A,12,A也线性相关，故应选().s倍加到第2列得C，记P010，则001B010A,CB010010A010，（12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1110（）CP1AP.（）CPAP1.（）CPTAP.（）CPAPT.【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等

34、矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110001001001001P1010，则有CPAP1.故应选（）.而110001PX1PY1（13）设A,B为随机事件，且P(B)0,P(A|B)1，则必有(B)P(AB)P(A)(B)P(AB)P(B)(C)P(AB)P(A)(D)P(AB)P(B)B【分析】利用事件和的运算和条件概率的概念即可.【详解】由题设，知P(A|B)P(AB)1，即P(AB)P(A).P(B)又P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A).故应选().（14）设随机变量X服从正态分布N(,2)，Y服从正态分布N(,2)，且112212则必有(B)12(B)12

35、(C)12(D)12D11，则2121，即.【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得XYP1P2112211111212其中(x)是标准正态分布的分布函数.又(x)是单调不减函数，则11，即.1212故选(A).三、解答题：1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）1xy设区域D(x,y)x2y21,x0，计算二重积分D1x2y2dxdy.【分析】由于积分区域D关于x轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】积分区域D如右图所示.因为区域D关于

36、x轴对称，1x2y2是变量y的偶函数，函数f(x,y)1函数g(x,y)则xy1x2y2是变量y的奇函数.dxdy2dxdy22d1DD11x2y2xy1x2y21rln21x2y2001r22D1dxdy0，drdxdydxdydxdy.故1xy1xyln21x2y21x2y21x2y22DDD（16）（本题满分12分）设数列x满足0 xn1,xn1sinx(n1,2,)nn（）证明limx存在，并求该极限；n12（）计算limxn1xn.nxn【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.（）的计算需利用（）的结果.【详解】（）因为0 x，则0 xs

37、inx1.121可推得0 xn1sinx1,n1,2,n，则数列x有界.n于是n1，（因当x0时，sinxx），则有xxxx单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxnn列xsinxn1nnn1nx，可见数n存在.nn设limxl，在xnlimx0.nn1sinx两边令n，得lsinl，解得l0，即n（）因112xx2sinxxnlimn1nlimnnxnnxn，由（）知该极限为1型，令tx，则n,t0，而nsintt2sintt2sint1lim11tlimlim1tt0t0tt0t111sint11t2sintt11，1limlimlim.t2tt33t36t6又limt01s

38、intsinttcost1sint1t0t0t0（利用了sinx的麦克劳林展开式）xxn2sinxxn2.故limn1nxn111nlime6nxn（17）（本题满分12分）将函数f(x)x展成x的幂级数.2xx2【分析】利用常见函数的幂级数展开式.【详解】f(x)x2xx2xAB，(2x)(1x)2x1x.f(x)32x1x31x1x比较两边系数可得A2,B1，即331211112而(1)nxn,x(1,1)，,x(2,2)，211xn011x2n0 xn故(1)nxnxn(1)n1xn,x(1,1).n0f(x)x12xx23n0n012n1132n（18）（本题满分12分）设函数f(u)

39、在(0,)内具有二阶导数，且zfx2y2满足等式0.2z2zx2y2（I）验证f(u)f(u)0；u（II）若f(1)0,f(1)1，求函数f(u)的表达式.【分析】利用复合函数偏导数计算方法求出2z,2z代入2zx2y2x22zy20即可得（I）.按常规方法解（II）即可.【详解】（I）设ux2y2，则zxzyf(u),f(u)xx2y2yx2y22zxxf(u)f(u)x2x2y2x2y2.x2x2y2x2y2x2y2f(u)x2x2y2f(u)y22x2y23，2zy2f(u)y2x2y2f(u)x22x2y23.将z,z代入zz0得2222x2y2x2y2f(u)f(u)0.u（II）

40、令f(u)p，则pp0dpdu，两边积分得upu1，亦即lnplnulnC，即p1Cuf(u)C1.uu由f(1)1可得C1.所以有f(u)1，两边积分得1f(u)lnuC，2由f(1)0可得C0，故2f(u)lnu.（19）（本题满分12分）(设在上半平面Dx,y)|y0内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t0都有f(tx,ty)t2f(x,y).证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有yf(x,y)dxxf(x,y)dy0.L【分析】利用曲线积分与路径无关的条件QP.xy【详解】f(tx,ty)t2f(x,y)两边对t求导得xf(tx,ty)yf(tx,ty)2t3f(

41、x,y).xy令t1，则xf(x,y)yf(x,y)2f(x,y).xyf(x,y)xf(x,y),f(x,y)yf(x,y).xy设P(x,y)yf(x,y),Q(x,y)xf(x,y)，则QPxy则由可得QP.xy故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有yf(x,y)dxxf(x,y)dy0.1axx3xbx1L（20）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组xxxx12344x13x25x3x411234有3个线性无关的解.（）证明方程组系数矩阵A的秩rA2；（）求a,b的值及方程组的通解.A4351,1.【分析】（I）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证

42、明；（II）利用初等变换求矩阵A的秩确定参数a,b，然后解方程组.【详解】（I）设,是方程组Ax的3个线性无关的解，其中123111111a13b则有A()0,A()0.1213则,是对应齐次线性方程组Ax0的解，且线性无关.（否1213则，易推出,线性相关，矛盾）.123所以nr(A)2，即4r(A)2r(A)2.又矩阵A中有一个2阶子式114310，所以r(A)2.A435101150115ba1301a3aba0042ab4a5因此r(A)2.（II）因为111111111111.又r(A)2，则42a0a2b4a50b3.对原方程组的增广矩阵A施行初等行变换，A4351101153，1

43、1111102422133100000故原方程组与下面的方程组同解.1x2x4x234x2x35x43.x1x35x43234.x3x3153010选x,x为自由变量，则34x2x4x2x4x4故所求通解为242xkk11200，k,k为任意常数.12（21）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量1,2,1T,0,1,1T是线性方程组Ax0的两个解.12()求A的特征值与特征向量；()求正交矩阵Q和对角矩阵,使得QTAQ.【分析】由矩阵A的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组Ax0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是0特征

44、值所对应的特征向量.将A的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q.A1331，131【详解】()因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以131则由特征值和特征向量的定义知，3是矩阵A的特征值，T(1,1,1)是对应的特征向量.对应3的全部特征向量为k，其中k为不为零的常数.又由题设知A0,A0，即A0,A0，而且,线12112212性无关，所以0是矩阵A的二重特征值，,是其对应的特征向量，12对应0的全部特征向量为kk，其中k,k为不全为零的常数.112212()因为A是实对称矩阵，所以与,正交，所以只需将,正交.1212取，110121,1620.11122,3211112再将,单位化，得122

45、12,21,320，1111113631621236令Q,，则Q1QT，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得1233.QTAQ002,1x0fx,0 x2，4（22）（本题满分9分）设随机变量X的概率密度为11X0,其他令YX2,Fx,y为二维随机变量(X,Y)的分布函数.()求Y的概率密度fYy()F,4.12【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】（I）设Y的分布函数为F(y)，即YF(y)P(Yy)P(X2y)，则Y1)当y0时，F(y)0；Y2)当0y1时，F(y)P(X2y)PyXyYdxydxy.0113y2044111.0d

46、xydxy3)当1y4时，F(y)P(X2y)P1XyY11204428y,0y1f(y)F(y),1y4.8y（II）F1,4PX1,Y4PX1,X24PX,2X2P2Xfx;1,1x2,0,其他,4)当y4，F(y)1.Y所以31YY0,其他22212122dx111.124（23）（本题满分9分）设总体X的概率密度为,0 x1,其中是未知参数01，X,X.,X为来自总体X的简单随机样本，记12nN为样本值x,x.,x中小于1的个数，求的最大似然估计.12n【分析】先写出似然函数，然后用最大似然估计法计算的最大似然估计.【详解】记似然函数为L()，则L()N个两边取对数得11nN个1N(1

47、)nN.lnL()Nln(nN)ln(1)，令dlnL()NnN0，解得N为的最大似然估计.d1n2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当x0时，与x等价的无穷小量是(A)1ex.(B)ln1x.(C)1x1.(D)1cosx.1xB【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当x0时，有1ex(ex1)x；1x11x；21cosx1(x)2x.利用排除法知应选(B).【详解】因

48、为limln(1ex)，所以x0为垂直渐近线；122(2)曲线y1ln(1ex)，渐近线的条数为x(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.D【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。1x0 x又lim1ln(1ex)0，所以y=0为水平渐近线；xx进一步，limylim1ln(1e)limln(1e)=limexxxxxxxx2xxx1ex1，limy1xlimln(1ex)x=limln(1ex)x(A)F(3)3F(2).(B)F(3)F(2).1xxxx=limlnex(1ex)xlimln(1ex)0，xx于是有斜渐近线：y=x.故应选(D).(3)如图

49、，连续函数y=f(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)xf(t)dt.则下列结论正确的是0544(C)F(3)3F(2).(D)F(3)544F(2).C【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。F(2)，【详解】根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：12F(3)是两个半圆面积之差：F(3)112(1)23=3F(2)，2284F(3)3f(x)dx0f(x)dx3f(x)dxF(3)030因此应选(C).(4)设函数f(x)在

50、x=0处连续，下列命题错误的是(A)若limf(x)存在，则f(0)=0.(B)若limf(x)f(x)存在，则x0 xx0 xf(0)=0.(C)若limf(x)存在，则f(0)存在.(D)若limf(x)f(x)存在，则f(0)x0 xx0 x存在x0 x0 x0存在，但f(x)x在x=0处不可导。D【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.若limf(x)存在，则f(0)0,f(0)limf(x)f(0)limf(x)0，可见(C)也x0 xx0

51、x0 x0 x正确，故应选(D).事实上，可举反例：f(x)x在x=0处连续，且limf(x)f(x)=limxxx(5)设函数f(x)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0.令uf(n)(n1,2,),n则下列结论正确的是(A)若uu，则u必收敛.(B)若uu，则u必发散.12n12n(C)若uu，则u必收敛.(D)若uu，则u必发散.D12n12n【分析】可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】设f(x)=x2,则f(x)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0,uu，但un2发散，排除(C);设f(x)=12n1,则f(x)在(0,)上xxy2121具有二阶导数，且f(x)0,uu

52、，但u1收敛，排除(B);又若设12nnf(x)lnx，则f(x)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0,uu，但12ulnn发散，排除(A).故应选(D).n(6)设曲线L:f(x,y)1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是(A)f(x,y)dx.(B)f(x,y)dy.TT(C)f(x,y)ds.(D)f(x,y)dxf(x,y)dy.BTT【分析】直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】设M、N点的坐标分别为M(x,y),N(x,y),xx,yy.先将11221212曲线方程代入积分表达式

53、，再计算有：f(x,y)dxdxxx0;f(x,y)dydyyy0;TTTTxyTf(x,y)dsdss0;f(x,y)dxf(x,y)dydf(x,y)0.TTT故正确选项为(B).(7)设向量组,线性无关，则下列向量组线性相关的是123(A),.(B),.122331122331(C)2,2,2.(D)2,2,2.A122331122331因,线性无关，所以xx0,xx0.【详解】用定义进行判定:令x()x()x()0，112223331得(xx)(xx)(xx)0.131122233xx0,131231223101又101100，1(8)设矩阵A121,B010,则A与B故上述齐次线性方

54、程组有非零解,即,线性相关.类似可得122331(B),(C),(D)中的向量组都是线性无关的.211100112000(A)合同,且相似.(B)合同,但不相似.(C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.B【详解】由|EA|0得A的特征值为0,3,3,而B的特征值为0,1,1,从而A与B不相似.又r(A)=r(B)=2,且A、B有相同的正惯性指数,因此A与B合同.故选(B).(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)3p(1p)2(B)6p(1p)2.(C)3p2(1p)2(D)6p2(1p)2C【详解】“第4

55、次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标,前3次射击中有1次命中目标,由独立重复性知所求概率为：C1p2(1p)2.故3选(C).(10)设随机变量(,)服从二维正态分布，且与不相关，f(x)f(y)X分别表示，的概率密度，则在y的条件下，的条件概率密度Yf(y)fX|Y(x|y)为(A)f(x)(B)f(y)(C)f(x)f(y).(D)fX(x)AXYXYY【详解】因(,)服从二维正态分布，且与不相关，故与相互独立，于是fX|Y(x|y)=f(x).因此选(A).X(11)21exdx=1e2.二、填空题：(1116小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上)111x32【

56、分析】先作变量代换，再分部积分。【详解】texdx2t3et(x211x311111t2)dt1tetdt12=1tdettet1211211211etdte2.2x(12)设f(u,v)为二元可微函数，zf(xy,yx)，则z=fyxy1fyxlny.12【详解】利用复合函数求偏导公式，有z=xfyxy1fyxlny.12(13)二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的通解为yCexCe3x2e2x.其中C,C为任意常数.1212【详解】特征方程为2430，解得1,3.可见对应齐次线12性微分方程y4y3y0的通解为yCexCe3x.12设非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的特解为

57、y*ke2x，代入非齐次方程可得k=2.故通解为yCexCe3x2e2x.12(14)设曲面:xyz1，则(x|y|)dS=43.3【详解】由于曲面关于平面x=0对称，因此xdS=0.又曲面:xyz1具有轮换对称性，于是=dS183=43.(x|y|)dS=|y|dS=|x|dS=|z|dS=1313323(|x|y|z|)dS(15)设矩阵A0010001000010000,则A3的秩为1.【详解】依矩阵乘法直接计算得A300,故r(A3)=1.00000000000010(x,y)|0 x,y1,记A(x,y)|(x,y),|xy|.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝

58、对值小于1的概率2为34【详解】这是一个几何概型,设x,y为所取的两个数,则样本空间123故P(A)SA43S14，其中S,S分别表示A与的面积.A三、解答题：(1724小题，共86分.)(17)(本题满分11分)求函数f(x,y)x22y2x2y2在区域D(x,y)x2y24,y0上的最大值和最小值。【分析】由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】因为f(x,y)2x2xy2，f(x,y)4y2x2y，解方程：xyfy4y2x2y0f2x2xy20,x得开区域内的可能极值点为(2,1).解方程组F4y2x2y2y0,得可能极值点：(0,2),(5,3

59、)，其22Fx2y240,其对应函数值为f(2,1)2.又当y=0时，f(x,y)x2在2x2上的最大值为4，最小值为0.当x2y24,y0,2x2，构造拉格朗日函数F(x,y,)x22y2x2y2(x2y24)F2x2xy22x0,xy对应函数值为f(0,2)8,f(5,3)7.224比较函数值2,0,4,8,7，知f(x,y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.4(18)(本题满分10分)计算曲面积分Ixzdydz2zydzdx3xydxdy,其中为曲面z1x2y(0z1)的上侧。24【分析】本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域

60、上直接投影即可。【详解】补充曲面：:x21y241,z0，取下侧.则Ixzdydz2zydzdx3xydxdyxzdydz2zydzdx3xydxdy11其中为与所围成的空间区域，D为平面区域x2y1.4=(z2z)dxdydz3xydxdyD21由于区域D关于x轴对称，因此3xydxdy0.又D(z2z)dxdydz3zdxdy=31zdzdxdy31z2(1z)dz.0Dz0其中D:x2y1z.42z(19)(本题满分11分)设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：存在(a,b)，使得f()g().