·《高等数学基础》形考第三次作业参考答案

1、 高 等 数 学 基 础 形 成 性 考 核 册第三次作业参考答案第四章 导数的应用一、单项选择题1、D 2、D 3、A 4、C 5、C 6、A二、填空题1、极小值4、(0,)2、05、3、(,0)f (a)6、(0,2)三、计算题1、求函数的单调区间和极值。y (x 1)(x 5)2解：函数的定义域是(,)。求导： 令 y (x 5)(3x 3) 0，得 x 5或 x 1； 令 y (x 5)(3x 3) 0 ，得1 x 5； ,1) (5,) ，单调下降区间为(1, 5)。因此，单调上升区间为(何2、求函数在区间 内的极值点，并求最大值和最小值。0,3y x 2x 32解：求导数： 令 y

2、 2x 2 0 ，得驻点为 x 0；求二阶导数：因此， x 0为函数的极小值点。函数没有极大值点。计算并比较函数值：可见，最大值是 f (3) 6，最小值是 f (1) 2。3、求曲线上的点，使其到点的距离最短。y 2x2A(2,0) 解：设曲线上点坐标为(x, y)，它到点 A(2,0) 的距离为1x 1x 2x 4求导数：d (2x 2)2 x 2x 422x 1x 2x 4令 d 0，得唯一驻点是 x 1。根据问题的实际背景可知这是所求的2 2(1, 2) (1, 2)何 。点的横坐标。代入曲线方程，可得 y。所以，所求的点为4、圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 ，问当底半径与高分L

3、别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如右图所示，设底面半径为r ，高为h ，体积为V 。则上底中心到下底边沿的距离为计算体积：3L 令VL 3 h 0 ，求得唯一驻点为 h。根据问题的实际意义可知，这个223值即为所求。此时，所以，当底面半径为6L3L，高为时体积最大。335、一体积为 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？V解：如右图所示，设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，表面积为 。y：根据条件知该圆柱体的体积为V表面积等于上、下底的面积与侧面积的和，因此2V r3令V 4 r0，得唯一驻点为。根Vr224V据问题的实际意义知驻点即为所求结果。代入可求得h3。所以，底面半径为3，高为

4、3时圆柱体的表面积最小。V24V6、欲做一个底为正方形，容积为62.5 立方米的长方体开口容器，怎 样做法用料最省？解：设底面边长为 米，高为 米，表面积为S 平方米。xy y 62.5根据条件，体积： x2。表面积等于底面面积加四个侧面面积：250 令 S 2x0 ，求得唯一驻点为 x 5 （米），根据问题的实际意义可知，这就x2 2.5是所求的底面边长。此时， y（米）。所以，底面边长为 5 米，高 2.5 米时用料最省。四、证明题1、当 x 0时，证明不等式x ln(1 x) x ln(1 x)(x 0)f (x) 0,) 上连续，在(0,)在 内可导。证明：令 f (x)，则由于因此，函数 f (x) 在0,)x 0上是单调上升的，即当 时有所以命题成立。2、当 x 0时，证明不等式ex x 1。 e x 1(x 0)f (x) 0,) 上连